点-直线-平面的位置关系练习题型总结

1、11.(20091.(2009湖南湖南) )平行六面体平行六面体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,既与既与 ABAB共面也与共面也与CCCC1 1共面的棱的条数为共面的棱的条数为 ( )( ) A.3 B.4 C.5 D.6 A.3 B.4 C.5 D.6 解析解析 如图所示如图所示, ,用列举法知用列举法知 符合要求的棱为符合要求的棱为 BCBC、CDCD、C C1 1D D1 1、BBBB1 1、AAAA1 1. . C C22.(20092.(2009湖南湖南) )正方体正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱上到

2、异的棱上到异 面直线面直线ABAB、CCCC1 1的距离相等的点的个数为的距离相等的点的个数为 ( )( ) A.2 B.3 C.4 D.5 A.2 B.3 C.4 D.5 解析解析 如图所示如图所示, ,棱棱BCBC的中点的中点MM 到异面直线到异面直线ABAB、CCCC1 1的距离都等的距离都等 于棱长的一半于棱长的一半, ,点点D D、B B1 1到异面直到异面直 线线ABAB、CCCC1 1的距离都等于棱长的距离都等于棱长, ,棱棱 A A1 1D D1 1的中点到异面直线的中点到异面直线ABAB、CCCC1 1 的距离都等于棱长的的距离都等于棱长的 倍倍. . 25C C33.3.平

3、面平面 平面平面 的一个充分条件是的一个充分条件是 ( )( ) A. A.存在一条直线存在一条直线a a, , B. B.存在一条直线存在一条直线a a, , C. C.存在两条平行直线存在两条平行直线a a, ,b b, , D. D.存在两条异面直线存在两条异面直线a a, ,b b, , 解析解析 故排故排 除除A.A. 故排除故排除B.B. 故故 排除排除C. C. /,/aa/,aa /,/,baba/,/,baba,/,/,/,aaaalal若,/,/,alaal则若,/,/,/,/,balbblaal则若D D44.4.已知两条直线已知两条直线m m, ,n n, ,两个平面两

4、个平面 给出下面四个命给出下面四个命 题题: : 其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是 ( )( ) A. A. B. B. C. C. D. D. 解析解析 中中, ,m m, ,n n有可能是异面直线有可能是异面直线; ;中中, ,n n有可能在有可能在 上上, ,都不对都不对, ,故选故选C. C. nmnm,/,/nmnmnmnm/,/nmnm,/,/C C,5题型一题型一 空间点、线、平面之间的位置关系空间点、线、平面之间的位置关系【例【例1 1】如图所示】如图所示, ,平面平面ABEFABEF平平 面面ABCDABCD, ,四边形四边形ABEFABEF与与ABCDABCD都都

5、是直角梯形是直角梯形,BADBAD=FABFAB=90=90, , G G, ,H H分别为分别为 FAFA, ,FDFD的中点的中点. . (1) (1)证明证明: :四边形四边形BCHGBCHG是平行四边形；是平行四边形； (2)(2)C C, ,D D, ,F F, ,E E四点是否共面四点是否共面? ?为什么为什么? ? (3) (3)【面面垂直】设【面面垂直】设ABAB= =BEBE, ,证明证明: :平面平面ADEADE平面平面CDECDE. . ,21/,21/AFBEADBC67 (1) (1)证明证明 由题意知由题意知, ,FGFG= =GAGA, ,FHFH= =HDHD,

6、 ,所以所以 所以四边形所以四边形BCHGBCHG是平行四边形是平行四边形. . (2)(2)解解 C C, ,D D, ,F F, ,E E四点共面四点共面. .理由如下：理由如下： G G是是FAFA的中点知的中点知, , 所以所以EFEFBGBG. .由由(1)(1)知知BGBGCHCH, ,所以所以EFEFCHCH, ,故故ECEC, ,FHFH共面共面. .又点又点D D在直线在直线FHFH上上. .所以所以C C, ,D D, ,F F, ,E E四点共面四点共面. . ,21/AFBE由,/GFBE,/,21/,21/BCGHADBCADGH又8(3)(3)证明证明 连接连接EC

