【2019最新】精选高中数学第二章平面向量阶段复习课第3课平面向量学案新人教A版必修4

1、【 2019 最新】精选高中数学第二章平面向量阶段复习课第3课平面向量学案新人教A版必修 4 核心速填 1向量的运算(1) 加法：，若四边形 OABC为平行四边形，则 .(2) 减法： .(3) 数乘： | a| | |a|.(4) 数量积： a·b|a|b|cos(a 与 b 的夹角为 ) 2两个重要定理(1) 向量共线定理：向量 a(a 0) 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ba.(2) 平面向量基本定理： 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a1e12e2，其中 e1，e2 是一组基底3两

2、个非零向量平行、垂直的充要条件若 a(x1 ，y1)b (x2 ，y2) ，则：(1)a b? ab( 0) ? x1y2x2y10.(2)a b? a·b 0? x1x2y1y20.4平面向量的三个性质(1) 若 a(x ，y) ，则 |a| .(2) 若 A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则 | .(3) 若 a(x1 ，y1) ，b(x2 ，y2) ， 为 a 与 b 的夹角，则 cos .欢迎下载。 体系构建 题型探究 平面向量的线性运算(1) 平面上有A(2 ， 1) ，B(1,4) ，D(4， 3) 三点，点C在直线 AB上，且，连接 DC延长至 E，使 | | ，

3、则点 E 的坐标为_图 2-1(2) 如图 2-1 ，在正五边形 ABCDE中，若 a， b， c， d， e，求作向量 acbde. 【导学号： 84352275】(1) (1) ，() 2 (3 ， 6) ，点 C坐标为 (3 ， 6) 由 | | ，且 E 在 DC的延长线上， . 设 E(x ，y) ，则 (x 3，y6) (4 x， 3y) ，1x 3 1 4x，得31y 6 4 4y，解得即 E.(2)a cbde (a b) (c de) () () .如图，连接AC，并延长至点F，使 CFAC，则，所以，即为所求作的向量acbde.【2019最新】精选高中数学第二章平面向量阶段

4、复习课第课平面向量学案新人教版必修 规律方法 1. 向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即 .向量加法的平行四边形法则： 将两向量移至共起点， 分别为邻边作平行四边形， 则同起点对角线的向量即为向量的和 加法满足交换律、结合律2向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用几何意义有两个： 一是以减向量的终点为起点， 被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量注意两向量要移至共起点3数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换 跟踪训练 1如图 2-2 所示，在 ABC中， P 是 BN上的一点，若 m ，则实数 m的值为

5、_图 2-2311 设 ，则 m (m1) .BN .与共线， (m1) 0， m.平面向量数量积的运算(1) 已知点 A(1,1) 、B(1,2) 、C(2， 1) 、D(3,4) ，则向量在方向上的投影为 ()AB31523/103/10CD3 152(2) 如图 2-3 ，在梯形 ABCD中， ABCD，AB4，AD3，CD2， 2. 若· 3，则· _. 【导学号： 84352276】图 2-3(1)A (2)(1) (2,1) ， (5,5)，向量 (2,1)在 (5,5)上的投影为 |cos， | · .(2) 因为·· 2

6、3; 3，所以· . 规律方法 向量数量积的求解策略1利用数量积的定义、运算律求解.在数量积运算律中， 有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即 a22a·bb2， a22a·b b2，上述两公式以及a2b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.2 借助零向量 .即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积.3 借助平行向量与垂直向量 .即借助向量的拆分， 将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助ab，则 a·b0 等解决问题 .4建立坐标系

7、，利用坐标运算求解数量积. 跟踪训练 2在边长为 1 的菱形 ABCD中， BAD60°， E 是 BC的中点，则·等于()【2019最新】精选高中数学第二章平面向量阶段复习课第课平面向量学案新人教版必修A.B. 92C.D.94D 建立如图平面直角坐标系，则 A，C，B. E点坐标为， ( ，0) ，·× .平面向量的平行与垂直问题(1) 已知向量 m( 1,1) ，n( 2,2) ，若(mn) (m n) ，则 ()A 4B 3C 2D 1(2) 设 A，B，C，D为平面内的四点，且 A(1,3) ，B(2，2) ，C(4,1) 若，求 D 点的坐标

8、设向量 a， b，若 kab 与 a3b 平行，求实数 k 的值 .(1)B (1) 因为 mn(2 3,3) ，mn( 1，1) ，且 (mn) (m n) ，所以 (mn) ·(m n) 2330，解得 3.(2) 设 D(x，y) 因为，所以 (2 ， 2) (1,3) (x ，y) (4,1) ，化为 (1 ， 5) (x 4，y1) ，5/105/10所以解得x 41，y 1 5，x 5，y 4，所以 D(5， 4) 因为a (2 ， 2) (1,3) (1 ， 5) ，b (4,1) (2 ， 2) (2,3) ，所以 kabk(1 ，5) (2,3) (k 2，5k3)

