2020江苏高考理科数学二轮讲义：导数及其应用含解析

1、教学资料范本2020江苏高考理科数学二轮讲义：导数及其应用含解析编辑：时间：第5讲导数及其应用20xx考向导航考点扫描三年考情考向预测20xx20xx20xx1 .导数的几何意义2 .利用导数研第11题第11题第11题导数在江苏局考中王要考查：一是 导数的运算法则和导数的几何意义、是 中档题；二是利用导数来解决函数的单究函数的性质3 .导数的实际运用4 .导数的综合第19题第17题第19题第20题调性与最值问题、证明不等式以及讨论 方程的根等、一般在压轴题位置；三是 应用导数解决实际问题、试题难度中 等.运用1 .必记的概念与定理(1)导数的几何意义函数y=f(x)在点x= xo处的导数值就是

2、曲线y=f(x)在点(xo、f(xo)处的切线的斜率、其切线方程是 y f(xo)= fzx0)(x xo).(2)函数的单调性函数f(x)在(a、b)内可导、且f'x)在(a、b)任意子区间内都不恒等于0.f' (x)>0? f(x)在(a、b)上为增函数.f'x)wo? f(x)在(a、b)上为减函数.(3)函数的极值函数的极小值函数y= f(x)在点x= a的函数值f(a)比它在点x= a附近其他点的函数值都小、f' (a)= 0、而且在点x= a附近的左侧f' x0vO、右侧f'x)>0、则点a叫做函数y=f(x)的极小值点、

3、f(a)叫 做函数y=f(x)的极小值.函数的极大值函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x= b附近的其他点的函数值都大、f' (b) =0、而且在点x=b附近的左侧f'x)>0、右侧f'x)v0、则点b叫做函数y=f(x)的极大值点、 f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点、极大值和极小值统称为极值.(4)函数的最值在闭区间a、b上连续的函数 f(x)在a、b上必有最大值与最小值、要注意端点值与极 值比较.若函数f(x)在a、b上单调递增、则f(a)为函数的最小值、f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a、b上单调

4、递减、则f(a)为函数的最大值、f(b)为函数的最小值.2 .记住几个常用的公式与结论四个易误导数公式及两个常用的运算法则(1)(sin x) = cos x.(2)(cos x) = sin x.(3)(ax) = axln a(a>0、且 aw 1).1, c L.、(4)(logax) =xin7(a>0' 且 a*"(5)f(x) g(x) = f'x)g(x) + f(x)g'x).合 f ，f'(x)g (x) f (x)g' (x)(6) /、=r/ IC(g(x)W0).' 'g (x)g (x) 2

5、M )3 .需要关注的易错易混点(1)导数与函数单调性的关系f' (x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件、如函数f(x) = x3在( 8、+oo )上单调递增、但 f' x0> 0.f' (x)>0是f(x)为增函数的必要不充分条件、当函数在某个区间内恒有f'x)=0时、则f(x)为常数、函数不具有单调性.(2)函数的极值与最值函数的极值是局部范围内讨论的问题、函数的最值是对整个定义域而言的、是在整个 范围内讨论的问题.函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个、而函数的极值可能不止一个、也可 能没有.闭区间上连续的函数一定有最值、开区

6、间内的函数不一定有最值、若有唯一的极值、 则此极值一定是函数的最值.12 / 24导数的几何意义典型例题（1）（20xx高考江苏卷）在平面直角坐标系xOy中、点A在曲线y= ln x上、且该曲线在点 A处的切线经过点（一e、一 1）（e为自然对数的 底数）、则点A的坐标是. 一一一 兀（2）（20xx xx二第一次倜研测试）已知两曲线 f（x） = 2sin x、g（x）=acos x、xC 0,万相交于点P.若两曲线在点 P处的切线互相垂直、则实数 a的值为.1【解析】（1）设A（xo、ln xo）、又y'= x、则曲线y= ln x在点A处的切线方程为yIn xo=-0（x-xo）

