函数定义域值域求法十一种

1、高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。例 1 求函数 yx 2 2x 15|x 3| 8的定义域。11 或 x>5。3且x11 x |x 5 。解：要使函数有意义，则必须满足x2 2x 15 0 |x 3|80由解得x 3 或 x5。由解得x 5或 x11和求交集得 x 3且 x 故所求函数的定义域为 x |x1例 2 求函数 y sinx 的定义域。16 x2解：要使函数有意义，则必须满足sinx 0 16 x 2 0 由解得 2k x2k ，k Z 由解

2、得 4 x 4 由和求公共部分，得4 x或 0 x故函数的定义域为 ( 4， (0， 评注：和怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。(1)已知 f (x) 的定义域，求 fg(x)的定义域。( 2)其解法是：已知 f(x) 的定义域是 a，b求 fg(x) 的定义域是解 a g(x) b， 即为所求的定义域。1) 的定义域。例 3 已知 f(x)的定义域为 2，2，求 f (x2解：令2 x2 1 2 ，得1 x2 3 ，即 0 x 23 ，因此 0 | x | 3

3、 ，从而3。3 x3 ，故函数的定义域是 x | 3 x(2)已知 fg(x)的定义域，求 f(x)的定义域。其解法是：已知 fg(x)的定义域是 a， b，求 f(x) 定义域的方法是：由 a x b，求 g(x)的值域，即所求 f(x) 的定义域。例 4 已知 f(2x 1) 的定义域为 1，2，求 f(x) 的定义域。解：因为 1 x 2，2 2x 4，3 2x 1 5 。即函数 f(x) 的定义域是 x |3 x 5 。三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例 5 已知函数 y mx 2 6m

4、x m 8 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。分析：函数的定义域为 R，表明 mx2 6mx 8 m 0，使一切 xR都成立， 由x2项的系数是 m，所以应分 m=0 或 m 0 进行讨论。解：当 m=0 时，函数的定义域为 R；2当 m 0时， mx 2 6mx m 8 0 是二次不等式， 其对一切实数 x 都成立的充要条件 是m0( 6m)2 4m(m 8) 0m=0 的情况，希望通过此例解决问题。例 6 已知函数 f(x)kx 7 kx 2 4kx解：要使函数有意义，则必须 kx 2的定义域是 R ，求实数 k 的取值范围。34kx 30 恒成立，因为 f(x) 的定义域为R，即0

5、m1 综上可知 0 m 1 。 评注：不少学生容易忽略kx 2 4kx 3 0 无实数3当 k0 时，16k2 4 3k 0恒成立，解得 0 k ；4 当 k=0 时，方程左边 =3 0 恒成立。3综上 k的取值范围是 0 k 3 。4四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要 加倍注意，并形成意识。例 7 将长为 a 的铁丝折成矩形，求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数的解析式，并求函 数的定义域。1 解：设矩形一边为 x，则另一边长为 (a 2x) 于是可得矩形面积。21 1 2y x (a 2x) ax x2221xax 。2由问题的实际

6、意义，知函数的定义域应满足x0a 2x 0x01(a 2x) 020 x a 。2 1a故所求函数的解析式为 y x 2 ax ，定义域为( 0， )。2x，22例 8 用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式，并求定义域。解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。L AB CD L 2x x故函数的解析式为(22)x Lx ，定义域(0，L2)。五、参数型 对于含参数的函数，例 9 已知 f(x) 的定义域为 0，1，求函数 F(x) 解：的解集：0求定义域时，必须对分母分类讨论。因为

7、f(x) 的定义域为 0，f(x1，即 0 x 1 。故函数a) f(x a) 的定义域。F(x) 的定义域为下列不等式组aa 11，即ax1aax10即两个区间 a， 1 a与aa， 1+a的交集，比较两个区间左、右端点，知因为 CD=AB=2x ，所以 CD x ，所以 AD故 y 2x L 2x x2(2 )x2 Lx2 根据实际问题的意义知2x 0L 2x x 01(1)当a 0时， F(x)的定义域为 x | a x 1 a ；1(2)当 0 a时， F( x)的定义域为 x |a x 1 a ；11(3)当 a或 a 时，上述两区间的交集为空集，此时F(x)不能构成函数。22六、隐

