微专题16解析几何中的“隐形圆”问题

1、微专题16 解析几何中的“隐形圆”问题明考甸扣賣点|合丨真题感悟(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆 M: x2 + y2 12x 14y+ 60= 0 及其上一点 A(2, 4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x = 6 上, 求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线I与圆M相交于B，C两点，且BC= OA，求直线I的方 程；设点T(t, 0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得TA+ TP= fQ，求实数t的 取值范围.解 圆M的标准方程为(x 6)2 + (y 7)2 = 25,所以圆心M(6, 7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=

2、 6上，可设N(6, y0). 因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0v y0V 7, 于是圆N的半径为y0,从而7 y0= 5+ y。，解得y = 1. 因此，圆N的标准方程为(x 6)2 + (y 1)2= 1.因为直线I / OA,所以直线I的斜率为2 = 2.设直线I的方程为y= 2x+ m, 即卩2x y+ m= 0, 则圆心M到直线I的距离d= |2X67+ m| 因为 BC = OA=、,22+ 42 = 2 5,而 MC2 = d2 + BC 2,2所以25=+ 5,解得m= 5或m= 15.故直线I的方程为2x y+ 5 = 0或2x y 15= 0.法一 TA+ tP=fQ

3、,即TA= tQ-tP=pQ,故 |TA|=|pQ|,因为 |fA|=(t-2) 2+ 42，又 Ov|PQ|w 10,所以 0v(t 2)2 + 42w 10,解得 t 2 2 21, 2+ 2 21,对于任意t 2 2 21, 2+ 2 21，欲使fA= PQ,此时0v |确 10,只需要作直线TA的平行线,使圆心到直线的距离为必然与圆交于P, Q两点,此时 |fA=|PQi,即 fA= pQ,因此对于任意t 2 2 21, 2 + 2 21，均满足题意, 综上，t 2 2 21, 2 + 2 21.法二 设 P(X1, y1), Q(X2, y?).因为 A(2, 4), f(t, 0)

4、, fA+ fP= fQ,X2= X1 + 2 t,所以y2= y1 + 4.因为点Q在圆M上，所以(X2 6)2 + (y2 7)2= 25.将代入，得(X1 t 4)2 + (y1 3)2 = 25.于是点 P(x1, y1)既在圆 M 上，又在圆X (t + 4)2 + (y 3)2 = 25上,从而圆(x 6)2 + (y 7)2= 25 与圆x (t + 4)2 + (y 3)2= 25 有公共点，所以 5 5< (t+ 4) 62+( 3 7) 2w5+ 5,解得 2 2 2K t<2 + 2 21.因此，实数t的取值范围是2 2 21, 2 + 2.21.考点整合高考

5、中圆的方程是C级考点，其重要性不言而喻.但在一些题目中，条件没有直接 给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程）, 从而最终可以利用圆的知识求解，我们称此类问题为“隐形圆”问题，课本习题给出的“阿波罗尼斯圆”是“隐形圆”典型的例子1问题背景苏教版数学必修2P112第12题:1已知点M(x, y)与两个定点0(0, 0), A(3, 0)的距离之比为2,那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线.2阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比

6、等于已知数的动点轨迹为直线或圆如图，点A, B为两定点，动点P满足PA二入PB则后1时，动点P的轨迹为直线；当 入工1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆 证 设AB = 2m(m> 0), PA= X PB以AB中点为原点，直线 AB为x轴建立平面 直角坐标系，则A(-m, 0), B(m, 0).又设 P(x, y),则由 FA = X PE得:(x+ m) 2 + y2=X ； (x-m) 2 + y2,两边平方并化简整理得(X- 1)x2-2m(X+ 1)x+ (X1)y2= m2(1 - X).当 X 1时，x= 0,轨迹为线段AB的垂直平分线；当X> 1时,X+

7、1 227m + 丫 =4 Xm2(X-1)2,轨迹为以点0为圆心,上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理 .热点聚焦丨分类突晞丨印加小才关更热点一轨迹问题【例1】 如图，圆01与圆02的半径都是1, 0102= 4,过动点P分别作圆01、 圆02的切线PM, PN(M , N分别为切点)，使得PM = '2PN,试建立适当的坐标 系，并求动点P的轨迹方程解 以O1O2的中点0为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系,则 Oi( 2, 0), O2(2, 0),由已知 PM = 2PN，得 PM2= 2PN2因为两圆的半径均为1,所以 PO1 1= 2(PO2 1).设