7、EC, ,由由ABAB= =BEBE, , 及及BAGBAG=90=90知知ABEGABEG是正方形是正方形. .故故BGBGEAEA. .由题设知由题设知FAFA, ,ADAD, ,ABAB两两垂直两两垂直, ,故故ADAD平平面面FABEFABE, ,因此因此EAEA是是EDED在平面在平面FABEFABE内的射影，内的射影，根据三垂线定理根据三垂线定理, ,BGBGEDED. .又又EDEDEAEA= =E E, ,所以所以BGBG平面平面ADEADE. .由由(1)(1)知知CHCHBGBG, ,所以所以CHCH平面平面ADEADE. .由由(2)(2)知知CH CH 平面平面CDEC

8、DE, ,得平面得平面ADEADE平面平面CDECDE. . AGBE/9【探究拓展探究拓展】要证明四边形】要证明四边形BCHGBCHG是平行四边形是平行四边形, ,只要只要 证明证明 即可即可; ;要证明要证明C C, ,D D, ,E E, ,F F共面共面, , 可通过证明四边形可通过证明四边形CDEFCDEF中至少有一组对边平行或两中至少有一组对边平行或两 边的延长边的延长 线相交即可线相交即可; ;要证明面面垂直通常转化成为要证明面面垂直通常转化成为 证明线面垂直证明线面垂直. . HCGBBCGH/,/或10题型二题型二 线线、线面位置关系线线、线面位置关系【例【例2 2】(200

9、9(2009江苏江苏) )如图如图, ,在直在直 三棱柱三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中中E E、F F分分 别是别是A A1 1B B、A A1 1C C的中点的中点, ,点点D D在在 B B1 1C C1 1上上, ,A A1 1D DB B1 1C C. . 求证求证:(1):(1)【线面平行】【线面平行】EFEF平面平面ABCABC; ; (2) (2)【面面垂直】平面【面面垂直】平面A A1 1FDFD平面平面BBBB1 1C C1 1C C. . 证明证明 (1)(1)由由E E、F F分别是分别是A A1 1B B、A A1 1C C的中点知的中点知EF

10、EFBCBC. . 又又EFEF 平面平面ABCABC, ,BCBC 平面平面ABCABC. . 所以所以EFEF平面平面ABCABC. . 1112 (2) (2)因为三棱柱因为三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1为直三棱柱，为直三棱柱， 所以所以BBBB1 1面面A A1 1B B1 1C C1 1, ,BBBB1 1A A1 1D D, , 又又A A1 1D DB B1 1C C, ,BBBB1 1B B1 1C C= =B B1 1, , 所以所以A A1 1D D面面BBBB1 1C C1 1C C， 又又A A1 1D D 面面A A1 1FDFD, ,所以平面

11、所以平面A A1 1FDFD平面平面BBBB1 1C C1 1C C. .【探究拓展探究拓展】证明线面平行】证明线面平行, ,通常用线面平行的判定通常用线面平行的判定 定理或由面面平行证明线面平行定理或由面面平行证明线面平行; ;证明线面垂直证明线面垂直, ,常常 用线面垂直的判定定理用线面垂直的判定定理; ;在解决线线平行、线面平行在解决线线平行、线面平行 的问题时的问题时, ,若题目中出现了中点若题目中出现了中点, ,往往可考虑中位线往往可考虑中位线 来进行证明来进行证明. . 13变式训练变式训练2 2 (2009 (2009海南海南) )如图所如图所 示示, ,四棱锥四棱锥S SABC

12、DABCD的底面是正方的底面是正方 形形, ,每条侧棱的长都是底面边长的每条侧棱的长都是底面边长的 倍倍, ,P P为侧棱为侧棱SDSD上的点上的点. . (1) (1)【线线垂直】求证【线线垂直】求证: :ACACSDSD; ; (2) (2)【二面角】若【二面角】若SDSD平面平面PACPAC, ,求二面角求二面角 P PACACD D的大小的大小; ; (3) (3)在在(2)(2)的条件下的条件下, ,侧棱侧棱SCSC上是否存在一点上是否存在一点E E, ,使得使得 BEBE平面平面PACPAC, ,若存在若存在, ,求求 的值的值; ;若不存在若不存在, ,试说试说 明理由明理由.

