双曲线的简单几何性质

1、双曲线的几何性质2.2.2 .,研研究究它它的的几几何何性性质质据据双双曲曲线线的的标标准准方方程程我我们们根根究究方方法法类类比比椭椭圆圆几几何何性性质质的的研研10012222 babyax ?,如如何何研研究究这这些些性性质质的的哪哪些些性性质质为为应应研研究究双双曲曲线线你你认认究究类类比比椭椭圆圆几几何何性性质质的的研研思思考考0012222 babyax范围范围11A2AO1F2F2B1Bxy622 .图图.,的方程求出它的范围的方程求出它的范围下面利用双曲线下面利用双曲线的区域内的区域内表示表示与与不等式不等式可以看出它在可以看出它在观察双曲线观察双曲线axax ,222211b

2、yax 化为将方程 .,axaxaxaxyx 或所以即都适合双曲线上点的坐标于是22221这说明双曲线在不这说明双曲线在不.所表示的区域内所表示的区域内与与等式等式axax 1A2AO1F2F2B1Bxy622 .图图对称性对称性2 .,.,中中心心原原点点是是双双曲曲线线的的对对称称称称轴轴双双曲曲线线的的对对是是轴轴标标坐坐时时这这轴轴和和原原点点都都是是对对称称的的轴轴、双双曲曲线线关关于于容容易易得得到到对对称称性性的的方方法法类类比比研研究究椭椭圆圆yxbabyax012222 双双曲曲线线的的对对称称中中心心叫叫做做 双双曲曲线线的的中中心心1A2AO1F2F2B1Bxy622 .

3、图图顶点顶点3 它们叫做它们叫做个交点个交点有两有两轴轴它的对称它的对称和和线线所以双曲所以双曲轴轴对称对称的的线线轴是双曲轴是双曲因为因为轴有两个交点轴有两个交点因此双曲线与因此双曲线与得得令令里里在方程在方程,.,xaAaAxaxy000121 .双曲线的顶点双曲线的顶点1A2AO1F2F2B1Bxy622 .图图 .,6220002122 图图轴上轴上画在画在们也把们也把但我但我轴没有交点轴没有交点曲线和曲线和说明双说明双方程没有实数根方程没有实数根这个这个得得令令ybBbBybyx叫做叫做线段线段21AA,双曲线的实轴双曲线的实轴;, 叫做双曲线的半实轴长叫做双曲线的半实轴长它的长等于

4、它的长等于aa2叫做叫做线段线段21BB,双曲线的虚轴双曲线的虚轴 它的长等于它的长等于., 叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长bb2渐近线渐近线4信息技术应用信息技术应用722 .图图1A2AO1F2F2B1Bxy .,07222121 byaxbyxBBaxyAA直线的方程是直线的方程是所在的所在的矩形的两条对角线矩形的两条对角线图图线围成一个矩形线围成一个矩形四条直四条直轴的平行线轴的平行线作作经过经过行线行线轴的平轴的平作作经过经过如图如图由几何画板实验可以看由几何画板实验可以看与这两与这两的各支向处延伸时的各支向处延伸时双曲线双曲线到到,12222 byax我们把这两条直线叫做

5、我们把这两条直线叫做条直线逐渐接近条直线逐渐接近,.双曲线的渐近线双曲线的渐近线双曲线与它的双曲线与它的也就是说也就是说,.,但永远不相交但永远不相交渐近线无限接近渐近线无限接近离心率离心率5.,.,10 aceacac曲线的离心率曲线的离心率所以双所以双因为因为叫做叫做的比的比双曲线的焦距与实轴长双曲线的焦距与实轴长与椭圆类似与椭圆类似双曲线的离心率双曲线的离心率?,线的什么几何特征线的什么几何特征曲线的离心率刻画双曲曲线的离心率刻画双曲双双扁平程度扁平程度离心率可以刻画椭圆的离心率可以刻画椭圆的思考思考.,变化与离心率的关系变化与离心率的关系在动态中观察图形的在动态中观察图形的操作打开的几

6、何画板操作打开的几何画板.方程方程、离心率、渐近线、离心率、渐近线和虚半轴长、焦点坐标和虚半轴长、焦点坐标的实半轴长的实半轴长求双曲线求双曲线例例144169322 xy. 134144169222222 xyxy化为标准方程把方程解,4 a实半轴长由此可知,;53433222 bacb虚半轴长 ;,455050 ace离心率焦点坐标是. xy34 渐近线方程为 . )(,.,).(,mmmmm15525131218224到到精确精确此双曲线方程此双曲线方程求出求出适当的坐标系适当的坐标系试选择试选择高高为为下口半径下口半径径为径为上口半上口半为为径径半半它的最小它的最小图图旋转所成的曲面旋转

7、所成的曲面虚轴虚轴其其部分绕部分绕的一的一是双曲线是双曲线塔的外形塔的外形双曲线型冷却双曲线型冷却例例 8221 .图图AABBCCxy 8222 .图图131225O .| ,|,.,.2252132822 BBCCxBBCCxAAxOy且轴都平行于上、下口的直径这时重合圆心与原点轴上在径使小圆的直角坐标系建立直如图解 ,0012222 babyax设双曲线的方程为 .,5525 yB的坐标为则点 , yC13的坐标为令点所以在双曲线上因为点,CBAABBCCxy 8222 .图图131225O 2112131155122522222222., byby ,负值舍去得由方程1252by .,

8、25018150275191551251225122222 bbbbb用计算器解得化简得得代入方程.,162514422 yx所求双曲线的方程为所以 .,:,的的轨轨迹迹求求点点的的距距离离的的比比是是常常数数的的距距离离和和它它到到直直线线到到定定点点点点例例MxlFyxM45516055 .45516522 xyx由此得.,形成轨迹过程形成轨迹过程观察动点观察动点操作打开的几何画板操作打开的几何画板MHFxyMOd922 .图图,|, 45dMFMPlMd集合所求轨迹就是的距离到到直线是点设解.,19161441692222 yxyx即得并化简将上式两边平方 .,92268 图的双曲线、分

9、别为是实轴、虚轴长的轨迹点所以MHFxyMOd922 .图图1图图1A2AO1F2F2B1BxyMQNba探探究究与与发发现现的渐近线的渐近线是双曲线是双曲线为什么为什么12222 byaxxaby.,内部分进行证明限第一象在先取双曲线如图112222 byax .axaxaby 22这一部分的方程可写为 .,xabYMxabyYxNyxM 则有相同横坐标的点与上是直线是它上面的点设1图图1A2AO1F2F2B1BxyMQNba,Yxabxaxabaxaby 2221因为 22axxabyYMN |所以 .22222222axxabaxxaxxaxxab . |,|MNMQxabyMMQ 则的距离到直线是点设.| ,|,| ,也无限接近于零无限接近于零无限增大逐渐减小逐渐增大时当M