《曲线积分》word版

1、. 第十二讲 曲线积分 1.有关曲线积分与曲面积分的基本内容1.1曲线积分的概念1.1.1对弧长的曲线积分概念1）定义：设函数在面内的一条光滑曲线弧上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对弧长的曲线积分，即 2）性质： 与积分路线方向无关，即 对曲线具有可加性，即若，则1.1.2对坐标的曲线积分概念1）定义：设为面上从点到点的一条有向光滑曲线弧，函数在上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对坐标的曲线积分，即 2）性质： 与积分路线方向有关，即 对曲线具有可加性，即若，则 3)空间曲线情况对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 4)两种曲线积分联系设平面曲线在点的切向量

2、方向余弦为，则设空间曲线在点的切向量方向余弦，则 5)曲线积分与路径无关的等价条件（设是单连通区域，且在内连续）曲线积分在内与路径无关在内恒成立，其中为内任一闭曲线在内存在函数，使得全微分 6)全微分方程 若微分方程满足，则称为全微分方程1.2曲线积分的计算方法1.2.1对弧长的曲线积分化为定积分计算方法与步骤 1) 画出积分路线图形； 2) 写出积分曲线方程；3) 利用三代换将其化为定积分 曲线参数方程； 弧长元素； 积分曲线L换为则 注 这里<（积分下限一定小于积分上限）1.2.2对坐标的曲线积分化为定积分或二重积分（同1或利用格林公式）计算方法与步骤说明 若空间曲线参数方程为，则化

3、为定积分计算注意 这里为曲线起点对应的参数值，为曲线终点对应的参数值，且不一定小于1.2.3二元函数全微分的求积问题若在单连通区域内偏导数连续，则1）曲线积分与路径无关的充要条件是 在区域内恒成立2）表达式为某函数全微分的充要条件是，且该函数为1.2.4全微分方程 1）全微分方程 ，且，则积分与路径无关 通解为 ，（沿着折线积分）即 2）非全微分方程 ，且，找一个函数(称积分因子)乘以该方程两边，则为全微分方程注 1）求积分因子一般说来不是意见容易的事，且积分因子不是唯一的，因而通解可能具有不同的形式2）熟悉以下全微分公式对寻找积分因子是有帮助的；1.3曲线积分的应用1.3.1几何应用 曲线的

4、长度 ； 由曲线所围成区域的面积 1.3.2物理应用 线密度为的曲线构件， 质量： ； 重心坐标： ， 转动惯量： ， 变力沿曲线所作功为W=二、例题分析1对弧长的曲线积分的计算计算方法：1) 画出积分路线图形； 2) 写出积分曲线方程： ；3) 利用三代换 ； ； L换为 （1）当积分曲线弧参数方程为：，则（2）当积分曲线弧直角坐标方程为：，则（将看作参数）（3）当积分曲线弧直角坐标方程为：，则（将看作参数）（4）当空间积分曲线弧参数方程为：，则（5）当积分曲线弧极坐标方程为：，由直角坐标与极坐标关系，将看作参数，则特别注意：积分的下限一定小于积分的上限例1计算曲线积分，其中为圆周解： 方法

5、1：利用参数方程计算因为曲线的参数方程为，所以 ， 于是 方法2：利用极坐标计算因为曲线的极坐标方程为 ，所以 ，又被积函数，于是 例2设曲线为椭圆 ，其周长为，求曲线积分 解：设椭圆的参数方程为 ，椭圆方程也可写为于是 例3计算曲线积分，其中是球面与平面的交线解：记，由对称性有，因为 ，则有因为 ，所以 2对坐标的曲线积分的计算沿平面曲线对坐标的曲线积分有三种计算方法：（1）化为定积分计算：1）若曲线的参数方程为，当参数单调地由变到，作三代换化为定积分； ； ； 积分区间或则 注意：积分限的下限不一定小于积分上限，下限对应于曲线的起点，上限对应于曲线的终点2）若积分曲线直角坐标方程为，则下限

6、对应的起点，上限对应的终点3）若积分曲线直角坐标方程为，则下限对应的起点，上限对应的终点4）若空间曲线参数方程为，则下限对应于的起点，上限对应于的终点（2）当时，曲线积分与路径无关，可以选折线(平行于坐标轴的直线)积分，即 （3）应用格林公式化为二重积分计算例4计算曲线积分 其中是以点，为顶点的正方形解：方法1：将积分化为定积分计算由于曲线的方程分别为于是，方法2：利用格林公式计算，但是不可以直接应用格林公式，因为在点不连续，所以在该点没有连续的偏导数但是可以利用积分路径的方程代入被积函数后，再利用格林公式计算由于积分路径的方程为，故有例5计算积分，其中是用平面截球面所得截线从 轴的正向看去，