8、含型 有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域 隐含在问题中， 例如函数的单调区间是其定义域的子集。 因此，求函数的单调区间，必须先 求定义域。例 10 求函数 y log 2 ( x 2 2x 3) 的单调区间。解：由 x2 2x 3 0，即 x 2 2x 3 0，解得 1 x 3。即函数 y 的定义域为 ( 1， 3)。函数 y log2( x2 2x 3)是由函数 y log2 t，tx2 2x 3复合而成的。22tx2 2x 3 (x 1)2 4 ，对称轴 x=1，由二次函数的单调性，可知t 在区间( ，1上是增函数；在区间 1， )上是减函数，而

9、y log2 t 在其定义域上单调增；( 1，3)(，1(1，1，( 1，3)1，)1，3) ，所以函数 ylog 2(x2 2x 3) 在区间 ( 1，1 上是增函数，在区间 1，3) 上是减函数。函数值域求法十一种1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。1例 1. 求函数 y x 的值域。解： x 01 x显然函数的值域是： ( ,0) (0, ) 例 2. 求函数y 3 x 的值域。解： x 0x 0,3 x 3故函数的值域是： ,32. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一 例 3. 求函数 y x2 2x 5,x 1,2的值域。解：将函数配方得： y

10、(x 1)2 4 x 1,2由二次函数的性质可知：当 x=1时，ymin 4 ，当x 1时， y max 8 故函数的值域是：4，83. 判别式法y 1 x x 2例 4. 求函数 y 1 x 2 的值域。解：原函数化为关于 x的一元二次方程(y 1)x 2 (y 1)x 0(1)当 y 1时，x R( 1) 2 4(y 1)(y 1) 01y3解得： 2 y 21 1, 3(2)当 y=1时，x 0 ，而 2 21,3故函数的值域为 2, 2例 5. 求函数 y x x(2 x) 的值域。22 解：两边平方整理得：2x2 2(y 1)x y 2 0 (1) x R 4(y 1)2 8y 0解

11、得：1 2 y 1 2但此时的函数的定义域由 x(2 x) 0，得0 x 2由 0 ，仅保证关于x 的方程：2x 2 2(y 1)x y2 0在实数集 R有实根， 而不能确保其实根在区间0 ，2 上，即不能确保方程(1)有实根，由 0 1,3 求出的范围可能比 y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 2,2 。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。yxymin解得：0 x 2x(2 x) 00,y 1 2 代入方程(1)x 2 2 24 2 0,2 x10,2x 2 2 24 2即当x12 时，原函数的值域为：0,1 2注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集 时，应综

12、合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函 数的值域。3x 4例 6. 求函数5x 6 值域。x 4 6y解：由原函数式可得： 5y 3y 4 6y x 3则其反函数为： y 5x 3 ，其定义域为：x 5,3故所求函数的值域为： ,55. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主 来确定函数的值域。y ex 1例 7. 求函数y ex 1 的值域。ex y 1解：由原函数式可得： y 1x e 0y10 y 1解得： 1 y 1 故所求函数的值域为 ( 1,1)cosx例 8. 求函数 sin

13、x 3 的值域。解：由原函数式可得：y sin x cosx 3y ，可化为：y2 1sinx(x) 3ysinx(x )3y即y 2 1 x Rsin x(x ) 1,11 3y1即 y2 12 y 2 解得： 4 y 42 , 2故函数的值域为 4 , 46. 函数单调性法例 9. 求函数 y 2x 5 log3 x 1(2 x 10) 的值域。1log 3 2 138log3 9 33解：令 y1 2x 5,y 2 log3 x 1 则y1,y2在2，10上都是增函数 所以y y1 y 2在2，10上是增函数当 x=2时，ymin 2当 x=10时， ymax 21,33故所求函数的值域

14、为： 8例 10. 求函数 y x 1 x 1的值域。y2解：原函数可化为： x 1 x 1令y1 x 1,y2 x 1，显然y1,y2 在1, 上为无上界的增函数 所以y y1，y2 在1, 上也为无上界的增函数所以当 x=1时， y y12y 2有最小值 2 ，原函数有最大值 2显然y 0 ，故原函数的值域为(0, 27. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式 含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之 一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 11. 求函数y x x 1 的值域。 解：令x 1 t ，(t 0)则x t 2 12 1 2 3

