201x秋九年级数学上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1 新人教版

1、12/26/2021整理课件21.2.4 一元二次方程的根与系数 的关系12/26/2021整理课件1.一元二次方程的解法2.求根公式 复习提问复习提问数学活动一12/26/2021整理课件一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式： X=aacbb242(b2-4ac 0)12/26/2021整理课件1.1. 填表，观察、猜想填表，观察、猜想 数学活动二 方程 x1, x2 x1,+ x2 x1. x2 x2-2x+1=0 1,121x2+3x-10=02,-5-3-10 x2+5x +4=0-1,-4-54问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律； x2+px+q=0的两根

2、x1, x2用式子表示你发现的规律。 12/26/2021整理课件根与系数关系根与系数关系 20px qx 如果关于如果关于x的方程的方程的两根是的两根是 , ,则则:x1x2pxx 21qxx 21如果方程二次项系数不为如果方程二次项系数不为1 1呢呢? ?12/26/2021整理课件数学活动三 方 程x1, x2 x1,+ x2 x1. x2 2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；用语言叙述发现的规律； ax2+bx+c=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律：12/26/2021整理课件一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+

3、bx+c=0(a0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1 + x2 = x1 x2= ab- -ac（韦达定理）（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac012/26/2021整理课件韦达（韦达（15401603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系

4、数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。 12/26/2021整理课件一元二次方程根与系数关系的证明：一元二次方程根与系数关系的证明：aacbbx2421aacbbx2422x1 + x2 =aacbb242aacbb242+=ab22=ab-x1 x2 =aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb=244aac=ac12/26/2021整理课件1、 x2 - 2x - 1=02、 2x2 - 3x + =03、 2x2 - 6x =04、 3x2 = 421x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=

5、x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2= -23413412/26/2021整理课件例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。 求：(1) (2) x12+x222111xx解：由题意可知x1+x2= - , x1 x2=-332(1)2111xx= 2121xxxx =332=92(2) (x1x2)2 x12+x22 2x1x2x12+x22 (x1x2)2 -2x1x2(- )232 -2(-3)69412/26/2021整理课件变式变式 练习：练习：设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。) 1)(1(

6、21xx2112xxxx（2） （1）（）（x1- x2）212/26/2021整理课件例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= - 2由根与系数关系，得x123k 即 2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 , k的值是2。12/26/2021整理课件例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解二： 设方程的另一个根为x1.由根与系数的关系，得x1 2= k+1x1 2= 3k解这方程组，得x1 =3 k =

7、2答：方程的另一个根是3 , k的值是2。12/26/2021整理课件1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,319则x1+1= , x1= ,316又x11= ,3m m= 3x1 = 16 解： 由根与系数的关系，得x1+x2= -2 , x1 x2=23 (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=232512/26/2021整理课件1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程

8、两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=21k23k12342)21(kk解得k1=9,k2= -3当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。12/26/2021整理课件2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。解：由方程有两个实数根，得0242) 1(4kk即-8k+4021k由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由x12+x22 =4，得2k2-8k+44解得k1=0 , k2=4经检验， k2=4不合题意，舍去。 k=012/26/2021整理课件归纳小结：归纳小结： 通过本节课的学习你学到了那些知识？通过本节课的学习你学到了那些知识？一元二次方程根与系数的关系（一元二次方程根与系数的关系（韦