7、 将（一e、一 1）代入得、一1ln x0="O（-e-xo） 化简得 In *。=氏、解得 xo= e、则 xoxoxo 点A的坐标是（e、1）.（2）设点P的横坐标为 xo、则2sin xo= acos xo、(2cos xo)( asin xo)= 1、所以 4sin2xo=1.因为 xoC 0, 2、所以 sin xo = ；、cos xo=§、所以 a=233【答案】（1）1（2）233导数的几何意义是切点处切线的斜率、应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(xo、f(xo)求斜率k、即求该点处的导数值：k=f'x0);(2)已知斜率k、求切点A(

8、xi、f(xi)、即解方程f' x)=k;(3)已知过某点 M(xi、f(xi)(不是切点)的切线斜率为 k时、常需设出切点A(x。、f(x。)、利对点训练1. (20xx江苏省四星级学校联考)已知函数f(x) = ex+且(aC R、e为自然对数的底数)的导 ex、，函数f' x)是奇函数、若曲线y=f(x)在(x。、f(xo)处的切线与直线 <2x+y+1 = 0垂直、则xo=解析由题意知f'x) = ex a e x、因为f'x)为奇函数、所以 f' (0) 1 a= 0、所以a= 1、 故f'x)=ex e x,因为曲线y= f(x

9、)在(x。、f(xo)处的切线与直线 亚x+y+ 1 = 0垂直、所以f x0) =exo- e xo= 12、解得 exo=V2、所以 xo=ln V2 = 2 In 2 答案V一 1 一2,直线I与曲线丫=3、及丫= 4*2都相切、则直线I的万程为.1 C解析设直线I与曲线 y = ex的切点为(xo、ex0)、直线I与曲线 y=x2的切点为 x2 一、,， ， 一一 x2 , ,x2x1 , 一不、因为y=ex在点(x。、exo)处的切线的斜率为 y'xWxo=exo、y=-在点x1 ,-2 x = x1 2处的切线的斜率为 y'11=x = 9 则直线I的方程可表示为y

10、=exox-xoexo +- x1e x0 =一不exo或 y= %ix+ ；x2、所以所以 e xo=i xo、解得 xo= 0.所以直线l的方程为y=x+1.x1x0ex0 + ex0 =,4 '答案y = x+1利用导数研究函数的性质典型例题(20xx江苏省名校高三入学摸底卷)已知函数 h(x)=bxln x的图象经过点(e、2e)、函数 f(x) = x a+ 仪)(a、bCR).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个极值点 xi、x2、且xix2、证明：f(x2)vx21.【解】(1)因为函数h(x)=bxln x的图象经过点(e、2e)、所以b = 2、

11、所以函数h(x)=2xlnx、故函数 f(x) = x3一21n x、 xaf (x)=1 + x22 x2 2x+a -=x x2令 f'x）=0、得 x22x+a=0、其判别式 A= 44a、当AC 0、即a> 1时、x2-2x+a>0> f' （x）>0、此时f（x）在（0、十）上单调递增.当 A> 0、即 a< 1 时、方程 x22x+a = 0 的两根为 x = i _q 1 a、x2= 1 +yla >1、 若 aW0、则 x1W0、则当 xC (0、x2)时、f' (x)V0、当 xC(x2、+ oo)时、f，(x

12、)>0、此时f（x）在（0、x2）上单调递减、在（x2、+8）上单调递增；若 0vav1、则 x1>0、则当 xC（0、x1）时、f' （x）>0、当 xC（x1、x2）时、f' （x）<0、当 xC （x2、+ 8）时、f （x）>0、此时f（x）在（0、x1）上单调递增、在（x1、x2）上单调递减、在（x2、+ 00 ）上单调递增.综上所述、当aW0时、函数f（x）在（0、x2）上单调递减、在（x2、+8）上单调递增；当 0V a<1时、函数f（x）在（0、x1）上单调递增、在（x、x2）上单调递减、在（x2、+ 8）上单调递增；当 a&

