分数的巧算教师版(可编辑修改word版)

1、分数的速算与巧算（一）分数巧算（求和）分数求和的常用方法：1'公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消 算简便。4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。典型例题-、公式法：计算：2_+_L_+_L+_L+型+竺2008 2008 2008 2008 2008 2008分析：这道题中相邻两个加数

2、之间相差±，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首2008项+末项）X项数十2来计算。1 _24 3_4_4 2006 20072008 2008 十 2008 2008 2008 2008二（1+2007 ） X20074-22008 2008=100312二、图解法：计算：1 +±+±+±+±+±248163264分析：解法一，先画出线段图：从图中可以看出：！ +_L+_L+_L+_L+_L二】一JL二空24816326464 64解法二:观察算式.，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数L,就能6

3、4凑成"L '依次向前类推，可以求出算式之和。 321+1+1 +±+±+±2481632641+»3+646464第3贞共42页，44 8+ 16- 32-32>164二X2-二色264 64解法三：山于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一 部分。设 x=l+l+248163264那么，2x= (/ + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)X2248163264=1+1 +±+1 +±+±2481632用一得±+±+

4、77;1632642x-x=l+_+1 +1+ -L+-L T，+3+24816322463 A64所以，J+21+ 1+148 16+±+ .3215 - 636464三、裂项法+ 1 11'计算：1+.+ +2 612203090110-分析：由于每个分数的分子均为1,先分解分母去找规律：2=1X2, 6=2X3, 12=3X4, 20=4X5,第2贞共42页30=5X6,110=10X11,这些分母均为两个连续自然数的乘积。再变数型因为1二1二1_ 1,1二1二1，2 1x2262x3 21 二 1-1312 3x4 亍 4JL。这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数

5、互相抵消，只留下头和尾两个分数, 11 方便。11010x11 10给计算带来+ +_L+_L+_L+2 6122030901101 , 1 1 , 1 1 1 1 . 1 11 410 10 11=1-21110TT2、计算：卜1 +1115x99x13.二29x3333x3741分析：因为一4 1_14 _1 4_14_1_11x5 55x9599x13 91329x33 293333x37 3337所以，我们可以将题中的每一个加数都扩大4倍后，再分裂成两个数的差进行简便计算。一+，+ +_L+-L1x55x99x1329x3333x37z4 4444 一一一 * 一.一一一一0 一一一.

6、 -1 )4-41x5 5x9 9x1329x33 33x37二(1-+- +559913+ )4-429333337=(1-_L)4-4=937374 ，4 16399143195255443、计算;2/ 3 1535分析：因为。二4>< ：1=4X1 4y （1. !）北333二二 4X ±- 4X JL二 4x(J_ J_)x JL15153x53541_7x_tx_l=4X(1-1)X1, 35355x757=4X JL二 4X I -=4X (±±)X 1.25525515x1715172所以，先用裂项法求出分数吊的和，使计算简便。444.4

7、.3。35 63 99143 T954255十，1111111=21 4x ( 1+_ )X_3 3 5 5 715 17二 21一2X(1 _L)17=192174,计算：2+1 + 1!1926122029± 9701 ± 98993097029900分柝仔细观察后发现，每个加数的分子均比分母少L这样可变形为L-L=】-J_二 12x3 12204A5后再裂项相消。11 + 19 * 29 * 9701 :1220309702r(l-l ) + (14 ) + (1-±)+(1.±)+ +(1-2612=1X99(1 +1 +JL+_L+ ±

8、;) 2612202 2 1x2123x420 9H勺 9 二一1一9900 9900 99x10098999900±)209900990066然=99 (1+ /+)bS 23344599x100=99-(1- 1 )100=99】1005、计算：i+l+1+1+11+2 1+ 2 + 31+2 + 3 + 41+2 + 3 + + 100分析：可以看出，第一项的分母为b第二项的分母为两个数相加，依此类推，最后一个分母是100个数相加且都是等差数 列。这样，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质，变分母为两个数相乘。再裂项求和。蒯去：】7+2F + 2 + 3F+2 + 3 +