13、.2ECSE1415(1)(1)证明证明 连结连结BDBD, ,设设ACAC交交BDBD于于O O，由题意由题意SOSOACAC. .在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,ACACBDBD, ,所以所以ACAC平面平面SBDSBD, ,所以所以ACACSDSD. . (2)(2)解解 设正方形边长为设正方形边长为a a, ,则则SDSD= =又又ODOD= = 所以所以SDOSDO=60=60, ,连结连结OPOP, ,由由(1)(1)知知ACAC平面平面SBDSBD，所以所以ACACOPOP, ,且且ACACODOD, ,所以所以PODPOD是二面角是二面角P PACACD D的平面角的

14、平面角. .由由SDSD平面平面PACPAC, ,知知SDSDOPOP, ,所以所以PODPOD=30=30, ,即二面角即二面角P PACACD D的大小为的大小为3030. . .2a,22a16(3)(3)解解 在棱在棱SCSC上存在一点上存在一点E E, ,使使BEBE平面平面PACPAC, ,由由(2)(2)可得可得PDPD= = 故可在故可在SPSP上取一点上取一点N N，使使PNPN= =PDPD, ,过过N N作作PCPC的平行线与的平行线与SCSC的交点即为的交点即为E E. .连结连结BNBN. .在在BDNBDN中中, ,知知BNBNPOPO, ,又由于又由于NENEPC

15、PC, ,故平面故平面BENBEN平面平面PACPAC, ,得得BEBE平面平面PACPAC, ,由于由于SNSN: :NPNP=2:1,=2:1,故故SESE: :ECEC=2:1. =2:1. ,42a17题型三题型三 面面位置关系面面位置关系【例【例3 3】(2009(2009天津天津) )如图如图, ,在在 五面体五面体ABCDEFABCDEF中中, ,FAFA平面平面 ABCDABCD, ,ADADBCBCFEFE, ,ABABADAD, , MM为为ECEC的中点的中点, ,AFAF= =ABAB= =BCBC= =FEFE = = ADAD. . (1) (1)【空间夹角】求异面

16、直线【空间夹角】求异面直线BFBF与与DEDE所成的角的大小；所成的角的大小； (2)(2)【面面垂直】证明【面面垂直】证明: :平面平面AMDAMD平面平面CDECDE; ; (3) (3)【二面角】求二面角【二面角】求二面角A ACDCDE E的余弦值的余弦值. . 211819方法一方法一 (1)(1)解解 由题设知由题设知, ,BFBFCECE，所以，所以CEDCED( (或或 其补角其补角) )为异面直线为异面直线BFBF与与DEDE所成的角所成的角, ,设设P P为为ADAD的中的中 点点, ,连结连结EPEP, ,PCPC. . 又又FAFA平面平面ABCDABCD, ,所以所以

17、EPEP 平面平面ABCDABCD, ,而而PCPC、ADAD都在都在 平面平面ABCDABCD内内, ,故故EPEPPCPC, ,EPEP ADAD. .由由ABABADAD, ,可得可得PCPC ADAD. .设设FAFA= =a a, ,则则EPEP= =PCPC= =PDPD= =a a, ,CDCD= =DEDE= =ECEC= = a a, ,故故 CEDCED=60=60 所以异面直线所以异面直线BFBF与与DEDE所成的角的大小为所成的角的大小为6060. . ,/./,/PCABEPFAAPFE同理所以因为220(2)(2)证明证明 因为因为DCDC= =DEDE且且MM为为

18、CECE的中点，的中点，所以所以DMDMCECE，连结，连结MPMP, ,则则MPMPCECE. .又又MPMPDMDM= =MM, ,故故CECE平面平面AMDAMD，而而CECE 平面平面CDECDE, ,所以平面所以平面AMDAMD平面平面CDECDE. .(3)(3)解解 设设Q Q为为CDCD的中点的中点, ,连结连结PQPQ, ,EQEQ. .因为因为CECE= =DEDE, ,所以所以EQEQCDCD. .因为因为PCPC= =PDPD, ,所以所以PQPQCDCD, ,故故EQPEQP为为二面角二面角A ACDCDE E的平面角的平面角. .由由(1)(1)可得可得, ,EPE