7、沿逆时针方向解：由于曲线的参数方程为，且，所以练习题：例6求曲线积分，其中的上半平面内部分，从点到的一段解：因为在中，且连续，所以积分与路径无关，则有因为 ，（） 所以 例7计算曲线积分，其中为沿正向一周解：因为 ，且在闭区域内，且连续，积分与路径无关，所以 ， 其中，即 ， 其中，于是 例8计算曲线积分积分，其中1为圆周的正向；2为椭圆周的正向解：这里 ，1在圆中，所以；2因为函数在处定义，所以函数在即椭圆中除椭圆中心外，恒有，于是以为中心作一个圆周 （从变到0）所以 例9设椭圆在点的切线交轴与点，设为从到的直线段，试计算曲线积分解：先求切线方程，因为斜率所以切线方程为 令，得，则点的坐标为

8、，点坐标为于是有 （其中）例10计算曲线积分其中为连接与点的线段下方的任意路线且该线段与所围成的图形面积为2解：这里 对于含有抽象函数，一般是加边使曲线封闭，再用格林公式，因此对于 ，又直线方程为 ， 即，所以 于是 练习题：1已知曲线与轴交于原点和点，曲线在点处的切线交轴于点，试计算沿从到的直线段的积分（10）2.曲线积分与路径无关问题曲线积分在内与路径无关在内；，为内任一闭曲线；在内存在，使得例11设，试决定函数，使积分与路径无关，并计算该积分解： 1）先求出未知函数因为 ，又积分与路径无关，所以，即 初值问题 ，这是一阶线性微分方程，其满足初始条件的特解是2）求积分因为积分与路径无关，所

9、以沿折线积分，即练习题：1设函数一阶连续可导，曲线积分与路径无关，（1）求，（2）计算 （ （1），（2） ）2 曲线积分均为常数）在整个平面上与路径无关，试求并求当取上述值时，是曲线上从到这一段时曲线积分的值（）3.二元函数全微分求积问题若在单连通区域内偏导数连续，则1）曲线积分与路径无关的充要条件是 2）表达式为某函数全微分的充要条件是，且该函数为例12设函数连续可微，求使得 在除了原点外的任何平面域内为某二元函数的全微分解：因为为某函数全微分，则有 成立，这里，所以 化简得 ，令，有，这是可分离变量的一阶微分方程，求出其解为），即为所求4.曲线积分的应用例13设空间曲线构件的线密度为，且

10、曲线方程是由曲面与平面的交线，求曲线构件的质量解：相交的曲线方程为，消去得到一个过曲线的柱面方程又该曲线构件质量例14质点沿着以为直径的半圆周，从点运动到点的过程中受变力的作用，的大小等于点与原点之间的距离，其方向垂直于线段，且与轴正向的夹角小于，求变力对质点所做的功解：我们知道变力对质点所做的功本题的关键是求出力.方法1 ：设动点，则，又设与垂直的力为，具题意 ，即且，因为与轴正向的夹角小于，有，即解方程组，将代入中得到，因为得到将代入中得因此方法2： 设用复数表示为，复数形式为因为是逆时针方向转到，所以取，即有因此所求的力为 于是 求弧方程：因为中点是圆心，即，半径，所以圆方程为 ，用参数

11、方程表示为当时，当时，因此得到，当时，当时，因此得到，于是例15有一方向指向原点，大小等于作用点到原点的距离的力构成的力场，试确定当质点沿螺旋线，从的点移到的点时场力所做的功分析：质点在力作用下，沿曲线从点到点时，力所做的功为关键是求力的表达式解：设力的作用点为，则力的方向与相同，所以与同方向的单位向量为又力的大小为 从而 于是 练习题：1设曲线构件成半圆形，其上每一点处的线密度等于该点的纵坐标的平方，求曲线构件的质量()2一空间力场，力的方向垂直与轴且指向轴，其大小与作用点到轴的距离成反比，一质点沿圆周从点运动到点，求力场对质点所作的功（）6综合题例16在过点的曲线族中，求一条曲线，使得沿该

12、曲线从点到点的积分的值最小解： 1）先计算该曲线积分因为 ，且 利用格林公式计算， 2）求的最小值由得，又因为，所以，因此，当时，最小，且最小值例17质点在变力的作用下，由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点 ，问取何值时，力作功最大，最大值是多少？解： 1）先求所作的功原点到点的方程，为方便，曲线方程化成参数方程，于是所作的功，2）再求最大功求函数在条件下的极值，设拉格朗日函数（），对其求偏导数，并令它们为令，得 设为光滑曲面，函数f(x,y,z)在上有界，把任意地分成n个小曲面S,在每个小曲面解方程组，得由实际问题的性质可知这样的问题存在最大值，因此当时，所且最大功为 1.2.曲面积分1.

