志鸿优化设计2019年高考数学人教A版理科二轮练习教学案第八章立体几何87空间向量的应用

1、志鸿优化设计2019年高考数学人教A版理科二轮练习教学案：第八章立体几何87空间向量的应用 考纲要求 1理解直线的方向向量与平面的法向量 2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系 3能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) 4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 1直线的方向向量及其应用 (1)直线的方向向量：直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量_(或共线)的向量，显然一条直线的方向向量有_个 (2)直线方向向量的应用： 利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面

2、 对于直线l，点A是直线l上一点，向量a是l的方向向量，在直线l上取ABa，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得_这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点 空间中平面的位置可以由内两条相交直线确定，假设设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别是a和b，P为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得OP_，这样，点O与方向向量a，b不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点 2平面的法向量 (1)假设直线l，取直线l的方向向量a，那么向量a叫做平面的法向量，显然一个平面的法向量也有_个，它们是_向量 (2)在空

3、间中，给定一个点A和一个向量a，那么，过点A，以向量a为法向量的平面是_确定的 3直线的方向向量与平面的法向量在确定直线、平面位置关系中的应用 直线l1的方向向量u1(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2(a2，b2，c2)(注：下面的，kR) 如果l1l2，那么u1u2?u1u2?_； 如果l1l2，那么u1u2?u1·u20?_. 直线l的方向向量为u(a1，b1，c1)，平面的法向量为n(a2，b2，c2) 假设l，那么un?u·n0?_； 假设l，那么un?ukn?_. 平面1的法向量为u1(a1，b1，c1)，平面2的法向量为u2(a2，b2，c2) 假设

4、12，那么u1u2?u1ku2?_； 假设12，那么u1u2?u1·u20?_. 4利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角：来源:1ZXXK 范围：两异面直线所成的角的取值范围是_ 向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，那么有_ (2)直线与平面所成的角： 范围：直线和平面所成角的取值范围是_ 向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，那么有sin _或cos sin . (3)二面角： 二面角的取值范围是_ 二面角的向量求法： 假设AB，CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线，那么二面角的平面角的

5、大小就是向量AB与CD的夹角(如图甲) 设n1，n2分别是二面角-l-的两个面，的法向量，那么向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图乙、丙) 5利用空间向量求空间距离 (1)利用|AB|2AB·AB可以求空间中有向线段的长度 (2)点面距离的求法 AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，那么B到平面的距离为|BO|AB|cosAB，n|_. 1假设直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，那么( ) A、l B、l C、l? D、l与斜交 2假设平面1，2垂直，那么下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A、n1(1,2,1)

6、，n2(3,1,1) B、n1(1,1,2)，n2(2,1,1) C、n1(1,1,1)，n2(1,2,1) D、n(1,2,1)，n2(0，2，2) 3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1E1D1F1A1B1 4，那么BE1与DF1所成的角的余弦值为( ) 来源:1ZXXK A、12 B、1517 C、217 D、13 4向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，假设cosm，n12，那么l与所成的角为( ) A、30° B、60° C、120° D、150° 5如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP

7、AB2，BC22，E，F分别是AD，PC的中点 (1)证明：PC平面BEF； (2)求平面BEF与平面BAP所成锐二面角的大小 【一】利用空间向量证明平行和垂直 【例11】 如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC 4，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点证明：直线MN平面OCD. 【例12】 如下图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中点证明： (1)AECD； (2)PD平面ABE. 方法提炼 1利用向量处理平行问题的常用方法： (1)证明两条直线平行，只需证明两条直线

8、的方向向量是共线向量 (2)用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内不共线的两个向量线性表示 (3)面面平行：证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题 2利用向量处理垂直问题的常用方法： (1)证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，即ab?a·b0. (2)用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题 (3)面面垂直：证明两个平面的法向量互相垂直；转

9、化为线面垂直、线线垂直问题 请做演练巩固提升1 【二】利用空间向量求角 【例2】 如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAAB 12PD. (1)证明：平面PQC平面DCQ； (2)求二面角Q-BP-C的余弦值 方法提炼 如何利用空间向量解决求角的问题： 在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等关于角的计算，均可归结为两个向量的夹角对于空间向量a，b，有cosa，ba·b|a|b|，利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题 (1)线线角：要求两条异面直线所成的角，可先求两条异面直线的方向向量的数量积，要求两向量的数量积

10、，可以求得两向量的坐标，也可以把所求向量用一组模和夹角的基向量表示出来进行求解 (2)线面角：直线l与平面的夹角为，直线l的方向向量l与平面的法向量n的夹角为，那么2(或2)，故有sin |cos |l·n|l|n|. (3)二面角：设n1，n2分别是二面角-l-的面，的法向量，那么n1，n2与所求二面角的平面角相等或互补 请做演练巩固提升2 【三】利用空间向量求距离 【例3】 如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB23. (1)求点A到平面MBC的距离； (2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值 方法提炼 空间中的距离问题一般

