数列的概念与简单表示考点与提醒归纳

1、数列的概念与简单表示考点与提醒归纳、根底知识1. 数列的概念数列中的每一个数叫做这个数列(1) 数列的定义：根据一定顺序排列的一列数称为数列, 的项.N*(或它的有限子集数列与函数的关系：从函数观点看,数列可以看成以正整数集1,2 ,n)为定义域的函数 an= f(n)当自变量根据从小到大的顺序依次取值时所对应的一 列函数值.数列是一种特殊的函数, 在研究数列问题时, 既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性(3)数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.2. 数列的分类有限数列：项数有限个；根据项数有限和无限分：无限数列：项数无限个；(2)按单调性来分：递增数列：an +

2、1 >an,递减数列：an+1 <an,常数列：an+ 1 = an = C常数, 摆动数列.3. 数列的两种常用的表示方法(1) 通项公式：如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.1并不是所有的数列都有通项公式；2同一个数列的通项公式在形式上未必唯一递推公式：如果数列 an的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任 一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.通项公式和递推公式的异冋点不同点相同点通项公式可根据某项的序号 n的值,直接代入求出 an都可确定一个数列

3、,也都可求递推公式可根据第一项或前几项的值,通过一次或多次赋值,逐项求出数列的项,直至求出所需的an出数列的任意一项二、常用结论Si, n= 1,(1)假设数列an的前n项和为Sn,通项公式为an,那么an =*3 3-i, n?2, n N .an> an 1,anW an 1,在数列 an中,假设an最大,贝y右an最小,那么an?an+1.anW an+ 1.考点一由an与Sn的关系求通项an典例(1)(2021广州二模)Sn为数列an的前n项和,且log2(Sn +1) = n + 1,那么数 列an的通项公式为.(2) (2021全国卷I改编)记3为数列an的前n项和.假设Sn

4、= 2an+ 1,贝U an =.解析由 lOg2(Sn+ 1) = n+ 1,得 Sn+ 1= 2n+ 1,当 n = 1 时,a1 = S1 = 3;当 n?2 时,an= Sn Sn 1 = 2n,3, n= 1,所以数列an的通项公式为an=2n, n?2.(2) $ = 2an+ 1,当 n?2 时,Sn1 = 2an 1+ 1, 'an= Sn Sn 1 = 2an 2an 1 ,即 卩 an = 2an 1.当 n = 1 时,a1= S1= 2a1 + 1,得 a1 = 1.数列an是首项a1为一1,公比q为2的等比数列,an= 1X 2n1= 2n 1.3, n=1,

5、答案(1)an= n n?2(2) 2n 12 , n?2解题技法1. Sn求an的3个步骤(1)先利用ai = Si求出ai;用n 1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an= Sn Sn-i(n>2)便可求出当时an的表达式；(3) 注意检验n= 1时的表达式是否可以与n > 2的表达式合并.2. Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.(1) 利用an= Sn Sn-1(n?2)转化为只含Sn, Sn-1的关系式,再求解.(2) 利用Sn Sn-1 = an(n?2)转化为只含an, an-1的关系式,再求解.题组练习1设数列an的前n

6、项和为Sn,且Sn = 2(昂-1)(n N*),那么an=()A . 2nB. 2n- 1C. 2nD. 2n- 1解析：选 C 当 n= 1 时,a1 = S1 = 2(a1 1),可得 a1 = 2,当 n?2 时,an= Sn Sn- 1 = 2an 2an-1 , '3n= 2an 1 ,数列an为首项为2,公比为2的等比数列,'an= 2n.2.设数列an满足 a1+ 3a2+ (2n 1)an= 2n,贝U an=.解析：由于 a1 + 3a2+ (2n 1)an= 2n,故当 n?2 时,a1 + 3a2+ + (2n 3)an-1 = 2(n 1).两式相减得

7、(2n 1)an= 2,所以an=(n?2).2n 1又由题设可得a1 = 2,满足上式,2从而an的通项公式为an=2n 1答案：22n 1考点二由递推关系式求数列的通项公式典例 设数列an满足ai = 1,且an+1= an+ n+1(n N*),那么数列an的通项公式为n 1在数列an中,ai= 1 , an =aan-i(n?2),那么数列an的通项公式为数列an满足a1= 1 ,an+1= 3an+ 2,那么数列an的通项公式为 解析(1)累加法由题意得 a2= a1 + 2, a3= a2+ 3,an= an-1 + n(n?2),以上各式相加,得 an= a1 + 2 + 3+

8、n.又.a1 = 1,n2+ n an= 1 + 2+ 3 + n=(n > 2).2.当n= 1时也满足上式, an=.三一(n N*).(2)累乘法n 1/an= n an 1(n?2),n 2n 31 'an 1 =an 2, an 2=an 3 ,a2= a1.n-1n 22以上(n 一 1)个式子相乘得1 2an= a1 2 3 n 1a11 . n n n.当n = 1时,a1= 1,上式也成立.1厂*-an= (n N ).n''(3) 构造法-.'an+1 = 3an+ 2,.an +1 + 1 = 3(an + 1),an+1+ 1 =