8、 P(x, y)，则(x+ 2)2 + y2 1= 2(x 2)2 + y2 1.即(x 6)2 + y2 = 33,所以所求轨迹方程为(x 6)2 + y2= 33.探究提高动点的轨迹问题是高考的热点之一，解决轨迹问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，列式化简得所求轨迹方程【训练1】 设A( C, 0), B(c, 0)(00)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.解设动点P的坐标为(x, y),化简得(1 a2)x2 + 2c(1 + a2)x+ c2(1 a2) + (1 a2)y2= 0.当 aM 1 时，得 x2+ 2c

9、( + a2 22 2ac 2整理得 xc + y2= "21 .a 1a 1当a= 1时，化简得x= 0.a2 + 1所以当aM 1时，P点的轨迹是以1 c, 0为圆心,a 1 + ?)x+ c2 + y2= 0,1 a2ac冇为半径的圆;当a= 1时，P点的轨迹为y轴.热点二 含“隐形圆”的范围与最值问题【例2】(2013江苏卷)如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，点A(0, 3),直线I: y = 2x- 4,设圆C的半径为1,圆心在I上.(1) 若圆心C也在直线y= x- 1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程;若圆C上存在点M，使MA = 2MO,求圆心C的横坐标a的取值

10、范围.y=x 1, 解(1)联立c ,得圆心为C(3, 2).y = 2x 4,切线的斜率存在，设切线方程为 y= kx+ 3.则 d= |3k+ 322|= r = 1,1 + k2故所求切线方程为y= 3或3x+4y12 = 0.设点 M(x, y)，由 MA = 2MO,知，x2+( y 3) 2= 2 ：x2+ y2, 化简得 x2 + (y+ 1)2= 4.即点M的轨迹为以(0, 1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D. 又因为点M在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切 故 K CDW 3,又 C(a, 2a 4), D(0, 1), 故 K /a2+( 2a 3) 2< 3.

11、12解得0w a<三.5所以圆心C的横坐标a的取值范围为c 120,探究提高(1)如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键，常见的有以下五个策略: 策略一：利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆;策略二：动点P对两定点A, B的张角是90(kRAkPB= 1或PA PB= 0)确定隐形圆;策略三：两定点A, B,动点P满足PA PB= X确定隐形圆；策略四：两定点A, B,动点P满足FA2 + PB2是定值确定隐形圆；策略五：两定点A, B,动点F满足AP= X BP>0, XM)确定隐形圆(阿波罗尼斯“隐形圆”发掘出来以后常考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系等相关

12、 知识点，一般解决思路可从“代数角度”或“几何角度”入手【训练2】 在厶ABC中，边BC的中点为D，若AB = 2, BC= ,;2AD，则 ABC 的面积的最大值是.解析 以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系.则A( 1,0) ,B(1,x+ 10),由BD = CD, BC= .'2AD知，AD = , 2BD, D的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为(x 3)2 + y2 = 8.设 C(x, y), 得d字，y，所以点C的轨迹方程为8, 即(x 5)2 + y2= 32所以 &abc = |x2|y|=|y|w ,32 = 4 .'2，故 Subc 的最大

13、值是4 2.答案4 2当P为圆C与x轴的右交点(3, 0)时，FA = 評,依题意宁二宁I解得t = 5(舍去)或 t= 9.9PBF面证明点B ", 0对于圆C上任一点P,都有pB为常数.设 P(x, y)，贝U 9 x2,2所以PB2 x + 9 + y2 "詮婪9-X孰5x+2从而PB 3 所以 PA2 (x+ 5) 2 + 寸x2+ 10x+ 25+ 9 X2 2 (5x+ 17) 25,从而 PA 5为常数.故满足条件的点B的坐标为一5, 0 .法二 假设存在满足条件的点B(t, 0),PB使得PB为常数k心0),则PB2 = kFA2,所以(xt)2 + y =

14、 k(x+ 5r+内，将 y=9x 代入得,x2 2xt+12+ 9 x2= k(x2 + 10x+ 25+ 9 x2),即 2(5k+ t)x+ 34 k 2 t2 9= 0 对 x 3, 3恒成立,所以5 k +1 = 0,34f t2 9 = 0,解得 9- 5 3 一55一 A -A 1, 一5(舍去)，故满足条件的点B的坐标为一5, 0 .探究提高 本题以阿波罗尼斯圆为背景构建定点问题，体现了阿波罗尼斯圆在解 析几何中的经典地位【训练3】已知。O: x2+ y = 1和点M(4, 2).(1) 过点M向。O引切线I，求直线I的方程；(2) 求以点M为圆心，且被直线y = 2x 1截得