13、gt;1时、函数f（x）在（0、+8）上单调递增.（2）证明：由（1）可知、函数f（x）有两个极值点 x1、把、等价于方程 x22x+a = 0在（0、+8）上有两个不相等的实根、故 0vav1.由（1）得当 0vav 1 时、x2= 1 + 1 -a、则 1 vx2<2、a=- x2+2x2.x2 + 2x2f(x2) x2+ 1 = x2 -21n x2 x2 + 1 = x2 21n x2 1 .x2令 g(t)=t21n t1、,2 t2则g'tx= 1 片干、当 1 vtv 2时、g' (t)<0、故g(t)在(1、2)上单调递减.故 g(t)Vg(1)=

14、 1 21n 1-1 = 0.所以 f(x2) x2 + 1 = g(x2) < 0、 即 f(x2)V x2 1 .利用导数研究函数性质的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f'x);(3)若求单调区间(或证明单调性 卜只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'x)>0或f x)<0.若已知函数的单调性、则转化为不等式f x0>0或f (x)<0在单调区间上恒成立问题来求解.(4)若求极值、则先求方程f'x)=0的根、再检查f' (x)在方程根的左右函数值的符号.若已知极值大小或存在情况、则转化为已知方程f' (x

15、)=0根的大小或存在情况来求解.(5)求函数f(x)在闭区间a、b的最值时、在得到极值的基础上、结合区间端点的函数值 f(a)、f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.对点训练3.已知函数 f(x)=ax2-(a+2)x+ln x、其中 aCR.当a=1时、求曲线y=f(x)在点(1、f(1)处的切线方程;(2)当a>0时、若f(x)在区间1、e上的最小值为一2、求a的取值范围.解当 a= 1 时、f(x)= x2- 3x+ln x(x>0)、v1 2x2 3x+1所以 f x)=2x3+=、x x所以f(1) = 2、f (1) = 0.所以切线方程为 y=- 2.(2

16、)函数 f(x)= ax2(a+2)x+In x 的定义域为(0、+ 8)、当a>0时、1 2ax2 (a + 2) x+ 1f (x) = 2ax-(a + 2) + -=xxx(2x1) (ax1)x令 f'x)=0、解得 x= 1或 x=1.2 a_ .1当0<w 1、即a>l时、f(x)在1、e上单倜递增. a所以f(x)在1、e上的最小值为f(1)=2、符合题意；当1<<e>即La<1时、f(x)在1, 一上单调递减、在 -，e上单调递增、 a eaa所以f(x)在1、e上的最小值为f - <f(1) = 2、不合题意；a-1

17、r 一1 一，、一、，、当e、即0<aw-时、f(x)在1、e上单倜递减、 ae所以f(x)在1、e上的最小值为f(e)<f(1) = 2、不合题意.综上、实数a的取值范围是1、+ 8).导数的实际运用典型例题(20xx江苏省高考名校联考)某制药厂生产一种颗粒状粉剂、由医药代表负责推销、若每包药品的生产成本为6元、推销费用为t(1wtw3)元、预计当每包药品的售价为x元时、一年的市场销售量为 (20 x)2万包、若从民生角度考虑、每包药品的售价不得高于生产成本的250%、但为了鼓励药品研发、每包药品的售价又不得低于生产成本的200%.(1)写出该种药品一年的利润W(万元)与每包药品

18、的售价 x的函数关系式W(x);(2)当每包药品的售价为多少元时、一年的利润W最大、并求出 W的最大值.【解】(1)W(x) = (x- 61)(20 x)2、xC 12、15.(2)由(1)得 W' x) = (20 x)(32 + 2t-3x)、. 一 ,32 + 2t令 W x0= 0 得 x= 20 或 x=-、又1 w tw 3、所以34-<丝土2t<眼、 333故当 xw32 + 2t时、W' (x)>0、W(x)单调递增；当 32 + 2tvx<20时、W' (x)<0、W(x)单 33调递减；当x>20时、W x)&g

19、t;0> W(x)单调递增.又xC 12、15、所以当32 + 2tW12、即1WtW2时、W(x)在12、15上单调递减、所以当3x= 12时、W(x)取得最大值 38464t;当32：2t > 12、即2vtW3时、又xC12、15、所以当x= 32：2t时、W(x)取得最大值；4 332 7(14t)3.综上所述、若1WtW2、当每包药品的售价为12元时、一年的利润 W最大、最大利润为 38464t 万元;若2vtw3、当每包药品的售价为 干121元时、一年的利润W最大、最大利润为法(14 32 7t)3万元.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤分析实际问题中各个量之间的关