9、3, an+ 1数列an+ 1为等比数列,公比q= 3,又a1 + 1= 2,.'an+ 1 = 2 3-1,an= 2 31 1(n N*).2 +答案(1)an= (n N*) (2)an= jn N*)(3)an= 2 31 1(n N*)解题技法1. 正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为an+1 = an+ f(n)的数列,通常采用累加法 (逐差相加法)求其通项公式.对于递推关系式可转化为an-1= f(n)的数列,并且容易求数列f(n)前n项的积时,采an用累乘法求数列an的通项公式.对于递推关系式形如an+1 = pan + q(p丰0,1,0)的数列,

10、采用构造法求数列的通项.2. 防止2种失误a 2(1) 利用累乘法,易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到0?漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后,不注意检验 a1是否成立.(2) 利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式.题组练习11. 累加法 设数列 an满足a1 = 3, an+1 = an +,那么通项公式 an =n n+ 111解析：原递推公式可化为 an+1 = an + - 1 1,an 1 = an 2 + 一 , an= ann2 n 11 丄1an= a1+ 1 n,故 an= 4 n.n n+1 1 1 1 1 1 1 那

11、么 a2= a1 +1 一 2,a3= a2 + ?一 3,a4= a3+ 3一4,-1+丄 一 n以上(n 1)个式子的等号两端分别相加得, n 1答案:41n解析：由 an+ 1 = 2nan,得=2n2),an 1an an 1 an=an 1 an 22. 累乘法 设数列 an满足a1 = 1, an+1 = 2nan,那么通项公式an =.所以n n 1 a1= 2n1 2一2 2 =11 + 2+3+(n1) = 27" a12n n 1又a1= 1适合上式,故an= 2 2答案：223. 构造法 在数列an中,ai= 3,且点Pn(an, an+1)(n N*)在直线4

12、x y+ 1 = 0上,那么数列an的通项公式为解析：由于点 Pn(an, an+1)(n N*)在直线 4x y+ 1 = 0上,所以 4an an+1 +1 = 0,即 an1 10a1 + 3=寸,公比为4的等比数列,1 1 1 、+1 = 4an+ 1,得 an+1 + 3 = 4 an+ 3,所以 an + 3 是首项为 所以an + 3 =罟心2a5 1 = 5,故an=晋上1 1答案:10an= 3考点三数列的性质及应用考法(一)数列的周期性13a1 = 5,那么数列的第2 019项为2an, Ow anW ?,典例数列 an满足an +1 =12an 1 , 2<an&l

13、t;1 ,解析3由于 a1 = 5,故 32= 2a11 2 一1 =, a3= 2a2= , a4= 2a3 = ：, a5= 2a4 1 =55535,a6 =2a7= 2a6= 5,故数列an是周期数列且周期为4,故a2 019= a504x4+ 3 = a3 = |.2答案2考法(二)数列的单调性(最值)典例(1)(2021百校联盟联考)数列an满足2Sn= 4an 1,当n N*时,(log 2an)2+ N0g2an是递增数列,那么实数入的取值范围是 (2)数列an的通项公式为an= (n+ 2) £ n,那么当an取得最大值时,n =.解析(1) .2Sn= 4an 1

14、,2S1 = 4an 1 1(n?2),两式相减可得 2an = 4an 4an1 (n?2),'an= 2an 1 (n > 2).1又 2a1 = 4a1 1 ,.a1 = ?,数列an是公比为2的等比数列, an= 2n 2设 bn= (Iog2an)2+ ?log2an= (n - 2)2+ n 2),'(log 2an)2+ Nogzan是递增数列,'bn+ i bn = 2n 3 + ?>0 恒成立,?>3 2n恒成立,''(3 2n) max= 1 , >1 ,故实数入的取值范围是(1 ,+).an?an1 ,(2)

15、当an取得最大值时,有an?an+ 1 ,7 -7 -.n+ 2n>8n+ 1n 18 ,nW 6,7n>87 n + 18 ,解得n+ 2n+ 3n?5,当an取得最大值时,n = 5或6.答案(1)(1 ,+ )(2)5 或 6解题技法1. 解决数列的单调性问题的3种方法2. 解决数列周期性问题的方法先根据条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.题组练习1 .设数列an,an= b牛,其中a,nb+ cb, c均为正数,那么此数列A 递增C.先增后减B .递减D 先减后增na aa解析：选 A 由于 an=,而函数 f(x) ="(a>0, b&

16、gt;0, c>0)在(0, +)上bn+ c b + Cb + -nx是增函数,故数列an是递增数列.112.数列an满足 an+1=,假设 a1 =,贝U a2 019=()I an2A . 1C. 111 1解析：选 A 由 ai = , an+1= ,得 a2= 2,21 an1 a11 1 1 1a3 = 1, a4= «,a5= 2,1 a21 a321 a4于是可知数列an是以3为周期的周期数列,因此a2 019 = a3x 673= a3= 1.课时跟踪检测A级1. 2021郑州模拟数列1 , .3,. 5, .7,2n 1,假设3.5是这个数列的第n 项,那么

