[工学]第二章-单自由度系统的振动-part

1、Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 1华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3 2.3 单自由度振系的强迫振动单自由度振系的强迫振动2.3.1 2.3.1 概述概述2.3.2 2.3.2 简谐激励作用下的强迫振动简谐激励作用下的强迫振动2.3.3 2.3.3 振动隔离振动隔离2.3.4 2.3.4 测振传感器的基本原理测振传感器的基本原理2

2、.3.5 2.3.5 一般性周期激励作用下的强迫振动一般性周期激励作用下的强迫振动2.3.6 2.3.6 任意激励作用下的响应任意激励作用下的响应Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 2华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.3 2.3.3 振动隔离振动隔离)()()()(/1/1)()()()(1)()()()()()()()(20020

3、220202000sKsmsKsFsFxxsFxsmsFxkscxsmxkscsFxsmsFsFsFxsmsFsFxkxscxsmkscxsFKxkxscsFxkxcFFxkxcxmdydyisisisisisisdyisis 拉普拉斯变换拉普拉斯变换Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 3华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.3 2.3

4、.3 振动隔离振动隔离)()(/1/1)()(0)(0) 1() 1(0)()()()()()()()()()()(202022220000sKsmsKxxsFxsmsFkscsmkscxxksckscsmxxxxkxxscxxsmxxkxxscxsmkscxsFxxsFKxxkxxscsFxxkxxcFFxxkxxcxmdydyisisfffffffisfisdyffisffisff 拉普拉斯变换拉普拉斯变换Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 4华中农业大学华中农业大学Huazh

5、ong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.3 2.3.3 振动隔离振动隔离jkKKKKHKjKkksKsmsKHdydyndyndyndyndyndydy21)()()()()2()1 ()2(1)(/)()(/1/1)()()(2222220220)(, 01)(,HKHKdyndynDr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 5华中农业大学华中农业大学Huazhong Agri

6、culture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.3 2.3.3 振动隔离振动隔离例题：例题：如图示的往复机械，有一周期如图示的往复机械，有一周期激振力由电机转速引起，机械加支架激振力由电机转速引起，机械加支架总质量总质量m为为250kg，弹簧刚度，弹簧刚度k为为5kN/m，阻尼比，阻尼比 为为0.2。求：（求：（1）什么转速范围，传到基础的）什么转速范围，传到基础的力大于激振力？力大于激振力？ （2）什么转速范围，传到基础的）什么转速范围，传到基础的力小于激振力的力小于激振力的20%？Dr.Hongmei

7、Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 6华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.3 2.3.3 振动隔离振动隔离解：解：（1）当）当 ，传递率，传递率a1，即传到基础的力大于激，即传到基础的力大于激振力振力2min/200/83.1425055000200rsradmk（2）传到基础的力小于激振力的）传到基础的力小于激振力的20%，即隔振系数小于，即隔振系数小于

8、20%min/412%20)2()1 ()2(12222r解得解得Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 7华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.3 2.3.3 振动隔离振动隔离发动机悬置（发动机悬置（PowertrainPowertrain Mount Mount）初步设计）初步设计（1）刚度选择）刚度选择2时才有隔振效果，即时才有隔振效

9、果，即220mkDr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 8华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.3 2.3.3 振动隔离振动隔离（2）阻尼比选择）阻尼比选择阻尼比阻尼比较小，隔振效果较好。但可能导致共振区附近振幅过大。较小，隔振效果较好。但可能导致共振区附近振幅过大。（3 3）共振区选择）共振区选择发动机转速区段：起动、怠速、加速过渡、常用

10、工作转速区。发动机转速区段：起动、怠速、加速过渡、常用工作转速区。一般希望共振区发生在起动阶段，也就是悬置系统具有较低的一般希望共振区发生在起动阶段，也就是悬置系统具有较低的固有频率。固有频率。Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 9华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.4 2.3.4 测振传感器的基本原理测振传感器的基本原理x代表质量代

11、表质量m的绝对位移，的绝对位移，xb代表被测代表被测物体的绝对位移（支座位移），则质物体的绝对位移（支座位移），则质量量m的运动微分方程为：的运动微分方程为：bbkxxcxkxcxm 测振传感器所记录的是两者的相对位移测振传感器所记录的是两者的相对位移bbxmkzzczmxxz 设待测物体的位移设待测物体的位移tAxbsin22222212arctan)2()1 ()sin(sinAZtZztAmkzzczm Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 10华中农业大学华中农业大学Huaz