11、都可以转化成点到点的距离、点到线的距离和点到面的距离其中点到点的距离、点到线的距离可用空间向量的模来求解，点到面的距离可借助于平面的法向量求解 请做演练巩固提升3 空间向量在立体几何问题中的合理应用 【典例】 (12分)(2019安徽高考) 平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形， BC2，BB14，ABAC 2，A1B1A1C15，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使ABC与A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形对此空间图形解答以下问题 (1)证明：AA1BC； (2)求AA1的长； (3)求二面角

12、A-BC-A1的余弦值 规范解答：(1)取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD. 由四边形BB1C1C为矩形知，DD1B1C1. 因为平面BB1C1C平面A1B1C1， 所以DD1平面A1B1C1.来源:Zxxk.Com 又由A1B1A1C1知，A1D1B1C1. 故以D1为坐标原点，可建立如下图的空间直角坐标系D1-xyz.(2分) 由题设，可得A1D12，AD1. 由以上可知AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，于是ADA1D1. 所以A(0，1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(1,0,4)，D(0,0,4) 故AA1(0,3，4)，BC

13、(2,0,0), AA1·BC0. 因此AA1BC，即AA1BC.(5分) (2)因为AA1(0,3，4)， 所以|AA1|5，即AA15.(7分) (3)连接A1D. 由BCAD，BCAA1，可知BC平面A1AD，BCA1D， 所以ADA1为二面角A-BC-A1的平面角 因为DA(0，1,0)，DA1(0,2，4)，(9分) 所以cosDA，DA121×224255， 即二面角A-BC-A1的余弦值为55.(12分) 答题指导：解决空间向量在立体几何中的应用问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注： (1)建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整 (2)建系不恰当

14、，导致点的坐标不易确定或求解时烦琐 (3)不会利用直线的方向向量及平面法向量解决相应问题 (4)计算失误导致结果不正确 另外需要熟练掌握直线方向向量及平面法向量的求法，有利于快速正确地解题 1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1EEO. (1)假设1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值； (2)假设平面CDE平面CD1O，求的值 2如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB2，AA11，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点 (1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值； (2)求平面BDF

15、与平面AA1B所成二面角的余弦值 3如下图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90°，侧棱AA12，CA2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E使得点A1到平面AED的距离为263？ 参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1(1)平行 无数 (2)APuuurtABuuur xayb 2(1)无数 共线 (2)唯一 3(a1，b1，c1)(a2，b2，c2) a1a2b1b2c1c20 a1a2b1b2c1c20 (a1，b1，c1)k(a2，b2，c2) (a1，b1，c1)k(a2，b2，c2) a1a2b1b2c1c20 4(1)? ?0，2

16、|cos |?a·b|a|b| (2)?0，2 |cos | (3)0， 5(2)|AB?uuurnn 基础自测 1B 解析：u2a，ua，那么l. 2A 解析：平面1，2垂直，那么对应的法向量也应垂直，因A中n1·n23210，故n1n2，应选A.来源:Z*xx*k.Com 3B 解析：设正方体的棱长为1，建立如下图的空间直角坐标系 那么点B，E1，D，F1的坐标分别为B(1,1,0)，E1?1，34，1，D(0,0,0)，F1?0，14，1， 1BEuuur?1，34，1(1,1,0)?0，14，1，1DFuuur?0，14，1(0,0,0)?0，14，1. |1BEu

17、uur|174，|1DFuuur|174， 1BEuuur·1DFuuur1516. cos1BEuuur，1DFuuur1111|BEDFBEDF?uuuruuuruuuruuur1517. 4A 解析：cosm，n12， sinm，n32， m，n60°.l与所成的角为90°60°30°. 5(1)证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系 APAB2，BCAD 22，四边形ABCD是矩形， A，B，C，D，P的坐标分别为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,22，0)，D(0，2

18、2，0)，P(0,0,2) 又E，F分别是AD，PC的中点， E(0，2，0)，F(1，2，1) PCuuur(2,22，2)，BFuuur(1，2，1)，EFuuur(1,0,1) PCuuur·BFuuur2420，PCuuur·EFuuur2020.PCuuurBFuuur，PCuuurEFuuur. PCBF，PCEF.又BFEFF， PC平面BEF. (2)解：由(1)知n1PCuuur(2,22，2)是平面BEF的法向量， 又取平面BAP的法向量n2ADuuur(0,22，0)，n1·n28. 设平面BEF与平面BAP所成锐二面角的平面角的大小为， 那