20、系、建立数学模型、写出函数关系式y=f(x)；(2)求出函数的导函数 f'x)、解方程f'x)=0;(3)比较函数在区间端点和使 f'x)=0的点处的函数值的大小、最大(小)者为最大(小)值.对点训练4.现需要设计一个仓库、它由上下两部分组成、上部的形状是正四棱锥P鞠AiBiCiDi、下部的形状是正四棱柱 ABCD槽AiBiCiDi(如图所示卜并要求正四棱柱的高 OiO是正四棱锥 的高POi的4倍.(i)若AB=6 m、POi=2 m、则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m、则当POi为多少时、仓库的容积最大?解(i)由 POi=2 知 OiO=4POi

21、 = 8.因为 AiBi = ab= &11所以正四梭锥 P低AiBiCiDi的体积V锥=W人62-POi=-X 62x 2 = 24(m3), 33正四棱柱 ABCD断AiBiCiDi的体积V柱=人32OO= 62X 8= 288(m3).所以仓库的容积 V= V锥+ V柱=24 + 288= 312(m3).(2)设 AiBi = a m、POi=h m、则 0<h<6、OiO = 4h.如图、连结 OiBi.因为在 RtPOiBi 中、OiB2+PO2= PBi、所以甥2+h2=36、即 a2=2(36-h2).于是仓库的容积V= V柱+ V锥=22 4h+ %2 h

22、 = i3a2h 33= 26(36h-h3)、0<h<6、 326cc从而 V = 3(36- 3h2)= 26(i2 h2).令 V'= 0、得 h= 25或 h=2病(舍).当0<h<2*时、V' >0、V是单调递增函数； 当243Vh<6时、V' <0、V是单调递减函数. 故卜=2。3时、V取得极大值、也是最大值. 因此、当POi = 243 m时、仓库的容积最大.i14 / 24导数的综合运用典型例题(20xx高考江苏卷)设函数f(x)=(x a)(xb)(x c)、a、b、cC R、f' (x)为 f(x)的

23、导函数.若a=b=c、f(4)=8、求a的值；(2)若awb、b=c、且f(x)和f'x)的零点均在集合3、1、3中、求f(x)的极小值;4(3)若 a=0、0<bwi、c= 1、且 f(x)的极大值为 M、求证：Mw.【解】 因为 a= b=c、所以 f(x) = (x a)(x b)(x c) = (x a)3.因为 f(4)=8、所以(4a)3=8、解得 a=2.(2)因为 b=c、所以 f(x)=(xa)(xb)2 = x3 (a+ 2b)x2+b(2a+b)xab2、从而 f'x)=3(xb) x 2a： b .令 f'x)=0、得 x= b 或 x =

24、 2a： b33因为a、b、型舞都在集合 3、1、3中、且awb、 3m、i2a+b 门， c 所以-3=1、a =3、b=3.此时、f(x)=(x3)(x+ 3)2、f' (x)=3(x+ 3)(x 1).x(一 °0> 一 3)-3(3、1)1f'x)十0一0f(x)极大值极小值所以 f(x)的极小值为 f(1) = (1 3)(1+3)2 = 32.令f'x）=0、得x= 3或x= 1 ,列表如下:(1、+(3)因为 a= 0、c=1、所以 f(x)= x(x b)(x 1) = x3 (b+ 1)x2 + bx、f' (x)=3x2-2(

25、b+1)x+b.A = 4(b+ 1)2 12b= (2b 1)2+ 3>0、则f'x）有2个不同的零点、设为 xi、x2（xi<x2）.由 f'x)= 0、得 x=b+1 Vb2b + 1、x2 =b+ 1+b2 b+1列表如下:x(8、x1)x1(x1、x2)x2f'x)十0一0f(x)极大值极小值(x2、 + 0°)所以f(x)的极大值M = f(x1).法一：M= f(x1)= x3 (b+1)x2+bx1x1 b+1=3x2-2(b+1)x1+b392 (b2 b+1) b (b+1)x1+9-2 (b2 b+1) (b+1) b (b

