li84曲面及其方程-2ppt课件

1、高等数学高等数学第八章第四节第四节 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面一、曲面方程的概念 在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹.那么, 方程F(x, y, z)0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)0的图形. (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)0,曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)0有下述关系: 2202020Rzzyyxx 展开展开关于球面方程的说明关于球

2、面方程的说明: :; 0222 DCzByAxzyx,反之反之? 0 222的图形的图形任给任给 DCzByAxzyx),4(41)2()2()2(222222DCBACzByAx , 04 222 DCBA若若方方程程的的图图形形是是, 04 222 DCBA若若方方程程的的图图形形是是, 04 222 DCBA若若方方程程的的图图形形;球球面面;一个点一个点.不不存存在在定义定义2. 一条平面曲线一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴轴 .例如例如 :; 0),(22 zxyf 0, yxf轴

3、轴绕绕x, 0),(22 zyxf轴轴绕绕y; 0) ,(22 yzxf 0, zyf轴轴绕绕z, 0),(22 zyxf轴轴绕绕y 0, zxf轴轴绕绕x, 0),(22 zyxf轴轴绕绕z. 0) ,(22 zyxf旋转曲面的方程的一般结果：旋转曲面的方程的一般结果：.2)1(2轴旋转轴旋转绕绕面上的抛物线面上的抛物线zpzyyOz ,不变不变z22yxy pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面例如例如解解.1)2(2222轴轴旋旋转转绕绕面面上上的的椭椭圆圆ybzayyOz ,不变不变y22zxz 122222 bzxay解解旋转椭球面旋转椭球面.1)3(2222轴轴旋旋转转绕绕面面上上的

4、的双双曲曲线线zbzaxzOx ,不变不变z22yxx 122222 bzayx解解单叶旋转双曲面面单叶旋转双曲面面.1)4(2222轴轴旋旋转转绕绕面面上上的的双双曲曲线线xbzaxzOx ,不不变变x22zyz 122222 bzyax解解双叶旋转双曲面面双叶旋转双曲面面. 所形成的曲面叫做柱面所形成的曲面叫做柱面移动的直线移动的直线定曲线定曲线沿沿平行于定直线并平行于定直线并LC, 叫做柱面的准线叫做柱面的准线定曲线定曲线C. 叫做柱面的母线叫做柱面的母线动直线动直线 L三、柱面方程与图形三、柱面方程与图形CL. 0),(, , yxFxOyCz其其方方程程为为条条曲曲线线面面上上的的一

5、一是是准准线线轴轴的的母母线线平平行行于于设设柱柱面面. , ),( , )0 ,( , 0),( ),( 11上上在在柱柱面面即即的的母母线线上上在在过过是是点点于于上上在在准准线线则则点点满满足足方方程程和和纵纵坐坐标标如如果果其其横横坐坐标标对对空空间间中中的的点点 MMzyxMCyxMyxFyxzyxM. 0),( , )0 ,( ),( ,1 yxFyxMCyxMxOyzyxM满足方程满足方程和纵坐标和纵坐标的横坐标的横坐标故点故点上上在准线在准线面上的垂足面上的垂足它在它在上的任一点上的任一点对柱面对柱面反之反之xyzOC),(zyxM)0 ,(1yxM. 0),( yxF的的方方

6、程程是是柱柱面面. 0),(: , 0),( , yxFCxOyzyxFzyx面上的曲线面上的曲线其准线是其准线是轴的柱面轴的柱面行于行于角坐标系中表示母线平角坐标系中表示母线平在空间直在空间直的方程的方程而缺而缺、只含只含一般地一般地. 0),( ,轴轴的的柱柱面面母母线线平平行行于于表表示示的的方方程程而而缺缺、只只含含类类似似地地yzxGyzx . 0),( 轴轴的的柱柱面面行行于于表表示示母母线线平平的的方方程程而而缺缺、只只含含xzyHxzy xyzOC),(zyxM)0 ,(1yxM12222 byax椭圆柱面椭圆柱面-2-1012-202-202-2-1012-202. 1 22

7、22 byaxxoyz面上的椭圆面上的椭圆线为线为轴，准轴，准母线平行于母线平行于.2 2pzx 抛物柱面抛物柱面.2 , 2pzxxOzy 面上的抛物线面上的抛物线为为准线准线轴轴母线平行于母线平行于-4-202402.557.51001234-4-2024. 0 yx平平面面. 0 , yxxOyz面上的直线面上的直线准线是准线是轴轴母线平行于母线平行于. 0 zx平面平面. 0 , zxxOzy面上的直线面上的直线准线是准线是轴轴母线平行于母线平行于xyzO0 yxxyzO0 zx四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进

8、行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )1 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo1. 椭球面椭球面zyx1. 椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1

9、zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z. , , 围成的长方体内围成的长方体内面面椭球面包含在由平椭球面包含在由平czbyax 用平行于坐标面的平面截椭球面用平行于坐标面的平面截椭球面,得到的截痕得到的截痕都是椭圆都是椭圆., , ,短短半半轴轴中中半半轴轴面面的的长长半半轴轴按按其其大大小小分分别别叫叫做做椭椭球球在在椭椭球球面面方方程程中中cbaozyxxzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用