19、么cos |cosn1，n2|n1·n2|n1|n2|84×2222. 45°.平面BEF与平面BAP所成锐二面角的大小为45°. 考点探究突破 【例11】 证明：作APCD于点P，如图， 分别以AB，AP，AO所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么A(0,0,0)，B(1,0,0)，P?0，22，0，D?22，22，0，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N?124，24，0，MNuuur?124，24，1，OPuuur?0，22，2，ODuuur?22，22，2. 设平面OCD的法向量为n(x，y，z)， 那么n·OPuuur0

20、，n·ODuuur0， 即? 22y2z0，22x22y2z0. 取z2，解得n(0,4，2) MNuuur·n?124，24，1·(0,4，2)0，MN平面OCD. 【例12】 证明： AB，AD，AP两两垂直，建立如下图的空间直角坐标系， 设PAABBC1，那么P(0,0,1) (1) ABC60°，ABC为正三角形 C?12，32，0， E?14，34，12. 设D(0，y,0)，由ACCD， 得ACuuur·CDuuur0， 即y233 ，那么D?0，233，0， CDuuur?12，36，0. 又AEuuur?14，34，12， AE

21、uuur·CDuuur12×1436×340， AEuuurCDuuur，即AECD. (2)方法一：P(0,0,1)， PDuuur?0，233，1. 又AEuuur·PDuuur34×23312×(1)0， PDuuurAEuuur，即PDAE. ABuuur(1,0,0)，PDuuur·ABuuur0. PDAB，又ABAEA， PD平面ABE. 方法二：设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)， ABuuur(1,0,0)，AEuuur?14，34，12， 即? x0，14x34y12z0， 令y2，那么z3，n(

22、0,2，3) PDuuur?0，233，1，显然PDuuur33n. PDuuurn，PDuuur平面ABE，即PD平面ABE. 【例2】 解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz. (1)依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，那么DQuuur(1,1,0)，DCuuur(0,0,1)，PQuuur(1，1,0)， 所以PQuuur·DQuuur0，PQuuur·DCuuur0. 即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ. 又PQ?平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. (2)依题意有B(1,0

23、,1)，CBuur(1,0,0)，BPuur(1,2，1) 设n(x，y，z)是平面PBC的法向量， 那么0,0,CBBP?uuruurnn即? x0，x2yz0. 因此可取n(0，1，2) 设m是平面PBQ的法向量，那么0,0,BPPQ?uuruuurmm可取m(1,1,1)， 所以cos m，n155. 故二面角Q-BP-C的余弦值为155. 【例3】 解：取CD中点O，连接OB，OM，那么OBCD，OMCD. 又平面MCD平面BCD， 那么MO平面BCD. 取O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图 OBOM3，那么各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,

24、0，3)，B(0，3，0)，A(0，3，23) (1)设n(x，y，z)是平面MBC的法向量， 那么BCuuur(1，3，0)，BMuuur(0，3，3) 由nBCuuur得x3y0； 由nBMuuur得3y3z0. 取n(3，1,1)，BAuur(0,0,23)， 那么d|BA?uurnn2352155. (2)CMuuur(1,0，3)， CAuur(1 ，3， 23) 设平面ACM的法向量为n1(x ，y，z)， 由n1CM uuur，n1CAuur得 ? x3z0， x3y 23z0， 解得x 3z，yz，取n1(3，1,1) 又平面BCD的法向量为n2(0,0,1)， 所以cosn1

25、，n2n1·n2|n1|n2|15. 设所求二面角为，那么sin 255. 演练巩固提升 1解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以DAuuur，DCuuur，1DDuuur为单位正交基底建立空间直角坐标系D-xyz， 那么A(1,0,0)， O?12，12，0，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E ?14，14，12 ， 于是DEuuur?14，14，12，1CD uuur(0，1,1) ， 那么cos DEuuur，1CDuuur11|DECDDECD? ?uuuruuuruuuruuur36. 所以异面直线DE与CD1所成角的余弦值为36. (2)设平面CD1O的法向量为m (

26、x1，y1，z1) ， 由m·1DOuuu r0，m·1CDuuur0， 得? 12x112y10，y1z10， 取x11，得y1z11，即m(1,1,1) 由1DEuuurEOuuur， 得E?2(1)，2(1)，11， DEuuur?2(1)，2(1)，11. 又设平面CDE的法向量为n(x2，y2，z2)， 由n·CDuuur0，n·DEuuur0. 得? y20，x22(1)y22(1)z210， 取x22，得z2，即n(2,0，) 因为平面CDE平面CD1F， 所以m·n0，得2. 2解：以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标