26、+ 1)+27b2-b+1)3b (b+1)2 (b 1) 2 (b + 1)272727 b (bT) +13wb2727 27法二：因为 0<bW1、所以 x1C(0、1).当 xC(0、1)时、f(x) = x(x b)(x 1)<x(x 1)2.1令 g(x)= x(x1)2、xC (0、1)、则 g x) = 3 x3 (x1).1 一一 .一令g x)=0、得x=列表如下: 33, 111x0，33g ' (x)+0g (x)极大值,1,所以当x=g时、g(x)取得极大值、且是最大值、314故 g(x)max = g - =.32 744所以当 xC(0、1)时

27、、f(x)< g(x)<247.因此 MW27.利用导数解决综合问题需注意的问题(1)已知不等式在某一区间上恒成立、求参数的取值范围：一般先分离参数、再转化为求 函数在给定区间上的最值问题求解.(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为 f' (x)>0(或f'x)w0)恒成立的问题.(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图 象、数形结合求解.对点训练5. (20xx高考江苏卷)记f' x)、g' (x)分别为函数f(x)、g(x)的导函数.若存在xoCR、满足 f(x0)= g(x0)且 f'

28、; (xo)= g' (xo)、则称 x0 为函数 f(x)与 g(x)的一个"S点”.证明：函数f(x) = x与g(x) = x2 + 2x 2不存在"S点”；(2)若函数f(x) = ax21与g(x)= ln x存在"S点”、求实数 a的值；cbex(3)已知函数f(x) = x2+a、g(x)= x .对任息a>0、判断是否存在 b>0、使函数f(x)与g(x)在区间(0、+°° )内存在"S点"、并说明理由.解(1)证明：函数 f(x)=x、g(x)= x2+2x2、 则 f'x)=

29、1、g' (x)=2x+ 2.,I ,x = x2 + 2x 2,，、一一由f(x)=g(x)且f x)= g x)、得此方程组无解、1 =2x+2,因此、f(x)与g(x)不存在“S点”.(2)函数 f(x)=ax21、g(x)=ln x、设X0为f(x)与g(x)的则 f'x)=2ax、g' (x)=L x“S点”、由 f(xo) = g(xo)且 f'x0)=g'x0)、得ax0 1 = ln xo,ax0 1 = In xo,-12axo=, xo2ax2 = 1,(*)1倚 In xo = 2口.-1 一即xo= e 2、则a=1 e =-(e

30、-2) 2 2-1 、xo=e 2满足方程组(*)、即xo为f(x)与g(x)的“S点”.因此、ea的值为对任意 a。、设 h(x)=x33x2ax+ a.因为h(o) = a。、h(1) = 1 3a+a= 2。、且h(x)的图象是不间断的、所以存在xoC (。、1)、使得 h(xo) = 0.令b=而卓一、则b>o.exo (1 xo)函数 f(x)= x2+ a、g (x) = bex x则 f'x)= 2x、g' (x)= bex 1) xn由 f(x)=g(x)且 f'x)=g'x)、c bex-x2 + a=, x得bex (x 1)2x=,x

31、2 'c .2xoex-x2+a=exo (1_xo*,即2x= e2x0e、(x1)xo (1 - xo)(*)26 / 24此时、xo满足方程组(*)、即X0是函数f(x)与g(x)在区间(0、1)内的一个“S点”.因此、对任意a>0、存在b>0、使函数f(x)与g(x)在区间(0、+川内存在“S点”x1 . (20xx宁波模拟)曲线丫=在点(1、 1)处的切线万程为 .-2 解析由题意可得：y'=(x_ 2)2、所以在点(1、 1)处的切线斜率为一2、所以在点(1、 1)处的切线方程为 y= 2x+ 1.答案y=-2x+ 12. (20xx江苏省高考名校联考信