19、PPQPQ, ,EQEQ= = PQPQ= = 于是在于是在RtRtEPQEPQ中中,cos,cosEQPEQP= = 所以二面角所以二面角A ACDCDE E的余弦值为的余弦值为 ,26a.22a.33EQPQ.3321变式训练变式训练3 3 如图所示如图所示, ,矩形矩形ABCDABCD 和梯形和梯形BEFCBEFC所在平面互相垂直所在平面互相垂直, , BEBECFCF,BCFBCF=CEFCEF=90=90, ,求证求证: :【线面平行】【线面平行】AEAE平面平面DCFDCF; ;22证明证明 过点过点E E作作EGEGCFCF交交CFCF于于G G, ,连结连结DGDG. .可得四

20、边形可得四边形BCGEBCGE为矩形，为矩形，又四边形又四边形ABCDABCD为矩形，为矩形，所以所以 从而四边形从而四边形ADGEADGE为平行四边形，为平行四边形，故故AEAEDGDG. .因为因为AEAE 平面平面DCFDCF, ,DGDG 平面平面DCFDCF, ,所以所以AEAE平面平面DCFDCF. . ,/EGAD23专题四：折叠问题专题四：折叠问题 解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的 不变量和变化量不变量和变化量, ,一般情况下一般情况下, ,线段长度是不变量线段长度是不变量, ,而而 折痕同侧的各种关系不发折痕同侧的各种关系不发生变化生变化,

21、 ,折痕两侧的位置关折痕两侧的位置关 系将发生变化，抓住不变量是解决系将发生变化，抓住不变量是解决问题的关键问题的关键. .24例例1 1、已知等腰梯形已知等腰梯形PBCDPBCD中中,(,(如图如图1),1),PBPB=3,=3, DCDC=1=1, ,PDPD= =BCBC= = A A是是PBPB边上一点边上一点, ,且且ADADPBPB, ,现将现将 PADPAD沿沿ADAD折起折起, ,使平面使平面PADPAD平面平面ABCDABCD( (如图如图2).2). (1) (1)【面面垂直】证明【面面垂直】证明: :平面平面PADPAD平面平面PCDPCD; ; (2) (2)试在棱试在

22、棱PBPB上确定一点上确定一点MM, ,使截面使截面AMCAMC把几何体分把几何体分 成两部分的体积比成两部分的体积比V VPDCMAPDCMA: :V VMACBMACB=2:1;=2:1; (3) (3)在点在点MM满足满足(2)(2)的条件下的条件下, ,判断直线判断直线PDPD是否平行于是否平行于 平面平面AMCAMC, ,并说明理由并说明理由. . ,22526(1)(1)证明证明 由题意知由题意知: :CDCDADAD, ,又平面又平面PADPAD平面平面ABCDABCD, ,所以所以CDCD平面平面PADPAD, ,又又CDCD平面平面PCDPCD, ,所以所以, ,平面平面PA

23、DPAD平面平面PCDPCD. .(2)(2)解解 由由(1)(1)知知PAPA平面平面ABCDABCD, ,所以平面所以平面PABPAB平面平面ABCDABCD, ,在在PBPB上取一点上取一点MM，作作MNMNABAB于于N N，则则MNMN平面平面ABCDABCD, ,设设MNMN= =h h, ,则则V VMMABCABC= = S SABCABCh h,3122131hh 3127要使要使V VPDCMAPDCMA: :V VMACBMACB=2:1,=2:1,解得解得h h= = 即即MM为为PBPB的中点的中点. .(3)(3)解解 连接连接BDBD交交ACAC于点于点O O,

24、,因为因为ABABCDCD, ,ABAB=2,=2,CDCD=1,=1,由三角形相似得由三角形相似得BOBO=2=2ODOD, ,所以所以O O不是不是BDBD的中点的中点, ,又又MM为为PBPB的中点的中点, ,所以在平面所以在平面PBDPBD中中, ,直线直线OMOM与与PDPD相交相交, ,所以直线所以直线PDPD与平面与平面AMCAMC不平行不平行. . .21112213131PASVABCDABCDP,21, 1:23: )321(hh即28【考题再现】【考题再现】 (2009(2009山东山东) )如图如图, ,在直四棱柱在直四棱柱 ABCDABCDA A1 1B B1 1C