17、n =A. 20B. 21C. 22D. 23解析：选 D 由“ 2n 1 = 3 5= 45,得 2n 1 = 45,即 2n=46,解得 n = 23,应选 D.1 1 1 12. 2021福建四校联考假设数列的前4项分别是,一- , 1, 5,那么此数列的一个通项公式为()1 n+1A.-n + 11 nB. n + 11 nC. n1 n1D. n1 1 1 1解析：选a 由于数列的前4项分别是, 3 1n+1负数,第n项的绝对值等于 二,故此数列的一个通项公式为应选A.n十 1n +13. 2021 莆田诊断数列an中,a1= 1, a2= 2, an+1 = an+ an+ 2n

18、N*,贝U a5 的值为A . 2B . 1C. 1D. 2解析： 选 A 由题意可得, an+ 2= an+1 an,贝y a3= a2 a1= 2 1 = 1, a4= a3 a2= 1 2= 1, a5= a4 a3= 1 1 = 2.应选 A.4. 数列an的前 n 项和 Sn= 2n23n(n N*),假设 p q= 5,贝U ap aq=()A . 10B. 15, 5,可得奇数项为正数,偶数项为C. 5D. 20解析：选 D 当 n?2 时,an = 3 3-1= 2n2-3n 2(n- 1)2-3(n- 1) = 4n- 5,当 n =1 时,a1= S1 = - 1,符合上式

19、,所以 an= 4n-5,所以 ap- aq= 4(p- q)= 20.5.设数列an的通项公式为an = n2- bn,假设数列an是单调递增数列,那么实数b的取值范围为A.(汽一1B. ( 3 2C. (-, 3)D. -m, 9解析：选C 由于数列 an是单调递增数列,所以 an+1- an= 2n + 1 b>0(n N*),所以 b<2n + 1(n N*),所以 b<(2n+ 1)min = 3,即 b<3.1 an +1*6假设数列an满足2三石-w 2n N,那么称an是“紧密数列 假设an (n = 1,2,3,4)是“紧密数列,且3a1 = 1, a

20、2 = 2 a3= x,a4= 4,那么x的取值范围为A. 1,3)B. 1,3C. 2,3D. 2,3)解析：选C1 xw w 2,2 3'依题意可得21 4w w 2,2 x '解得2< xw 3,故x的取值范围为2,3.7.数列an的前 n项和 Sn= n2+ 2n+ 1(n N ),贝y an=解析：当 n > 2 时,an= Sn- Si-1 = 2n + 1,当 n = 1 时,a1= S1 = 4工 2X 1+ 1,4, n= 1,因此an =答案：4, n=1,2n + 1, n?22n + 1, n?2.&数列3.5.7.9. m+ n2

21、,4 , 6 , m- n10',根据前3项给出的规律,实数对(m,n)为m n= 8,19 m= 2 ,解析：由数列的前3项的规律可知解得故实数对(m, n)为m+ n= 11,3 n= 219 3 2,2 .答案：19 3T, 29. 数列an的前 n 项和为 Sn,假设 Sn+ Sn-1 = 2n- 1(n?2, n N*),且 S2= 3,贝U ai + a3 的值为.解析： S + Sn 1 = 2n 1(n?2),令 n = 2,得 S2+ Si = 3,由 S2= 3 得 ai = Si = 0,令 n = 3,得 S3 + S2= 5,所以 S3= 2,贝H a3= S

22、3 S2=- 1,所以 a1 + a3 = 0 + ( 1) = 1.答案：110. 数列an满足an= (n为2n( n N*),假设an是递增数列,那么实数入的取值范围为.解析：由于an= (n为2n(n N*)且数列 an是递增数列,所以an+1 an = 2n(n + 2力0 , 所以n+ 2 40,贝U Xn+2又n N*,所以X3,因此实数 入的取值范围为(一, 3).答案：( R, 3)11. (2021衡阳四校联考)数列an满足a1 = 3, an+1 = 4an + 3.(1)写出该数列的前4项,并归纳出数列an的通项公式；an+1 + 1 证实："on+r=4.解

23、：(1)a1= 3, a2= 15, a3= 63, a4= 255.由于 a1 = 41 1, a2= 42 1, a3 = 43 1, a4= 44 1,所以归纳得an= 4n 1.an+1+ 1 4an+ 3+ 1 4 an+ 1(2)证实：由于 an+ 1= 4an+ 3, 所以=4.an+ 1an+ 1an + 112. 数列an的通项公式是an= n2 + kn+ 4.(1)假设k= 5,那么数列中有多少项是负数？n为何值时,an有最小值？并求出最小值;(2)对于n N*,都有an+i>an,求实数k的取值范围.解：(1)由 n2 5n + 4<0,解得 1<n<4.由于n N*,所以n= 2,3,所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.25 29由于 an= n 5n + 4= n 一4,由二次函数性质,得当n= 2或n = 3时,an有最小值,其最小值为a2= a3= 2.(2)由an+ i>an,知该数列是一个递增数列,又由于通项公式 an= n2+ kn+ 4,可以看作是*k 3