12、hong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.4 2.3.4 测振传感器的基本原理测振传感器的基本原理1. 1. 位移传感器位移传感器 低固有频率低固有频率bxtAtAZ 2020221sinsin1 时，1/5 . 2AZ时，所记录的相对运动振幅近似等所记录的相对运动振幅近似等于待测物体振幅。于待测物体振幅。2. 2. 加速度传感器加速度传感器 高固有频率高固有频率压电式传感器正是利用了这个特性。传感器的固有频率压电式传感器正是利用了这个特性。传感器的固有频率0 0越大，测量精度就越高

13、。压电陶瓷晶体的固有频率可高达越大，测量精度就越高。压电陶瓷晶体的固有频率可高达数千赫兹。数千赫兹。Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 11华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.5 2.3.5 一般性周期激励作用下的强迫振动一般性周期激励作用下的强迫振动)()(Ttftf满足以下条件，可展开为傅立叶级数满足以下条件，可展开为傅立叶级数(

14、Fourier series)：(1)函数在同一周期内连续或只有有限个第一类间断点；函数在同一周期内连续或只有有限个第一类间断点；(2)在一个周期内只有有限个极大、极小值。在一个周期内只有有限个极大、极小值。)sin(2) )sin()cos(2)(1010nnnnnntnAatnbtnaatf式中，基频式中，基频nnnnnnTnTnTbabaAdttntfTbdttntfTadttfTaTtan)sin()(2)cos()(2)(22220000Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page

15、 12华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.5 2.3.5 一般性周期激励作用下的强迫振动一般性周期激励作用下的强迫振动An， n 分别称为振幅频谱图和相位频谱图，上分别称为振幅频谱图和相位频谱图，上述方法用于振动分析称为述方法用于振动分析称为频谱分析频谱分析。Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 13华中农业大学华中农业大学Huazho

16、ng Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.5 2.3.5 一般性周期激励作用下的强迫振动一般性周期激励作用下的强迫振动例题：例题：对图示的矩形波进行谐波分析。对图示的矩形波进行谐波分析。解：解：tttAtffTtjjAtfnnAdttntfTbdttntfTadttfTajTnTnT5sin513sin31sin4)(22) 12sin(1214)(5 , 3 , 14)sin()(20)cos()(20)(200000Dr.Hongmei Xu College of Engineeri

17、ng, Huazhong Agriculture University Page 14华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.5 2.3.5 一般性周期激励作用下的强迫振动一般性周期激励作用下的强迫振动以以T T为周期的单位矩形波，其傅立叶级数表示为：为周期的单位矩形波，其傅立叶级数表示为：ttttf5sin513sin31sin4)(Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture

18、 University Page 15华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.5 2.3.5 一般性周期激励作用下的强迫振动一般性周期激励作用下的强迫振动对以对以T T为周期的单位矩形波的正弦谐波叠加逐次逼近：为周期的单位矩形波的正弦谐波叠加逐次逼近：ttttf5sin513sin31sin4)(Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 16华

19、中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.5 2.3.5 一般性周期激励作用下的强迫振动一般性周期激励作用下的强迫振动Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 17华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.

20、5 2.3.5 一般性周期激励作用下的强迫振动一般性周期激励作用下的强迫振动线性系统的叠加原理线性系统的叠加原理对于线性定常微分方程，若：对于线性定常微分方程，若：)()()()(2211txtfxkxcxmtxtfxkxcxm的解为的解为 )()()()(2121txtxtftfxkxcxm的解为 Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 18华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mec

21、hanical Vibration2.3.5 2.3.5 一般性周期激励作用下的强迫振动一般性周期激励作用下的强迫振动若若f(t)为周期激振力为周期激振力)(tfxkxcxm ) )sin()cos(2)(10jjjtjbtjaatfxkxcxm 稳态振动的解可以按照叠加原理，可得：稳态振动的解可以按照叠加原理，可得：2212222012arctan)2()1 ()sin()cos(2jjjjktjbtjakaxjjjjjjDr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 19华中农业大学华中农