9、 ，a3b(1 ， 5) 3(2,3) (7,4) 因为 kab 与 a3b 平行，所以 7( 5k3) 4(k 2) 0，解得 k . 所以 k .母题探究：1. 将例 3(2) 中的“”改为“”， “平行”改为“垂直”，求实数 k 的值 解 因为 a (1 ， 5) ，b (3 ， 2) ，所以 kab(k 3， 5k2) ，a3b(10，11)，因为 (ka b) (a 3b) ，所以 (ka b) ·(a 3b) 10(k 3) 11( 5k2) 65k520，解得 k.2在例 3(2) 中若 A，B，D 三点共线，且 ACCD，求点 D的坐标 解设点 D 的坐标为 (x ，

10、y) ，则AB(1 ， 5) ， (x 1，y3) ，AC(3 ， 2) ， (x 4，y1) ，由题意得，【2019最新】精选高中数学第二章平面向量阶段复习课第课平面向量学案新人教版必修5x y8，所以整理得3x 2y10，解得 x2，y 2，所以点 D 的坐标为 (2 ， 2) 规律方法 1. 证明共线问题常用的方法(1) 向量 a，b(a 0) 共线 ? 存在唯一实数 ，使 ba.(2) 向量 a(x1 ，y1) ，b(x2 ，y2) 共线 ? x1y2x2y10.(3) 向量 a 与 b 共线 ? |a ·b| |a|b|.(4) 向量 a 与 b 共线 ? 存在不全为零的实

11、数 1，2，使 1a2b0.2证明平面向量垂直问题的常用方法ab? a·b0? x1x2y1y20，其中 a(x1 ，y1) ，b(x2 ，y2).平面向量的模、夹角(1) 已知向量 a，b 夹角为 45°，且 |a| 1，|2a b| ，则|b| _.(2) 已知 cmanb，c( 2，2) ，ac，b 与 c 的夹角为， b·c 4，|a| 2，求实数 m，n 的值及 a 与 b 的夹角 . 【导学号：84352278】(1)3(1) 因为向量 a，b 夹角为 45°，且 |a| 1，|2a b| ，所以，化为 4|b|2 4|b|cos 45 &#

12、176; 10，化为 |b|2 2|b| 60，因为|b| 0，解得 |b| 3.(2) c ( 2，2) ， |c| 4. ac， a·c 0.7/107/10 b·c|b|c|cos |b| ×4× 4， |b| 2. cmanb， c2ma·cnb·c， 16n×( 4) ， n 4.在 cmanb 两边同乘以 a，得 08m4a·b.在 cmanb 两边同乘以 b，得 ma·b 12.由，得 m±， a·b± 2， cos ±， 或 . 规律方法 1. 解决

13、向量模的问题常用的策略(1) 应用公式： |a| ( 其中 a(x ，y) (2) 应用三角形或平行四边形法则(3) 应用向量不等式 |a| |b| |a ±b| |a| |b|.(4) 研究模的平方 |a ±b|2 (a ±b)2.2求向量的夹角设非零向量 a(x1 ，y1) ，b(x2 ，y2) ，两向量夹角 (0 )的余弦cos .跟踪训练3已知向量a(1,2)，b( 2， 4) ，|c|，若 (c b) ·a，则a 与c的夹角为()A30°B60°C120°D150°C a ·b 10，则 (c

14、b) ·ac·ab·ac·a 10，所以 c·a，设 a 与 c 的夹角为 ，则 cos ，又【2019最新】精选高中数学第二章平面向量阶段复习课第课平面向量学案新人教版必修0 °， 180° ，所以 120°.平面向量在平面几何和物理中的应用(1) 用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2-4所示，已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是_图 2-4(2) 如图 2-5 所示，在正方形 ABCD中， P 为对角线AC上任一点， PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接 DP，E

15、F，求证： DPEF. 【导学号：84352279】图 2-5(1)10 N 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N(2) 证明：法一：( 基向量法 ) 设正方形 ABCD的边长为 1，AEa(0 a1) ，则 EPAEa，PFEB1 a，APa，· ( ) ·( ) ···· PF1×a×cos 180 ° 1×(1 a) ×cos 90 ° a×a×cos 45 °a&#

16、215;(1 a) ×cos 45 ° aa2a(1 a) 0，即 DPEF.法二： ( 坐标法 ) 设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x ，x) ，则 D(0,1) ，E(x,0) ，F(1，x) ，所以 (x ，x1) ， (1 x，x) ，由· x(1 x) x(x 1) 0，所以，即 DPEF. 规律方法 平面向量两个方面的应用9/109/10(1) 平面几何应用向量几何问题共线向量点共线问题、直线与直线平行数乘向量求线段长度之比数量积线段的长度、直线与直线的夹角(2) 物理应用：速度、位移、力、功 跟踪训练 4已知点 O，N，P 在 ABC所在平面内，且 | | |