15、的弦长为4的。M的方程；(3) 设P为(2)中。M上任一点，过点P向。O引切线，切点为Q,试探究：平面 内是否存在一定点r,使得PQ为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值;若不存在，请说明理由解(1)直线I的斜率存在，设切线I的方程为y2 = k(x4),切线 I 的方程为 y 2=8±519(x4).圆心到直线y= 2x 1的距离为，5,设圆的半径为r,则 r2 = 22 + ( 5)2= 9,/© M 的方程为(x 4)2 + (y 2)2= 9.假设存在满足条件的点R(a, b),设点P的坐标为(x, y)，相应的定值为心0).即 x2 + y2 1= (x2

16、+ y2 2ax 2by+ a2+ b2).(*)又点 P 在圆 M 上，二(x 4)2 + (y 2)2= 9,即 x2 + y2 = 8x+ 4y 11,代入(*)式得8x+ 4y 12= f(8 2a)x+ (4 2b)y+ (a2 + b2 11).若系数对应相等，则等式恒成立,条(8 2a)= 8,条(4 2b)= 4, f (a2+ b211)= 12,解得 a = 2, b= 1, = 2或 a=f, b=5,后二学存在定点R,使得pR为定值，点R的坐标为(2, 1)时，定值为.2;点R的坐标 为5，5时，定值为二典【新题感悟】(2019南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy

17、中，已知点A( 1, 0), B(5, 0).若圆 M : (x 4)2 + (y m)2 = 4 上存在唯一点 P,使得直线 FA, PB在y轴上的截距之积为5,则实数m的值为.a+ 1在y轴上的截距为 h,直线PB的方程为y=d(x 5),其在y轴上的截距为a+ 1a 5解析 根据题意，设P的坐标为(a, b),贝U直线PA的方程为y=(x+ 1),其5ba 5若点P满足使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则有ba+ 15ba 5=5,变形可得 b2 + (a 2)2= 9,则点 P 在圆(x 2)2 + y2= 9 上若圆 M : (x 4)2 +(y m)2= 4上存在唯一点P,

18、则圆M与(x 2)2 + y2= 9有且只有一个公共点，即 两圆内切或外切，又由圆心距为.(4 2) 2+ m2>2,则两圆只能外切，则有 4 + m2 = 25,解可得：m=±, 21.答案 土. 21专證训竦对接高引求醪迎盼一、填空题1在平面直角坐标系xOy中，已知B, C为圆x2 + y2 = 4上两点，点A(1, 1),且AB丄AC,则线段BC的长的取值范围为 解析 如图，设BC的中点为M(x, y).连接 OB, OM , AM，贝U BC = 2BM = 2AM ,所以 OB2= OM2 + BM2 = OM2+ AM2,即 4= x2 + y2 + (x 1)2+

19、 (y 1)2,化简得 x 12+ y12=31 1勺6所以点m的轨迹是以2, 2为圆心，于为半径的圆,所以AM的取值范围是 宁，尊严, 所以BC的取值范围是.'6 .''2, ,；6 + . 2.答案.'6 2 .'6+ ,'22. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C: (x a)2+ (y a+ 2)2= 1,点A(0, 2),若 圆C上存在点M，满足MA2+ MO2= 10,则实数a的取值范围是.解析 设点 M(x, y),由 MA2+ MO2= 10,即 x解析 由题意得圆心M(a, a 4)在直线xy 4= 0上运动，所以动圆M是圆心

20、在直线xy 4 = 0上，半径为1的圆.又因为圆M上存在点P,使经过点P作圆 O的两条切线，切点为 A, B,使/ APB = 60°所以OP = 2,即点P也在x2 + y2 =4 上，于是 2 1Wa2+(a 4) 2<2+ 1, 即卩 1wa2+( a 4) 2<3,解得 实数a的取值范围是2 孑，2 +尹 答案 2-乎，2 +甲 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2 + y2 4x= 0若直线y= k(x+ 1)上存 在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是.解析 由题意知原命题等价于直线上存在点 P使得PC = 2 2，从而(PC)

21、min < 2 2, 即圆心C(2, 0)到直线y= k(x+ 1)的距离d=<和2,解得k<2迈.1 + k2答案2 2, 2 2 在平面直角坐标系xOy中，设点A(1, 0), B(3, 0), C(0, a), D(0, a + 2),若存在点P,使得PA=/2PB, PC= PD,则实数a的取值范围是.+ (y 2)2 + x2 + y = 10,整理得 x2+ (y 1)2 = 4,即点M在圆E: x2 + (y 1)2 = 4上.圆C上存在点M满足MA2+ MO2 = 10等价于圆E与圆C有公共点，所以 |2 1|< CEW 2+ 1,即 1w“ ,.