9、41 +2 + 3 + 100第4负共42页1x2 a 1 + 1+1i1x2(1 + 2)x2，(1 + 3)x3，,、， 卜 (1 + 100)x10022222_2.2 2 2 +41_1x22 x 3 3 x4 4x5100x101=1 101解法二：原式二21x21x21x21x2一 1x2 2x(1 +2) 2x(1 +2 + 3) 2x(1 + 2 + 3+4) 2 x (1 +2 +99+100)2222+ + + H 1x2 2 x 3 3x4 100x101 一 1x22 x 3 3x4100x101=2X T=聿101* 98x99x1006 计算： k2x3+ 2x3x

10、4 + 3x4x5 +分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差:-LL-L1 = -x _L-_L)1x2x3(2 1x22x32x3x4(2 2x3 3x4扁币存暑矿莎揄此时可消中间'留两头进行巧算。原式二，x（，一_L_）21x22x3+ 1X(±±)+ IX2x3 3x4298x9999 xlOO二卜 ±-±+±-±1x22x32 x 3 3x498x9999x100二x(l_21x21 )99 xlOO第#贞共42页49491980010四、分组法：计算，一一一 + 一 + 一 2004 2004 2004200

11、4 20042004 20042004200419992000 ± 2001.20022004 | 一 2004200420042004分析：算式中共有2002个分数，从第二个分数，开始依次往后数，每四个分数为一组，2004到型2004为止，共有500组，每组计算结果都是0.皆 T、1+(234 J5 、JL,678( 9.10原式二-+ )+ ()一20042004200420042004200420042004200420041998199920002001、2002200420042004200420041 20022004200420032004五、代人法:计算(i+) x(

12、+!_+) (i+L+L+1+L)x (2 3423 452 34 52 3分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母代替，可化繁为简，化难为易。设+=A, + + +、B.贝I 2342345原式二(1+A) XB (1+B) XA=B+AB-A-AB=B-A2 3452 34热点习题计算:1、，+7_ +沁4949494949 49第7贞共42页1283、' + 11 + 1+11+、2 6 12 2030 4271988x1989* 1989x1990 1990x1991 -*2007 x 2008" 2008 x 20091_1=319882009570556第9贞共

13、42页I14、_L+_L+_L+ .+_£13x1515x1717x1935x3737x39396、2+3j + 5j_ + 7j + II13 34161220304214第#贞共42页刁 1511 192941 55 r 杳 11，、 _ / 一 r 一 4一._TA 12 6 12203042 568256324 4001012356399 oi416 3664,100 f 144,196*-r+ + + + 315143 195 255 323 3999、1工 7 1 -9 4- 11 -41315 17192161220301 56 72+亦一 U0 C冲=二_ 2+ 3

14、十 3+4_4 + 5_5+ 6_6 +7斗 7+ 8_8 + 9_9+10_ 10+11 _L 2八33A44715A66?7 77? 8A? 9x1010x1110 11=1-(+) + (卜)-(+ ) +第 9 贞共初责2x33x43x4 4x 5 4x510x11- 10x11=1-d 1 +）+（八）-（*）+-（*）324354111011 9.=1 -=J2 11221.2- 卜 3 卜 4_5678+9+1°+.+1995 +2002 2002200220022002200220022002200220022002199620021 %从第三个分数，开始依次往后数，

15、每8个分数为一组，到最后一个分数今巴为止，共20021997 _ 1998,9992002 2002 2002有 250 组，2002每组计算结果都是0 所以,2000 2001 * 20022002 2002 2002原式二瘾+盒二焉】11、（1+】1+ 1 + hx（ 1111J + x（1 1 1+ + +2 3 452345623 45 623 453、 / 2 3+_）+ c+_+_445551+ Z+L+.20 20 2018+ A）2020第13贞共42页1【设I卜、 23 4卜二A,5+ 231 I1_ +二 B,原式二 AX (B-)45-(A+JL) XB 二口66第15贞

