成人高考《高等数学(二)》模拟试题和答案解析(三)

1、成人高考高等数学（二）模拟 试题和答案解析（三）成人高考高等数学(二”模拟试题和答案解析(三)一、选择题：110小题，每小题4分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括 号内.1.'ain 2x 设函数则函数Rx)的间断点是( ). 工一InA. x=-2B. x=-1C. x=1D. x=02.设？ (x)在xo及其邻域内可导，且当 x<xo时？ / (x)>0 ,当 x>xo 时？ / (x)<0 ,则 必？/ (x 0)().A.小于0B.等于0C.大于0D.不确定3.；,：一B.2xcu&(

2、 x2) -2e-：J-2xcos( x2)一栏?2）+e-2x ,则？ ,（x）等于D.5.1-'QCX-8 ）内义M）的单调递增区间是（）.A.，B.C (0, 1)D. 6. 1A.xln x+CB.D.-xlnx+C11户In jc+C-In x+C7.A.设？ ,（x）=COS x+x ,则？ （x）等于（）2 工 一 一sin x+C 2B.D.sinx+x 2+C sinx+2x 2+C8.A.F(x)B.-F(x)设/U）为连续的偶函数，且收二，由，则F（t）等于（D.9.A.B.D.? / (x+y)+ ? / (x-y)? / (x+y)- ? / (x-y)2 ?

3、 / (x+y)2 ? / (x-y)2F（x）设函数Wy）,其中/为可导函数，则察+空等于（ dx dy10.若事件A发生必然导致事件B发生，则事件 A和B的关系一定是（）.AB.C.对立事件D.互不相容事件二、填空题：1120小题，每小题4分，共40 分.把答案填在题中横线上.11.设函数1 '在工=0处连续，则 L 口， H 二0则右广=-设函数 y=+2>ln 2JIJ h.设函数y=In(1+x2)贝U dy=.设函数*，.则|.I 1 = 0/k)dT='_一设函数人的=In%则/(6)血=.J x di =.设工=m仔+，则登=_ 一. xy I 3*由曲线

4、y=x和y=x2围成的平面图形的面积12.13.14.15.16.17.18.19.20.S=.三、解答题：2128小题，共70分.解答应写 出推理、演算步骤.21.22.（本题满分*分）设函效尸卬足求23.24.25.（本题满分8分）设随机变量X的分布列为X123 4P0.2 0.3 a 0.4求常数a ；（2）求X的数学期望E（X）.26.（本题满分10分）当x>0时）证明：ex>1+x.27（本题满分10分）某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是1订后,池底的材 料30元池壁的材料20元/亩,问如何殳汁，才能使成本最低，最低成本是多少元？ （本题满分10分）求二元函数上

5、T+四+型的极值.28.参考答案及解析一、选择题1 .【答案】 应选D.【解析】 本题主要考查间断点的概念.读者若注意到初等函数在定义区间内是连续的 结论，可知选项A B、C都不正确，所以应选D.2 .【答案】 应选B.【解析】本题主要考查函数在点X0处取到极值 的必要条件：若函数y=?(x)在点X0处可 导，且X。为？ (x)的极值点，则必有？/ (Xo)=0. 本题虽未直接给出X。是极值点，但是根据已知条 件及极值的第一充分条件可知f(X。)为极 大值，故选B.考生必须注意的是；题目中的条件在点通的邻域内可导是不可少的,否则相应的结论 尸不一定正礁 这是因为极值可以在导数不存在的点处取到，

6、如丁 =丁金，当 *=0时不存在,但父=0为r的极小值点.3 .【答案】应选D.【解析】本题考查的知识点是基本初等函数的 导数公式.因为工扭 所以选D.4 .【答案】应选B.【解析】本题主要考查复合函数的求导计算.求复合函数导数的关键是理清其复合过程：第一 项是sin u , u=X2;第二项是e0, u =-2x .利用 求导公式可知f'(#)=必(/)'tens(丁 ) * (x1) J+e-J1 - ( -2x) * =2jcos(i2 ) -2e5 .【答案】应选D.【解析】 本题考查的知识点是根据一阶导数？ / (x)的图像来确定函数曲线的单调区间.因为 在x轴上方？

7、 / (x)>0，而？ / (x)>0的区间为？ (x) 的单调递增区间，所以选 D.6 .【答案】应选C.【解析】本题考查的知识点是不定积分的概念和换元积分的方法.对于不定积分的积分公式如f幅xdx = sin aC,考生应该更深一层次地理解为其结构式是 /口(1口 =加口+匚式中的方块“口"既可以是变域#，血可以是二的函数式，例如人酬冏d回之 sin回+C Jms 三d叵=苜沁四可+金只要符合上述结构式的函数或变量，均灯上面的积分 公式成立.其他的积分公式也有完全类似的结构式.如果将上述式子内的函数的微分写出来. 则有：)d(x') =2卜 g苗(i )d*

8、及 J cos (in x) d (In|-cos( In 工)如果在试题中将等式右边部分拿出来，这就需要用凑微分法(或 换元积分法)将被积表达式写成能利用公式的不 定积分的结构式，从而得到所需的结果或答 案.考生如能这样深层次理解基本积分公式，则无论是解题能力还是计算能力与水平都会有一 个较大层次的提高.基于上面对积分结构式的理解，本题亦为：已知7(口)<!口 = 口 Jc.则/%】n G也等于().由于*)八二工), 此时二】n *所以 j In x)dx = ln x * 看小+C =In 工, e,B+C=In h+C,即选项 C 正确. X7 .【答案】应选B.【解析】本题考查