22、9;a2+( a 3) 2<3,整理得 K 2a2 6a + 9<9,解得0Wa<3,即实数a的取值范围是0 , 3.答案0, 33. 已知圆O: x2 + y2= 1,圆M: (x a)2 + (y a+ 4)2= 1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线，切点为A, B,使得/ APB= 60°贝U实数a的取值范围为解析 设 P(x, y),则“ (x- 1) 2 + y2 = '2 (x 3) 2 + y2,整理得(x 5)2 + y2=8,即动点P在以(5, 0)为圆心，2 2为半径的圆上运动另一方面，由PC= PD知动点P在线段CD的垂直平分线

23、y= a+ 1上运动，因而问题就转化为直线y= a+ 1与圆(x 5)2 + y2= 8有交点.所以|a+ 1|< 2 ；2,故实数a的取值范围是2 ：2 1, 2 ,'2 1.答案2 2 1, 2.2 16. 如图，在等腰厶ABC中，已知AB = AC, B( 1, 0), AC边的中点为D(2, 0),则点C的轨迹所包围的图形的面积等于 解析 因为AB= 2AD，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x 3)2 + y2= 4(yM0).设 C(x, y)，由 AC 边的中点为 D(2, 0), 知 A(4 x,y),所以 C 的轨迹方程为(4 x 3)2 + (y)2

24、= 4,即(x 1)2+ y2 = 4(yM0),所求的面积为4 n.答案 4n7. (2019宿迁模拟)已知A, B是圆C1： x2 + y2= 1上的动点，AB= ,；3, P是圆C2：1-尹 1,(x 3)2 + (y 4)2= 1上的动点，贝PA+ PB|的取值范围为解析 设AB的中点为C,由垂径定理可得CC1丄AB,则CC1 = 即点 C 的轨迹方程是 x2 + y2 = 4, C1C2= ”32 + 42 = 5,贝U PCmax= 5+ 1 + 2 三，PCmin 5 1 1 2,所以 |PA+ PB| |2PC| 7, 13.答案7, 138. (2019苏、锡、常、镇调研)在

25、平面直角坐标系xOy中，已知圆C: (x+ 1)2 + y22,点A(2, 0),若圆C上存在点 M，满足MA2+ M02w 10,则点M的纵坐标 的取值范围是.解析 设 M(x, y),因为 MA2+ MO2< 10,所以(x 2)2 + y2 + x2 + y2< 10,化简得x2 + y2 2x-3<0,则圆 C: x2 + y2 + 2x 1 = 0与圆 C': x2 + y2 2x 3 = 0有公共 点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线的方程为x= 2,代入x2 + y2 2x3<0可得_27<丫三今，所以点m的纵坐标的取值范围是 ¥

26、;，¥ 答案去今、解答题9. 在x轴正半轴上是否存在两个定点 A, B,使得圆x2 + y2 = 4上任意一点P到A,1B两点的距离之比为常数2?如果存在，求出点A, B坐标；如果不存在，请说明 理由.解 假设在x轴正半轴上存在两个定点 A, B,使得圆x2 + y2= 4上任意一点P到1A, B两点的距离之比为常数Q设P(x, y), A(xi, 0), B(x2, 0),其中X2>xi >0, 则书X x“ J £ =1对满足x2 + y2= 4的任何实数对(x, y)恒成立，:(x x2)2+ y2 2 整理得，2x(4xi x2) + x2 4x2 = 3(x2 + y2)，将 x2 + y2= 4 代入得， 2x(4xi x2) + x2 4xi= 12,这个式子对任意x 2, 2恒成立，4xi x2= 0, 所以一定有 22因为X2>X1> 0,x2 4x1= 12,所以解得X1 = 1 , X2 = 4.所以在x轴正半轴上存在两个定点 A(1, 0), B(4, 0