22、业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.5 2.3.5 一般性周期激励作用下的强迫振动一般性周期激励作用下的强迫振动例题：例题：一个弹簧质量单自由度系统，一个弹簧质量单自由度系统，受到力幅为一个单位力的矩形波周期受到力幅为一个单位力的矩形波周期函数的激励作用，求系统的稳态强迫函数的激励作用，求系统的稳态强迫振动响应。振动响应。解：解：6 , 4 , 205 , 3 , 14)sin()sin(2)sin()(20)cos()cos(2)cos()(20) 1 () 1

23、 (2)(22/2/002/2/002/2/000jjjdttjdttjTdttjtfTbdttjdttjTdttjtfTadtfdtTdttfTaTTTTjTTTTjTTTTDr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 20华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.5 2.3.5 一般性周期激励作用下的强迫振动一般性周期激励作用下的强迫振动 ttt

24、kxxcxmjtjjtfj5sin513sin31sin4), 5 , 3 , 1()sin(14)(1于是于是0222223222112222, 5 , 3 , 112arctan)6()91 (3)3sin()2()1 ()sin(4)2()1 ()sin(4jjjttkjjjtjkxjjjDr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 21华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechan

25、ical Vibration2.3.6 2.3.6 任意激励作用下的响应任意激励作用下的响应在工程实际中，对振动系统的激励作用往往既不是简谐的，在工程实际中，对振动系统的激励作用往往既不是简谐的，也不是周期的，而是任意的时间函数，包括作用时间很短的也不是周期的，而是任意的时间函数，包括作用时间很短的冲击时间。在这种激励下，系统通常没有稳态振动而只有瞬冲击时间。在这种激励下，系统通常没有稳态振动而只有瞬态振动。在这种激振停止后，系统就将按照其固有频率进行态振动。在这种激振停止后，系统就将按照其固有频率进行自由振动，即所谓的剩余振动。系统在任意激振下的瞬态振自由振动，即所谓的剩余振动。系统在任意激

26、振下的瞬态振动包括剩余振动在内统称为动包括剩余振动在内统称为任意激振的响应任意激振的响应。对汽车系统来说，经常受到任意激励的作用。如：对汽车系统来说，经常受到任意激励的作用。如：汽车离合汽车离合器结合过程引起的传动系的扭振，汽车换档过程中的齿轮冲器结合过程引起的传动系的扭振，汽车换档过程中的齿轮冲击，汽车遇到凸起或凹坑路面引起的颠簸，发动机气门和凸击，汽车遇到凸起或凹坑路面引起的颠簸，发动机气门和凸轮机构的振动轮机构的振动，都是任意激励引起的振动。，都是任意激励引起的振动。Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture Un

27、iversity Page 22华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.6 2.3.6 任意激励作用下的响应任意激励作用下的响应1. 1. 杜哈美积分法杜哈美积分法a. . 杜哈美积分法又称为杜哈美积分法又称为卷积积分法卷积积分法或或叠加积分法叠加积分法。b. . 基本思想：基本思想：把任意激振分解为一系列微冲量的连续作用，把任意激振分解为一系列微冲量的连续作用，分别求系统对每个微冲量的响应，然后根据线性系统的叠加分别求系统对每个微冲量的响应，然后根

28、据线性系统的叠加原理，把它们叠加起来，即得系统对任意激振的响应。原理，把它们叠加起来，即得系统对任意激振的响应。c. . 杜哈美积分法很容易利用计算机来计算，适用于解决复杂杜哈美积分法很容易利用计算机来计算，适用于解决复杂问题及数值问题。问题及数值问题。Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 23华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.6 2

29、.3.6 任意激励作用下的响应任意激励作用下的响应单位脉冲可以用单位脉冲可以用 函数表示，定义为：函数表示，定义为：1)()(00)(00dttdtttt当1)()(0)(00dttdtttt当单自由度系统在单位脉冲作用下的运动微分方程为：单自由度系统在单位脉冲作用下的运动微分方程为：)(tkxxcxm Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 24华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of M