15、y t 2 t 1 (t 2)2 4又t 0 ，由二次函数的性质可知 当t 0 时， y min 1当t 0 时，y 故函数的值域为1, )x(x 1) 2 011 cos , 0, 例12. 求函数y x 2 1 (x 1)2 的值域。 解：因1 即(x 1)2 故可令x y cos1 cos2sin cos2sin(,054422 sin(0 2sin() 1 1 24故所求函数的值域为0,1 2yx 3 x例 13. 求函数y x 4 2x2 1 的值域。1 2xy解：原函数可变形为： 2 1 x 21 x21 x22x 1 x 22可令x tg ，则有1 x2 sin 2 ,1 x2

16、cos11ysin2 cos2sin424ky1当2 8 时， y max4k1当y min2 8 时，4而此时 tan 有意义。1,1故所求函数的值域为 4, 4例 14. 求函数y (sinx 解： y (sin x 1)(cosx sin x cos x sin x1)(cosx1)cosx 11)，12的值域。令sinx cosx t ，sin xcosx则12(t21)y 1(t 2 1) t 1212(t 1)2由tsin x cosx 2 sin(x/4)可得：12 22t2323故所求函数的值域为 4当t2 时，y max2，22t2当t 2 时，322。3242例 15. 求

17、函数 y x 4 5 x2 的值域。解：由5 x2 0，可得|x | 5故可令 x 5 cos , 0, y 5cos 4 5sin10 sin() 44054 4 4当/4 时，y max 4 10当时， y min 4 5故所求函数的值域为：4 5,4 108. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直 线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然， 赏心悦目。例 16. 求函数 y (x 2)2 (x 8)2 的值域。解：原函数可化简得：y |x 2| |x 8|上式可以看成数轴上点 P(x)到定点A(2)，B( 8)间的距离之和。 由上图

18、可知，当点P在线段AB上时，y |x 2| |x 8| |AB | 10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y |x 2| |x 8| |AB | 10 故所求函数的值域为：10, 例 17. 求函数y x2 6x 13 x2 4x 5 的值域。 解：原函数可变形为：y (x 3)2 (0 2)2 (x 2)2 (0 1)2上式可看成 x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B( 2, 1)的距离之和，由 图 可 知 当 点 P 为 线 段 与 x 轴 的 交 点 时 ， ymin |AB | (3 2)2 (2 1)2 43，故所求函数的值域为 43, 例 18. 求函数y x2

19、 6x 13x24x 5 的值域。22 22解：将函数变形为： y (x3)2(0 2)2 (x 2)2(01)2上式可看成定点 A(3，2)到点 P(x，0)的距离与定点B( 2,1)到点P(x,0) 的距离之差。即：y |AP| |BP|由图可知：(1)当点 P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时，如点 P' ， 则 构 成 ABP' ， 根 据 三角 形 两 边 之 差 小 于 第三 边 ， 有 22|AP'| |BP'| |AB | (3 2)2 (2 1)2 26即： 26 y 26(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有|AP | |BP| |

20、AB | 26 综上所述，可知函数的值域为：( 26, 26注：由例 17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x 轴的同侧。如：例 17的A，B两点坐标分别为：(3，2)，( 2, 1)，在x 轴的同侧； 例18的 A，B两点坐标分别为(3，2)，(2, 1) ，在x轴的同侧。9. 不等式法利用基本不等式a b 2 ab,a b c 33 abc (a,b,c R ) ，求函数的最值， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值， 不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。1 2 1例 19. 求

21、函数y (sinx sinx) (cosx cosx) 4的值域。解：原函数变形为：12cos x221y (sin x cos x) 2sin2 x1 ces2x sec2 x3 tan2 x cot2 x 33 tan2 xcot2 x 2当且仅当tan x cotx即当x k 4时(k z) ，等号成立 故原函数的值域为：5, )例20. 求函数y 2 sin x sin 2x 的值域。 解：y 4sin xsinxcosx4sin2 xcosxy 16 sin 4 xcos2 x8sin2 xsin2 x(2 2sin2 x)8(sin 2 x sin2 x 2 2sin2 x)/336427sin2 x 2当且仅当sin 2 x 2 2sin2 x ，即当sin x 3 时，等号成立。y 2 64 8 3 y 8 3 由