13、2.1曲面积分的定义Xi,Yi,Zi) 作乘积f(Xi,Yi,Zi)dS，并求和f(Xi,Yi,Zi)dS ，记=max(S的直径) ， 若f(Xi,Yi,Zi)dS当0时的极限存在，且极限值与的分法及（Xi,Yi,Zi）在上的取法无关，则称极限值为f（x,y,z）在上对面积的曲面积分，也叫做第一类曲面积分。即为f(x,y,z)dS；其中f(x,y,z)叫做被积函数，叫做积分曲面，dS叫做面积函数。1.2.2曲面积分的类别 对面积的曲面积分 （第一类曲面积分）； 对坐标轴的曲面积分（第二类曲面积分）； 对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分是可以转化的；两类曲面积分的区别在于形式上积分元素的不同

14、，第一类曲面积分的积分元素是面积元素dS,例如：在积分曲面上的对面积的曲面积分： f(x,y,z)dS； 而第二类曲面积分的积分元素是坐标平面dxdy,dydz或dxdz,例如：在积分曲面上的对坐标平面的曲面积分： P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz； 1.2.3两种曲面积分的关系两种积分之间的转化在于如何将空间曲面在坐标平面上投影； 设dS是积分曲面上的面积元素。 设的方程为z=(x,y)，在xOy平面上的投影区域D是有界闭区域，z=(x,y)在D上具有连续的偏导数，于是： dS/(dxdy)=1/cos，是面积元素dS和坐标平面的夹角； 积分曲面上

15、任意一点的法向量为（z/x，z/y,-1）(注：表示求偏导数，z/x表示z对x偏导数，是整体符号，下同）,xOy平面的法向量取（0，0，1）； 于是1/cos=1+(z/x)2+(z/y）2； 所以dS=1+(z/x)2+(z/y）2*dxdy，上的点为（x,y,z(x,y)）则f(x,y,z)dS存在，且在积分曲面上的曲面积分有： f(x,y,z)dS=f(x,y,z)*1+(z/x)2+(z/y）2*dxdy 这样就把对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分的关系联系起来了。 而对于P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz这种类型的曲面积分，积分曲面可能需要

16、同时向三个坐标平面 xOy,xOz,yOz投影,投影的方式和上面的方法一样。实际上如果面积元素dS与三个坐标平面的夹角分别为，则有dxdy=cosdS;dxdz=cosdS,dydz=cosdS; 而，的余弦是可以通过法向量的数量积求得的，所以可以写成： P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz=P(x,y,z)cos+Q(x,y,z)cos+R(x,y,z)cosdS 在向各个坐标平面投影的时候需要注意dS的有向性，即夹角的大小，在夹角大于/2的时候，其余弦值是负的值，且最大功为 3.曲线积分与曲面积分的运用3.1.在物理学方面的应用高等数学是物理学研究和

17、发展不可缺少的理论思维工具，它具有高度的抽象性，结论的精确性和广泛的应用性。数学知识对于物理学科来说，决不仅仅是一种数量分析和运算工具，更重要的是物理概念的定义工具和物理定理、原理的推导工具；另外，运用数学方法研究物理问题本身就是一种重要的抽象思维。因此，数学也是研究物理问题进行科学抽象和思维推理的工具。在物理学的发展道路中，数学起到的作用是具体的。一个理论有没有生命力的基本条件就是数学表述是否正确完善，是否和物理定律界定的条件配合得很好，或者和客观实验符合得很好。当这种符合度到达一定程度之后，物理理论就会反过来赋予数学描述以生命力。 数学对于物理的影响是很深远的，但是也不能说明数学和物理的关

18、系有很分明的先后关系。有的数学问题是从物理现象中抽象出来的，而有的数学表述方式也是因为有了物理理论才有了意义。如教材中曲线与曲面积分的定义均由物理学中的相关问题提出，而物理学中的某些问题运用曲线积分与曲面积分得到了简化 一、弧长的曲线积分的概念与性质由物理上求曲线形构件的质量问题提出曲线形构件的质量 在设计曲线形构件时，为了合理利用材料，应该根据构件各部分受力情况，把构件上各点处的粗细程度设计的不完全一样。因此，可以认为这构件的线密度（单位长度的质量）是变量。假设这构件所处的位置在xOy面内的一段曲线弧L上，它的端点是A、B，在L上任一点（x，y）处，它的线密度为。现在要计算这构件的质量M（如图）。现在这构件上各点处的线密度是变量，可以用L上的点,把L分成n小段，取其中一小弧来分析。在线密度连续变化的前提下，只要这小段很短，就可以直接用这一小段上任意一点（）处的线密度代替这小段上其他各点处的线密度，从而得到这小构件的质量的近似值为，其中表示弧的长度，于是整个曲线形构件的质量用表示n个小弧段的最大长度，为了计算m的精确值，取上式右端之和当0时的极限，从而得到从而得到曲线积分的定义 ：设L为xoy面内的一条光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界。在L上任意插入点列,把L分成n小段。设第i个小段弧长的长度为，又为第i个小段上任意取定的一点，作乘积（i=1，2