32、息卷(一)若函数f(x)=x33x2的单调递减区间为a、b、贝U a+ b=.解析因为 f(x) = x33x2、所以 f' x)=3x2-6x.令 f'x)w。、得 0WxW2、所以函数 f(x)的 单调递减区间为0、2、所以a=0、b=2所以a+b= 2.答案23. (20xx江苏省名校高三入学摸底卷)已知f(x)是定义在R上的函数、f' (x)为其导函数、 f(x)+f(x+2)=4、当 xC 0、2时、f(x) = x2、则 f' (2 019).解析因为 f(x) + f(x+2)=4、所以 f(x+2) + f(x+4) = 4、所以 f(x+4)=

33、f(x)、所以 f(x)的周 期为 4.当 xC2、4时、x- 2c 0、2、f(x- 2)=(x- 2)2、因为 f(x)+f(x+ 2) = 4、所以 f(x- 2) + f(x) = 4、所以 f(x) =4f(x2) = 4(x2)2= 4x x2、所以 f x0=2x+ 4、根据周期性知、 f' (2 019) = f' (3)-2.答案24,已知函数f(x) = x2+2ln x、g(x) = x+a、若函数f(x)与g(x)有相同的极值点、则实数 a x的值为.八一 ，一 .22(x+1) (x1)4. 析因为 f(x) = x2+2ln x、所以 f x)=2x

34、+ =(x>0)、令 f'x)xx=0、得 x=1 或 x=1(舍去)、又当 0<x<1 时、f' (x)>0;当 x>1 时、f' (x)<0、所以 x= 1 是函数f(x)的极值点.因为g(x) = x + a、所以g x)= 1 -a-.又函数f(x)与g(x)= x +刍有相同极值 xx2x点、所以x= 1也是函数g(x)的极值点、所以g' (1)=1 a=0、解得a=1.经检验、当a = 1 时、函数g(x)取到极小值.答案15. (20xx高三第一次调研测试)在平面直角坐标系 xOy中、已知直线y=3x+ t与曲线

35、y= asin x+ bcos x(a、b、te R)相切于点(0、1)、则(a+b)t 的值为.解析由题意可得 t=1、b= 1、v = acos xbsin x、则 acos 0bsin 0=3、a= 3、所以 (a+b)t = 4.答案46. (20xx高考江苏卷)若函数f(x) = 2xf' (x)>0、则x0是函数f(x)唯一的极值点、且 x0Cf2、2)、结合题意可知 n=2.答案28. (20xx高三第二学期四校联考)函数f(x) = a exe-x的图象在x= 0处的切线与直线 y=ax2+1(aC R)在(0、十)内有且只有一个零点、 则f(x)在1、1上的最大

36、值与最小值的和为 .解析f x)=6x2-2ax=2x(3x- a)(aC R)、当 aw。时、，(x)>0在(0、+ )上恒成立、则 f(x)在(0、+8)上单调递增、又f(0)=1、所以此时f(x)在(0、+8)内无零点、不满足题意.当 a>0时、由，x)>0得x>?、由f'x)<0得0<x<a、则f(x)在0, a上单调递减、在 a, 十°°上单3333调递增、又f(x)在(0、+ 00)内有且只有一个零点、所以 f -a = a3+1 = 0、得a=3、所以f(x) 32 7= 2x33x2+1、则 f'x)

37、 = 6x(x1)、当 xC (1、0)时、f' (x)>0、f(x)单调递增、当 xC (0、1) 时、f (x)<0、f(x)单调递减、则 f(x)max= f(0) = 1、f(1) = 4、f(1)=0、则 f(x)min=4、所以 f(x)在1、1上的最大值与最小值的和为一 3.答案3 117. (20xx江苏省局考名校联考信息卷(八)已知函数f(x)=xln x+-x2-3x在区间n2, n内有极值、则整数 n的值为.解析由题意知、f' (x) = ln x+1 + x 3= ln x + x2、令 g(x)= In x+x2、因为 g(2)= In3

