周期信号的傅立叶级数表示ppt课件

1、第3章周期信号的傅立叶级数表示本章在讨论复指数信号作为LTI系统特征函数的根底上，引出了时域周期信号可以看作复指数谐波信号的线性组合，即周期信号的频域分析傅立叶级数，给出了周期信号的频谱图表示方法，它与周期信号的时域波形表示是一一对应的。周期信号的傅立叶级数表示是后续展开对非周期信号频域分析的根底。本章内容：LTI系统的特征函数与特征值；周期信号的傅立叶级数表示；周期性矩形脉冲信号的频谱；傅立叶级数的性质；LTI系统对周期信号的呼应。3.1 历史回想1822年,法国科学家傅立叶在研讨热传导实际时发表了热的分析实际,提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理,奠定了傅立叶级数的实际根底.泊松，高

2、斯等人把这一成果运用到电学中去，得到广泛运用进入世纪以后，谐振电路，滤波器，正弦振荡器等一系列详细问题的处理为正弦函数与傅立叶分析的进一步运用开辟了宽广的前景在通讯与控制系统的实际研讨和工程实践运用中，傅立叶变换法具有很多的优点快速傅立叶变换为傅立叶分析法赋予了新的生命力3.2 LTI系统对复指数信号的呼应假设一个LTI系统的单位冲激呼应或单位脉冲呼应是)(nh或)(th，当系统的输入是复指数信号nZ或ste，那么由时域卷积系统的输出是：可得( )( )sty tHs e()( )ny nHz Z其中：( )H s是单位冲激呼应ste和 的积分( )H z也是单位脉冲呼应和特征函数的求和信号的

3、分解( )ks tKkx tA e( )nkKkx nA Z根据系统的线性特性，那么系统的输出( )()ks tkKky tH sA e( )()nkKKky nH zA Z复指数信号是独一能成为一切LTI系统的特征函数的信号， 与之对应的特征值。( )H s( )H z对于时域的任何一个信号或者，假设能表示成为以下方式：由于：利用系统的齐次性和叠加性那么：同理：这就是周期信号进展频域分解的根本出发点。3.3延续时间周期信号的傅立叶级数表示3.3.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合0( )jtKkx tA e002T该信号集中有无穷多个谐波分量，其中每个信号分量都是以为周期的，其公共周期为且

4、该集合中一切信号都是彼此独立的。上式就是的傅里叶级数，这阐明用傅里叶级数可以表示延续时间周期信号。即：延续时间周期信号可以分解成无数多个谐波分量。普通来说，周期信号都可以表示为：例：在这一信号中有四个谐波分量，。在傅里叶级数中，各个信号分量谐波分量间的区别也仅仅是幅度可以是复数和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，线段的位置表示相应的频率。3.3.2 延续时间周期信号傅立叶级数表示确实定当一个给定的信号能表示成级数的方式,就需求一种方法来确定系数.假设0( )jktkkx ta e0001( )jktkTax t edtT系数往往称为频谱系数，是对信号中的每一个谐波分量的大小作

5、出的度量。ka假设周期信号可以表示为傅里叶级数：那么：两边同时在一个周期内积分，有所以：在确定上述积分时，只需积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为：为傅立叶级数的系数或频谱系数，由于它是对信号中的每一个谐波分量的大小作出的度量。即是信号在一个周期内的平均值，也就是信号的直流分量。针对不同的信号，其不一样，那么频谱图不同.频谱图绘出了信号的频谱特性，如信号由那些谐波分量构成；分量的大小，分布等信息。它与信号的时域波形表示二者是等价的。例例 ： ),306cos(8 . 0)453cos(4 . 0)202cos(2)10cos(31)(tttttf试画出f(t)的振

6、幅谱和相位谱。 解解 f(t)为周期信号，题中所给的为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为表达式可视为f(t)的傅里的傅里叶级数展开式。据叶级数展开式。据 10)cos(2)(nnntnAAtf可知，其基波频率=(rad/s)，根本周期T=2s，=2、3、6分别为二、三、六次谐波频率。且有8 . 04 . 063AA304563其他0nA2321AA120A20100211图图 ：信号的频谱：信号的频谱振幅谱；振幅谱； (b) 相位谱相位谱 Ano23456(a)321 no23456(b)15304510204530320.40.8图信号的双边频谱(a)振幅谱；(b)相位谱|Fn|o23

7、456(a)121.510.20.41.510.20.43456 no234561530451020453015304510204530234562(b)3.4 傅立叶级数的收敛假设周期信号是它在一个周期内的能量有限信号，那么所求到的诸系数是有限值ka( )x t也就是说当在一个周期内具有有限能量就保证收敛( )x t狄里赫利条件：在任何周期内，( )x t必需绝对可积在恣意有限区间内，具有有限个起伏变化( )x t在任何有限区间内，只需有限个不延续点，而且在这些不延续点上，函数是有限值( )x t傅立叶级数收敛的条件：延续周期信号的傅立叶级数表达式是一个无穷级数，其收敛条件有两组。A 在一个

8、周期内平方可积。B 满足狄里赫利条件。( )x t3.5 延续时间傅里叶级数的性质 这些性质的学习，有助于对概念的了解对信号的傅里叶级数展开。 1、线性 假设 、 都是以T为周期的信号，且： 那么：2、时移3、反转 推论：假设 为偶函数，即 ，那么 ； 假设 为奇函数，那么 ； 4、尺度变换 ， 以T为周期，对 ，假设 ，那么 以 为周期，假设其傅里叶系数为 ，那么： 令 ，当 在 变化时， 从 变化，于是： 虽然傅里叶级数的系数没变，但基波频率变化了。5、相乘 ， 均以T为周期, ,那么： 3.6离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间周期信号的傅里叶级数表示一、离散时间傅里叶级数DFS 成

9、谐波关系的复指数信号集如下: 该信号集中每一个信号都以N为周期，且该集合中只需N个信号是彼此独立的。 将这N个独立的信号线性组合起来，一定能表示一个以N为周期的序列。即： 其中k为N个相连的整数。这一表达式就称为离散时间傅里叶级数DFS，其中 也称为周期信号 的频谱。 二、傅里叶级数系数确实定 由 两边同乘以 ，得 显然 仍是以 N 为周期的，两边对n在一个周期内求和：而： 即： 或 显然上式满足 ，即 也是以N为周期的，或者说 中只需N个是独立的。 对实信号同样有： 。 三、DFS的收敛 DFS是一个有限项的级数，确定 的关系式也是有限项的和式，因此不存在收敛问题 。3.7DFS的性质的性质

10、一、相乘假设 、 都是以N为周期的信号，且： 那么 周期卷积 二、差分三、Passival定理上式阐明：一个周期信号的平均功率等于它的一切的谐波分量的平均功率之和。 3.8傅里叶级数与傅里叶级数与LTI系统系统系统的频率呼应系统的频率呼应LTI系统对复指数信号所产生的作用只是给输入信号加权一个相应的特征值。 对延续时间系统： 对离散时间系统： 称 、 为系统的系统函数。 假设 有 称为延续时间LTI系统的频率呼应。 假设 那么 称为离散时间LTI系统的频率呼应。 对 而言，以 为周期。假设一个LTI系统输入周期性信号 或 ，由于 根据LTI系统对复指数信号的呼应及系统的线性特性，那么有： 例：关于某一序列给出如下的条件，确定