16、共42页【原式=1+1+11+2+21+-+%= (1+91 )X 194-2=9522222213、2001年是中国共产党建党80周年，是个有特殊意义的分数。如果下式大于，那么2001 2001最小等于多少？1x22 x 3 3x4HX(/? + 1)1-1 >3,n>241n+2001814、1-1x(1 + 2) (1 + 2)x (1 + 2 + 3) (1 + 2 + 3)x(1 +2 + 3+4)10_(1+2 + 3 +9)x(1 +2 + 3 +10)【先对分母用等差数列求和，再整体裂项求和。原式二1一 =1x2x32x3x43x4x59x10x11-14Xlx (

17、±±) +lx (±±) + + X ()21x22x32 2x 3 3x429x1010x111111二 1 一4X_X ( )二一】21x210x1155+ 111 12 Ix2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + . + (/?-2)x(n-l )2< zi = (/? - 2)(? - 1 )n(n + 1) - 1 42 - 1 6M1002-l【利用公式1-1/1-' '变形各项。原式V50jJ】2Jd + l J2*21 100+ J 101(二)分数巧算(复杂的裂项型运算)复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次

18、取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。 其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个 数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有枳之和，裂项来求作。后延减前伸，差数 除以N。N取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负 数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再 加上第一项的结果。此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。整数裂项(1) lx 2 + 2 X 3 + 3 X4 +

19、 . + (/?- 1) X?2_= 1 l)xnx (n + 1)3第17页共42页【例 1】计算：1x3+2x4+ 3x5+4x6+.+99x101【巩固】1 十算：3x5+ 5x7+ 7x9+97x99+ 99x101【例 2计算 10 x!6 x 22 +16 x 22 x 28 + .+ 70 x 76 x 82 + 76 x 82 x 88【例 3】计算 Ixl+2x2+3x3+99x99+100x100【巩固】3x 3x 3 + 4 x 4 x 4 +.+ 79 x 79 x 79第#页共42页【例 4】i| 算：Ixlxl+2 x 2 x 2 + 3x 3x 3+-+ 99 x

20、 99 x99+100x100x100例 5 1+(1+2)+(1+2+ 3)+(1+2+3+4)+(1+2+ 3+100)【巩固】3 + (3+6)+(3+6 + 9)+ ,+(3+6+ + 300)第25页共42页二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）二=JL+匚=_+!_ （2）以 + , 二匚 +一乞axb axb axb b aaxh axb cixb b a裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是”两两抵消达到简化的LI的“，裂和型运算的题LI不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化的。【例6】填空：？=+（）,62

21、1 =+12 3(),201 4+°13 =30421=+60,1556-L()7【巩固】计算:116 1220 3013-十42151719567290例 7 5 + 6_§ + 7 + 7+8_8 + 9 + 9+1。5x66x77x88x99x1011 13+ + 20 30 42例 8计算：+10+11-19_34520 2124 35【巩固】_2 + 3 + 7 + 93 5 7121117 2520 28 30 42【例"J：）七+界石+晋+曙+备卷2缶巩固( 35 49 63 77 91 + + $105、(3 1P 612 20 30 4256 J

22、 引I§gz cne+g+CJ00+z cnCJ00+g+c I+P由4去I1o不01=0(22 + 42 + 62 + - - + I E ); 992 11 +2 + 3 + : +1。 + 9 + 8 + =：+(12 + 32 + 52 +【舍 J + 一步舸 1。p(2+l)(2 二)+ (4+3 )(4 - 3>+ :+ (18+99)(100禺18汪兴42法抵tI?吕+二 b6 As191”-2? +3220042+2005220052 + 200621x2 2x3 * + 2004x2005 2005x 2006第20历共42页5、32-l作业1 % Ixl+2

23、x2 + 3x3 + .+ 50x50第25页共42页2、2 x 4 x 6+ 4 x 6 x 8 +.+ 96 x 98x1003、1+2 + 3 + 7 十 911 21 313 57 12 20 28 40 568 x(999101734x(2 - J x(3-Jx -x(8 一 J2341+21+2 + 31+2+ 3+ 41+2 + 3+.+5022 + 32 + 3 +42 + 3+50（三）分数巧算（裂差型运算）分数速算'巧算常用的方法1、裂项：是计算中需妥发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲妥求学生掌握裂项技巧及寻 找通项进行解题的能力2、换元：让