38、33 1.132 + 2-2= ln £2<|n4e2=0、g(2) = In 2>0、所以函数 g(x)= In x+ x-2 在(-> 2)内有零 点.又g，x) = 1+ 1>0恒成立、所以函数 g(x) = ln x+x-2在(0、+8)上单调递增、所以函数 x3g(x) = ln x + x 2 有唯一白零点 xoC q、2)、则当 xC (0、x0)时、f (x)<0、当 xC (x0、+8)时、 2x3平行、则不等式f(x2a /- (4x28) 3 * *+ 2=2平、当且仅当4x28) = 3时、上式取等号、因此 3x1j24x28v仝

39、 4 4x2 82x2的最大值为2 乖.答案2-乖10. (20xx江苏名校高三入学摸底)已知函数f(x)=x2-aln x的图象在x= 2处的切线与直1) + f(1x)<0的解集为.解析，x)=aex+e£ 由题易知 f' (0)a+1 = 2、所以 a = 1、所以 f(x)=ex e x.易知 f(x) = exe-x为奇函数且f' x)= ex+ e x>0、所以f(x)在R上单调递增.不等式f(x2- 1) + f(1 -x)<0可化为f(x21)<f(x1)、由f(x)单调递增可得x2- 1<x- 1、解得0<x<

40、;1、所以不等式的解集为 x|0<x<1.答案x|0<x<19. (20xx南京四校第一学期联考 )已知函数f(x)=x24x的图象上有两点A(xi、yi)、B(x2、y2)、xivx2、若曲线y = f(x)在点A、B处的切线互相垂直、则3xi2x2的最大值是 .解析由题意得f'x)=2x 4、因为曲线y=f(x)在点A、B处的切线互相垂直、所以xiw一一 一 .、一 .、 一一，一 ，一 一 ，一一1，C2、x2W2、(2xi 4) (2x2 4) = i.又 xix2、所以2xi 4<0、2x24>0、xi =-z_-+ 2'4x28一

41、一一i 一 一3 一i / , c 八，3一则 3xi- 2x2= 3X 4x2 8 + 2 - 2x2=_ 2x2-4x2_8 +(2)判断函数g(x)在xC (0、1)上的单调性、并说明理由； = 2(4x2-8) +4x2_8 +2W (ln x + 1) (x1) xln xg，x)=后Ex In x 1(x1) 2,(3)若方程f(x)= m有两个不相等的实数根xi、X2、求证：xi+x2>1.f (x) xln x /、.什解(1)g(x)=-2-=；7 a(a<0)、则 xn x x Ig(2)=2ln 2 a、g' (2)=1 In 2、函数 g(x)的图象

42、在 x= 2 处的切线方程为y(2ln 2a)= (1 In 2)(x 2)、将点(0、41n 2)代入、解得 a=- 2.(2)令 h(x)=xIn x1、则 h x)= 1-1=x、当 xC (0、1)时、h' (x)<0、h(x)单调递 x x减、h(x)>h(1)=0、则当xC(0、1)时、g' (x)>0、所以函数g(x)在xC(0、1)上单调递增.(3)证明:f'x) = 2x1n x+x a(2x1)、令(j)(x)= 2x1n x+xa(2x1)(av 0)、则(j)'x)=21n x + 32a、易知(j)7 (x)在 xC(

43、0、+8)上单调递增、又力e2)=_1<0、(1) = 3-2a>0>则存在 xoC (。、1)、使得 y xG) = 0、即21n xo+3_2a=0、则f' x)在(0、xo)上单调递减、在(xo、+ 00)上单调递增、又 f x0) = 2xo1n xo+x。2axo + a= a 2x0V0、f' (1) = 1 a >0、又当0vxvx0时、函数f x)的图象均在y轴下方、所以可设 f' x3)=0、则x3C (xd、1)、所 以f(x)在(0、x3)上单调递减、在(x3、+ 8)上单调递增、又f(1) = 0、不妨设x1x2、则数形结

44、 合可知 0< xk x3< x2< 1 ,由(2)知、g(x1)< g(x3)< g(x2)>即 f (x1) > g (x3) (x2 x1)， f ( x2)< g (x3) ( x2 x2),则 g(x3)(x2x2) >f(x2) = f(x1) >g(x3)(x2 x1)>所以(x2 x2) (x2x1)= (x2x1)(x2 + x一 1)>0、故 x + x2>1.In x12. (20xx江苏名校局三入学摸底)已知函数f(x) = - - 1.x(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m>0、