9、的知识点是已知导函数求原 函数的方法.fx = f'(x)dx = J( c<»s x + x)dx - sin x + - + C,8 .【答案】应选B.【提示】 利用及山，作变量代换ut,则F< 7)= 1/( - u)d( - 14)= - J/(=" F(m),所以应选反9 .【答案】应选C.【提示】本题考查的知识点是二元复合函数偏 导数的求法.本题只需将m=/N+T)+/(#-¥)写成5/(&)+八u)，其中u = m+同时利用复合函数求 偏导数公式曲二/整+<3手和坐旷Q)煞可知选项C是正确的.社a 工Bx dydy

10、rfy10 .【答案】应选A.【提示】本题考查的知识点是事件关系的概念.根据两个事件相互包含的定义，可知选项A正确.二、填空题11 .【答案】应填1/8 .【解析】利用函数在点跖连续的定义的/(*)=/(%),则布- 飞v，工+4 -2 -xIkm-lim. _- = a.I 2x 2式斤耳+2) 812 .【答£；【解析】利用重要极限n的结构式，则有1回直)、】+3,)叱"上13 .；法】【提示】 用复合函数求导公式计算可得答案.注意 ln 2是常数.d A【答案】应填；""14 .1 -【解析】用复合函数求导公式求出y',再写出dy.因为I+

11、XI所以*，=含浊15 .【答案】应填120.【提示】(x5)=5 1.16 .【答案】应填1/2tan 2x+C .【解析】用凑微分法积分.1嬴盘厂界舄五jd( 2*)=畀”2*) + C.17 .【答案】应填e-1 -e 2.【解析】本题考查的知识点是函数的概念及定 积分的计算.因为尸(幻HL,则广西)=二=d所以 xe=J e ,dt =* e 1 = e-1 - e 注意;/'(1)左关4/(/).18 .【答案】应填1.【解析】利用偶函数在对称区间定积分的性质，则有(t dx = 2f jtdx - x1 -,J -1)0dn【答案】应填差工19 .【解析】对于对数函数应尽可

12、能先化简以便于 求导.因为20 .【答案】应填吉【解析】画出平面图形如图2-32阴影部分图 2-3-2三、解答题21 .本题考查的知识点是重要极限n .【解析】 对于重要极限n :1 #尸=e 或1i” 1 +-j =小它的结构式为1淅口+口）=%式中的“ ”既可以是叫乂可以是MD-*o的函数，只饕当天（或8）时方块“口”-0,满足上述结构式的极 限为e.例如：（一年）=已一手（驶e）.,而im 1 -三利用重饕极限的结构式很容易求斛考生需要注意这种题型的变化.由于JTT0尽管其形式不一样，但它都可以直接化为电要极限的形式*式.如果熟练掌握r量要极限的结构式，就可以很容易地求解与它们相关的题目

13、r.22 .本题考查的知识点是求复合函数在某一点处 的导数值.【解析】先求复合函数的导数y / ,再将x=1代入y / .解 因为, 1. J所以|,=r23 .本题考查的知识点是定积分的计算方法.【解析】 本题既可用分部积分法计算，也可用 换元积分法计算.此处只给出分部积分法，有兴 趣的读者可以尝试使用换元积分法计算.解f arctml xdx = cardan x - f -1 -d(x2 + 1 )° Ju I + .*-42 Jq l 十窕匚-ln( I +#2) 二】事n 2.424224 .本题主要考查原函数的概念和不定积分的分 部积分计算方法.【解析】这类题常见的有三种

14、形式：若人*)的一个原函数为求求求/(#)也 本题为第一种形式.常用的方法是将？(x)=(arctanx)”代入被积函数，再用分部积分法.第二和第三种形式可直接用分部积分法计算：27%t)d# = 旷(工)= x'fx) - 2卜尸(刀)也 = /()- 2职工)-,工)M，然后再用原函数的概念代入计算.解 因为(&网3n #)'=：、，所以】+X 2,Jjc2/( s) = J j-jd# = J( I - -<J 6# =4-arcian r + C.25 .本题考查的知识点是随机变量分布列的规范 性及数学期望的求法.【解析】利用分布列的规范性可求出常数a ,

15、再用公式求出E(X).解(1)因为 0.2+0. 3+a+0.4=1,所以 a =0. 1 . (2)E(X)=1 X0. 2+2x 0.3+3X 0. 1+4X 0.4=2. 7. 26.本题考查的知识点是用函数的单调性证明不 等式的方法.【解析】通常情况下是将不等式写成一个函数 ?(x)=ex-x-1 ,证明？ / (x)>0(或？ / (x)<0), 再根据单调性知，? (x)>= ? (0)=0 .证 设？(x)=ex-1-x ,则 f(x)=0 ,因为？/ (x)=e x-1 ,当 x>0 时，？/ (x)>0 ,所以？ (x)是单 调增加函数.即x&g

16、t;0时，？(x)> ?(0),即 ex-1-x>0 ,所以 ex>x+1.27 .本题考查的知识点是应用导数求实际问题的 极值.【解析】 所谓“成本最低”，即要求制造成本 函数在已知条件下的最小值.因此，本题的关键 是正确写出制造成本函数的表达式，再利用已知 条件将其化为一元函数，并求其极值.解 设池底半径为池高为M如图2-3-3).则17，% =彦宣.得人=三.又 42r设制造成本为队则S = 30 , irr2 +2Q - 2KM = 30 " irr" +20 - Zirr - = 301r( J + j ,S，m 30qz(2r 一丁).令S'O,得驻点图 2-3-3因为贷=30中+摄>0.所以r=1为唯一的极小值点，即为最小值点.所以，底半径为1 m,高为3/2m时，可使