30、echanical Vibration2.3.6 2.3.6 任意激励作用下的响应任意激励作用下的响应系统的初始条件为系统的初始条件为 ，两边从，两边从0-到到0+进行积分得：进行积分得：0)0()0(xx 1)()(0000dttdtkxxcxm 考虑到在趋于零的时间间隔内，系统的位移考虑到在趋于零的时间间隔内，系统的位移x来不及变化，即来不及变化，即x(0+) = 0，故上式左边各项的积分为：，故上式左边各项的积分为：mxkxdtxcddtxcxmxmddtxmcxxm/1)0(00)0(00000000000000 Dr.Hongmei Xu College of Engineering

31、, Huazhong Agriculture University Page 25华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.6 2.3.6 任意激励作用下的响应任意激励作用下的响应)sincos(00000txxtxexdddt小阻尼，初始条件小阻尼，初始条件 情况下单位脉冲所引起情况下单位脉冲所引起的响应为：的响应为：temtextxthdtddtdsin1sin)()(000)(sin1sin)()(00)(0temtextxthdtddtdt=

32、时作用在系统上时作用在系统上mxx/1, 000Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 26华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.6 2.3.6 任意激励作用下的响应任意激励作用下的响应1. 杜哈美积分杜哈美积分dtefmtxdfthtxdfthdxdttdt)(sin)(1)()()()()()(0)(00dtefmtxxtxetxdtt

33、ddddt)(sin)(1)sincos()(0)(000000全响应全响应Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 27华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.6 2.3.6 任意激励作用下的响应任意激励作用下的响应例题：例题：用杜哈美积分计算无阻尼单自由度系统在矩形脉冲作用杜哈美积分计算无阻尼单自由度系统在矩形脉冲作用用下的响应。下的响应。

34、解：解：激振函数如图所示，表达式为：激振函数如图所示，表达式为：TtTtFtf00)(0cos1 )(cos1)(sin1)(00000000000tkFtmFdtFmtxttcos)(cos)(cos1)(sin1)(000000000000tTtkFtmFdtFmtxTT(1) 0 t T(2) t TDr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 28华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of

35、Mechanical Vibration2.3.6 2.3.6 任意激励作用下的响应任意激励作用下的响应2. 2. 傅式积分法傅式积分法知识回顾：知识回顾：deFtfdtetfFtti)(21)()()(傅氏变换傅氏变换傅氏反变换傅氏反变换非周期函数非周期函数x(t)可以用傅氏积分式表示为：可以用傅氏积分式表示为：deXtxt)(21)(式中，式中，)(,)()(XdtetxXti是响应是响应x(t)的傅氏变换对。的傅氏变换对。Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 29华中农业大学华

36、中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.6 2.3.6 任意激励作用下的响应任意激励作用下的响应非周期函数可以看成是由无数个复振幅为非周期函数可以看成是由无数个复振幅为 的谐波分的谐波分量所组成，求出对应每个谐波分量的响应后，再根据线性系量所组成，求出对应每个谐波分量的响应后，再根据线性系统的叠加原理，就可求得系统的总响应。统的叠加原理，就可求得系统的总响应。2)(F)()()()(21)()()(212)()(lim)(0FHXdeXtxdeFHeFHtxtit

37、itiicmkH21)(线性单自由度系统的频响函数为：线性单自由度系统的频响函数为：Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 30华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.6 2.3.6 任意激励作用下的响应任意激励作用下的响应单位脉冲函数的傅氏变换单位脉冲函数的傅氏变换求得输出函数的傅氏变换求得输出函数的傅氏变换脉冲响应函数为脉冲响应函数为傅式

38、变换对傅式变换对1)()(dtetFti)()()()(HFHXdeHdeXthtiti)(21)(21)(dtethHti)()(Dr.Hongmei Xu College of Engineering, Huazhong Agriculture University Page 31华中农业大学华中农业大学Huazhong Agriculture University机械振动基础机械振动基础Foundation of Mechanical Vibration2.3.6 2.3.6 任意激励作用下的响应任意激励作用下的响应例题：例题：用傅式积分法计算图示无阻尼单自由度系统在阶跃激用傅式积分法计算图示无阻尼单自由度系统在阶跃激励作用下的响应。励作用下的响应。TTtitiiFdteFdtetfF00)()(解：解：激振函数的傅式变换为：激振函数的傅式变换为：由于无阻尼，频响函数为由于无阻尼，频响函数为20)/(11)(kH200)/(11)()()(kiFFHXDr.Hongmei Xu College