45、求函数f(x)在区间m、2m上的最大值. 一 .一. .1 1n x解(1)因为函数f(x)的定义域为(0、+8)、且f，xO=厂 xn工 f '(x) >0，/口工 f '(x) <0由得0<x<e;由(e、+ 00).x>0x>0 ,所以函数f(x)的单调递增区间为(0、e)、单调递减区间为2mK ce ,(2)当0、即0<mW2时、m、2m? (0、e)、函数f(x)在区间m、2m上单倜递增、In 2m )所以 f(x)max= f(2m)= 2m - 1；e当 m<e<2m、即2<m<e时、(m、e)?

46、(0、e)、 (e、2m)? (e、+ °°)>函数f(x)在区间(m、e)上单调递增、在(e、2m)上单调递减、所以 f(X)max=f(e)= *1 = 11； e e当m> e时、(m、2m)? (e、+8)、函数f(x)在区间m、2m上单调递减、所以 f(x)max=f(m) =In m综上所述、当 0<mw|时、f(x)max=ln22m-1；当 2<m<e 时、f(x)max=e1;当 m>e 时、f(x)max=皿m1. m一一. .一一1c 一13. (20xx局三第二次调研测试)已知函数f(x) = 2ln x+|x2

47、.ax、aCR.(1)当a=3时、求函数f(x)的极值.(2)设函数f(x)的图象在x= xo处的切线方程为 y= g(x)、若函数y= f(x)g(x)是(0、)上 的增函数、求xo的值.(3)是否存在一条直线与函数f(x)的图象相切于两个不同的点？并说明理由.1 9解(1)当 a=3 时、f(x)=2ln x+2x23x(x>0)、,2° x2-3x+2f (x)=-+x- 即x+2">xo+。在(o、+8)上恒成立、 xxo=xx令 f'x)=0 得、x= 1 或 x= 2.当x变化时、f (x)、f(x)的艾化情况如卜表所小.x(。、1)1(1、

48、2)2f' x)+oof(x)极大值极小值5所以函数f(x)的极大值f(1)=2、极小值为f(2) = 2ln 2 4.(2)依题意、知切线方程为y = f' x0)(x xo) + f(xo)(xo>O)、从而 g(x)= f'x0)(x xo)+f(xo)(xo>O)、 记 p(x)= f(x)g(x)、则 p(x)= f(x)-f(xo)-fzx0)(x- xo)在(0、+ 8)上为增函数、 所以 p'x) = f' x) f' x0)>o 在(0、+ oo)上恒成立、22,，一即 p x)= +x-xo>o 在(0

49、、+ oo)上恒成立、因为x+2- > 2yl= 2亚(当且仅当x=。2时、等号成立卜x xo2 _一所以2V>刈+总、从而(x° 寸2)<0、所以xo=2.(3)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点Ti(xi、yi)、T2(x2、y2)、不妨设 0<xi<x2、则函数f(x)的图象在点处的切线li的方程为yf(xi)=f'x1)(x xi)、在点T2处的切 线 12 的方程为 yf(x2)= f' (x2)(x).因为 li、12 为同一条直线、所以f'x() = f' x2)、f(xi)xif'

50、 (xi) = f(x2)x2f' (x2)、即 J+x1x I_2 一a=3+ x2-a> xn一 1 一21 一2 .21n xi + 2x2 axi xi 行+ x1 _a = 2ln x2+2x2ax2x2 x2 + x2 a、x2 2 x2整理得21n万+ xr才0 * x2令 t = y、由 0<xi<x2与 xix2=2、得 tC (0、i).、一i ，2 i(t-i) 2记 p(t)=2ln t+ft、则 P 我=；12i = -12<0、所以p在(0、i)上为减函数、所以 p(t)>p(i) = 0.从而式不可能成立、所以假设不成立、即不存在一条直线与函数f(x)的图象相切于两个不同的点.14. 已知函数 f(x) = x3+ax2+b(a、bCR).(i)试讨论f(x)的单调性；(2