10、x = c截曲面截曲面(1). 椭圆抛物面椭圆抛物面zqypx22222 2. 抛物面抛物面xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面(1). 椭圆抛物面椭圆抛物面.zqypx22222 2. 抛物面抛物面.,)0()1(截截痕痕为为原原点点去去截截面面用用 zxOy-505x-505y05101520z-505x,)0(去去截截用用 hhz-505x-505y05101520z-505x原点叫做椭圆抛物面的顶点原点叫做椭圆抛物面的顶点. . .,2222hzhbyax截截痕痕为为椭椭圆圆 . 0,)0()2(22yzaxyzOx截痕为抛

11、物线截痕为抛物线去截去截面面用用-505x-505y05101520z-505x .),(,2222kybkzaxky截痕也为抛物线截痕也为抛物线去截去截用平面用平面-505x-505y05101520z-505x . 0,)0()3(22xzbyxyOz截痕为抛物线截痕为抛物线去截去截面面用用-505x-505y05101520z-505x .),(,2222lxalzbylx截截痕痕也也为为抛抛物物线线去去截截用用平平面面-505x-505y05101520z-505x用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy0zqypx 2222截痕法截痕法 （

12、马鞍面）（马鞍面）(2). 双曲抛物面双曲抛物面 截痕法截痕法.(2). 双曲抛物面双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222截痕法截痕法.(2). 双曲抛物面双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222, )0( )1(去去截截用用平平面面 hhz. , 0 轴轴实实轴轴平平行行于于截截痕痕是是双双曲曲线线时时当当xh 平面上两条相交于平面上两条相交于截痕是截痕是时时当当 , 0 xOyh . , 0 轴

13、轴实轴平行于实轴平行于截痕也是双曲线截痕也是双曲线时时当当yh ., 2222hzhbyax截痕为截痕为-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x).0(0 zbyax原原点点的的直直线线, )2(去去截截用用平平面面tx ., , 0 张张口口朝朝下下抛抛物物线线平平面面上上顶顶点点在在原原点点的的截截痕痕是是时时当当yOzt . , 0 增增大大而而升升高高线线的的顶顶点点随随且且抛抛物物物物线线截截痕痕都都是是张张口口朝朝下下的的抛抛时时当

14、当kt ., 2222txzatby截痕为截痕为-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x, )3(去去截截用用平平面面ly .物线物线截痕都是张口朝上的抛截痕都是张口朝上的抛双曲抛物面又叫马鞍面双曲抛物面又叫马鞍面. . ., 2222lyblzax截痕为截痕为-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-20

15、24xxyzo. 1 222222 czbyax3. 双曲面双曲面(1)单叶双曲面单叶双曲面 .,1 , )1(222222hzchbyaxhz椭圆椭圆截痕为截痕为去截去截用平面用平面. 1 , 0 2222 byaxxOyh面上的椭圆面上的椭圆截痕为截痕为时时当当xyzo. 1 222222 czbyax. 1222222 czbyax .,1 , )( )2(222222kybkczaxbkky截痕为双曲线截痕为双曲线去截去截用平面用平面. 1 , 0 2222 czaxzOxk面上的双曲线面上的双曲线截痕为截痕为时时当当. , , 22轴轴于于虚轴平行虚轴平行轴轴双曲线的实轴平行于双曲线

16、的实轴平行于时时当当zxbk . , , 22轴轴于于虚虚轴轴平平行行轴轴双双曲曲线线的的实实轴轴平平行行于于时时当当xzbk ., 0 , 0 , )0 , 0( byczaxbyczaxbby和和程为程为方方的直线的直线一对相交于点一对相交于点截曲面的截痕为截曲面的截痕为平面平面 ., 0 , 0 , )0 , 0( byczaxbyczaxbby和和程为程为方方的直线的直线一对相交于点一对相交于点截曲面的截痕为截曲面的截痕为平面平面. , ) ( 0 ,)3(交交的的直直线线曲曲面面所所得得截截痕痕是是两两对对相相截截两两平平面面也也是是双双曲曲线线的的平平面面截截曲曲面面所所得得截截痕

17、痕面面和和平平行行于于面面用用平平面面类类似似地地axyOzyOzx (2) 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面4. 椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向

18、的伸缩变换得到 )xyz内容小结内容小结1. 空间曲面空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .2. 二次曲面三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面2222xyzpq 双曲面: 单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面: 22222zbyax2222xyzpq 理解理解( (画画) )曲面

19、的形状的一种方法：曲面的形状的一种方法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，通用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，通过考察其交线即截痕的形状来了解曲面的形状过考察其交线即截痕的形状来了解曲面的形状几种特殊的二次方程的曲面：几种特殊的二次方程的曲面：3、二次曲面总结、二次曲面总结截痕法。截痕法。1、方程、方程1222222 czbyax 曲面与坐标面的交线：曲面与坐标面的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax椭圆曲面与平面曲面与平面 的交线的交线1zz 12122222122221)()(zzzccbyzccax椭球面椭球面2、方程、方程1

20、222222 czbyax 曲面与坐标面的交线：曲面与坐标面的交线：,yczax 012222.xczby 012222,012222 zbyax椭圆曲面与平面曲面与平面 的交线的交线1zz 12122222122221zz)zc(cby)zc(cax单叶双曲面单叶双曲面双曲线3、方程、方程1222222 czbyax 曲面与坐标面的交线：曲面与坐标面的交线：,yczax 012222,zbyax 012222双曲线的的交交线线曲曲面面与与平平面面 11)a|x(|xx 椭圆双叶双曲面双叶双曲面 12212222212221)()(xxaxaczaxaby4、方程、方程qypxz2222 曲面与坐标面的交