24、学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。3、循环小数与分数拆分：掌捱循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要 利用运算定律进行简算的问题.4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更 加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式.“裂差”型运舅一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法裂项分为分数裂项和整数裂项，常 见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要

25、仔细的观察每项的分子和分母， 找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过 程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。1、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即，形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 axbo<b,那么有“=axb b -a a b2、对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，即：n x (n + 1)x( + 2) , nx(n+ 1) x (n + 2) x (n + 3)形式的 » 我们有：1=1|_L-11x(” + 1)x( + 2) 2nx (n +1) (n + )(

26、n + 2)1lr11I -/： x (n + 1) x (n + 2) x fn + 3)3 nx (n + 1) x n + 2) (n + 1) x (n + 2) x fn + 3)nx(n + k)x(n + 2k) 2k n x (n +k) (n + k)(n + 2k),! ,=±fi! -! flx(n + k)x(n + 2k)x(n + 3Ai) 3knx(n + k)x (n + 2k) (n + k)x (n + 2k)x(n + 3k)3、对于分子不是1的情况我们有：kn(n +k)n + kjh h(l=1 壮(A? + Z：)2k1n(n+k)(n +

27、 2k) n(n + k) (n + k)(n+2k)3k11“Oz+&)(n + 2k) (H + 3k) n(n +£)(“+2k) ( +k)(n + 2k)(n +3R)h Ji 11“(+«)(”+2R) 2k "("+«) (n+k)(n+2k)h-/?T 1_1"("+ «) ( " +2k)( +3k) 3k ” ("+k) (H+2k)+R)(”+2k)( +3k)刚 (11、(277 -l)(2/7+l) = 1+2A1 2- 2n+Ur二、裂差型裂项的三大尖键特征：

28、(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是X(X为任意自然数)的，但是只 要将提取出来即可转化为分子都是1的运算。(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间的差是一个定值。难点：1、分子不是1的分数的裂差变型；2分母为多个自然数相乘的裂差变型。小 aO.a =一9 nab 1 ub 0.0 ab =_x_ = 99 10 990.abv-a O.a be =990纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循 环部分数字所组成的数的差分母n个9,其中n等于循环节所含的数字个数按

29、循环位数添9,不循环位数添0,组成分母，其中9在0的左侧三、循环小数化分数结论:四.整数裂项=l(n-l)x/?x(z? +1)(1) lx 2 +2x3 +3x4 + . + (/: 4)x； ?31 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + . + (/? - 2) x Qz - " 一 2)(? - 1 )n(n + 1)4一、用裂项法求型分数求和n(n +1)分析：君型2自然数)因为匚= '+ 1“=1 (n为自然数)所以有裂项公式：77 77 +172 (77 +1)/ (fl +1)/2 (/2 +1)n(n +1) n n + 【例1】

30、填空:(3)1x22x3(5)一59x60(6)U59 60一 一99x100(8) 匚99100（巩固】1 + 1172 2A31 +3A44x5 5x6【例2】计算：10x1111x1259x6016Ms x 1986 1986 x 16 g -1995 x 1996 1996 x 1997 1997 潼 3斗w+I-+I-+I-H-JIIno g3 0后9 0【例4】计算：L I _1_1_1 _1_1=2 612 20 30 42 56 72 90巩固计算：lL+21+31+4 L+-+20 1 _261220420第27页共42页23x25 )【例 5】+ 2012.2702008

31、1 +20Q2? +2010 1+2011 11854108【巩固】计算：1'5_LU_L19_L29'_L97O1_L 9899 2 6 12 20 309702 9900二、用裂项法求一型分数求和川 + k)分析：一一型。分k均为自然数)n(n + k)因为 | r _ i= 1 '所以"(+幻=1(:才 k ?i(/2 + k) n(n + k) n(n + k)【例 1 + I + 1 +1=1x3 3x5 5x799x101【巩固】计算：3 15 35 63 99 143 195第31页共42页【例7】计算：25才+ 1 十 +.+1x3 3x5 5x7【巩固】计算：(L + L + LF】八1 FLL1+11X128 =8 24 48 80