25、C1 1D D1 1中中, ,底面底面ABCDABCD 为等腰梯形为等腰梯形, ,ABABCDCD, ,ABAB=4,=4, BCBC= =CDCD=2,=2,AAAA1 1=2,=2,E E、E E1 1、F F分别分别 是棱是棱ADAD、AAAA1 1、ABAB的中点的中点. .证明证明: :【线面平行】直线【线面平行】直线EEEE1 1平面平面FCCFCC1 1；29(1)(1)证明证明 在直四棱柱在直四棱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,取取A A1 1B B1 1的中的中点点F F1 1，连接连接A A1 1D D, ,C C1 1F F1

26、1, ,CFCF1 1, ,因为因为ABAB=4,=4,CDCD=2,=2,且且ABABCD,CD,所以所以 所以四边形所以四边形A A1 1F F1 1CDCD为平行四边为平行四边形，所以形，所以CFCF1 1A A1 1D D, ,又因为又因为E E、E E1 1分别是棱分别是棱ADAD、AAAA1 1的中点的中点, ,所以所以EEEE1 1A A1 1D D, ,所以所以CFCF1 1EEEE1 1, ,又因为又因为EEEE1 1 平面平面FCCFCC1 1，CFCF1 1 平面平面FCCFCC1 1, ,所以直线所以直线EEEE1 1平面平面FCCFCC1 1,/11FACD30(20

27、09(2009全国全国)已知二面角已知二面角 为为6060, ,动点动点 P P、Q Q分别在面分别在面 内内, ,P P到到 的距离为的距离为 , ,Q Q到到 的的 距离为距离为 则则P P、Q Q两点之间距离的最小值为两点之间距离的最小值为 ( )( ) A. B.2 C. D.4 A. B.2 C. D.4 解析解析 如图如图, ,过过P P作作PEPE 交交 于于 E E, ,在平面在平面 内过点内过点E E作作EFEFl l, ,则则 PFEPFE=60=60, ,由由P P到到 的距离为的距离为 知知PEPE= =PFPF=2.=2.同理可求平面同理可求平面 内的点内的点Q Q到

28、棱到棱l l的距离为的距离为4.4.当当将二面角展开将二面角展开, ,P P、Q Q的连线与的连线与l l垂直时垂直时, ,P P、Q Q两点之间两点之间l、3, 323223. 331 的距离最短的距离最短( (此时在二面角内此时在二面角内, ,P P、Q Q应是二面角平面应是二面角平面 角边上的两点）角边上的两点）. . 其最小值应为其最小值应为d d2 2=4+16-2=4+16-24 42 2cos 60cos 60=12,=12, d d= = 答案答案 C C3.3.已知已知m m, ,n n是两条不同直线是两条不同直线, , 是三个不同平面是三个不同平面, , 下列命题中正确的是

29、下列命题中正确的是 ( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 由线面的位置关系可知由线面的位置关系可知B B正确正确. . . 32,/,则若nmnm/,则若nmnm/,/,/则若/,/,/则若mmB B32(2009(2009江西江西) )如图如图, ,正四面体正四面体 ABCDABCD的顶点的顶点A A, ,B B, ,C C分别在两两分别在两两 垂直的三条射线垂直的三条射线OxOx, ,OyOy, ,OzOz上上, , 则在下列命题中则在下列命题中, ,错误的为错误的为( )( ) A. A.O OABCABC是正三棱锥是正三棱锥 B.B.直线直线OBOB平面平面ACDACD C. C.直线直线ADAD与与OBOB所成的角是所成的角是4545 D. D.二面角二面角D DOBOBA A为为4545 解析解析 将原图补为正方体不难得出将原图补为正方体不难得出B B错误错误, ,故选故选B. B. B B33(2009(2009海南海南) )如图所示如图所示, ,正方体正方体 ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，线，线 段段B B1 1D D1 1上有两个动点上有两个动点E E、F F, ,且且EFEF =