傅里叶系数的推导

1、傅里叶级数的数学推导时间：2021.02.09创作人：欧阳历但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率 论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应 用，这不由得让人肃然起敬。一打开信号与系统、锁相坏原理等书籍，动不动就跳出一个傅里叶级数或 傅里叶变换7弄一长串公式，让人云山雾罩。如下就是傅里叶级数的公式：不客气地说，这个公式可以说是像奧婆娘的裹脚布T臭 又长7而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光 乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东 西。单看那个式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数 系数aO、及1倍3的sin和cos函数、2倍3的sin和cos 函数等、到

2、n倍3的sin和cos函数等一系列式子的和， 且每项都有不同的系数，即An和Bn,至于这些系数，需要 用积分来解得，即式，不过为了积分方便，积分区 间一般设为ii,也相当一个周期T的宽度。能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来 得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下而来详细解 释一下此公式的得出过程：1、把一个周期函数表示成三角级数:首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：f（x）=A sin（ot+<|/>这里t表示时间，A表示振幅，3为角频率，屮为初相 （与考察时设置原点位置有关

3、）。然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单， 如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函 数An sin（n（4+i|j）之和来表示那个较复杂的周期函数f（t） 呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于 是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想）f（f） =抽（刃曲十信）这里，I是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n,且n从1到无穷大。这里f（t）是已知函数，也就是需要 分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正 弦函数有着不同的幅度分量(即式中An)、有不同的周期 或说是频

4、率(是原周期函数的整数倍，即n)、有不同的初 相角(即屮)，当然还有一项常数项(即AO) o要命的 是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人 不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示 式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最 简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个 式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数， 如AO、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以 成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那 么只需用已知函数f(t)来表达岀各项系数，上式就可以成 立，也能计算了。于是乎，傅里

5、叶首先对式5作如下变形：4 sin(n(a +() = An sin(pn cos(z?zat)+An cos % sin(ji(0i) 这个变换并不陌生，源自于三角公式：sin(a ±fi) = sin cos “士 cos sin 0式中，蓝色项切sin他和加cos他均先常数，写作4二儿血厲女=舛cos%且令賞=竝这样，公式5就可以写成如下公式6的形式:这个公式6就是通常形式的三角级数，接下来的任务 就是要把各项系数an和bn及aO用已知函数f( t )来表达出 来。2、三角函数的正交性：这是为下一步傅里叶级数展开时所用积分的准备知 识。一个三角函数系：1, cosx , sin

6、x , cos2x , sin2x，cosnx , sinnx，如果这一堆函数(包括常 数1)中任何两个不同函数的乘积在区间兀it上的积分 等于零，就说三角函数系在区间兀ir上正交，即有如下 式子：以上各式在区间兀两的定积分均为0,第1第2式 可视为三角函数cos和sin与1相乘的积分；第3-5式则 为sin和cos的不同组合相乘的积分式。除了这5个式子 外，不可能再有其他的组合了。注意，第4第5两个式 中，k不能等于n,否则就不属于兰角函数系中任意两个不 同函数'的定义了，变成同一函数的平方了。但第3式中，k 与n可以相等，相等时也是二个不同函数。下面通过计算 第4式的定积分来验证其

7、正确性，第4式中二函数相乘可 以写成：cos 抵 cos mdx = cos( + n)x + cos(/r 一 ) 2这个就是三角公式中的“积化和差”当kn时，有：JJ cos kx - cos m(h =丄 匚 cos(玄 + ri)x + cos(R ri)xdx " 2 "lrsin( + K)% sin(_ mY=io+ 0 = 0可见在指定1T, IT的区间里，该式的定积分为0。其 他式也可逐一验证。3、函数展开成傅里叶级数：先把傅里叶级数表示为下式，即式：对式从TT, IT积分，得：这就求得了第一个系数aO的表达式，即最上边傅里叶 级数公式里的式。接下来再求a

8、n和bn的表达式。用 cos(kot)乘式的二边得：至此，已经求得傅里叶级数中各系数的表达式，只要 这些积分都存在，那么式等号右侧所表示的傅里叶级数 就能用来表达原函数f(t)o上述过程就是整个傅里叶级数 的推导过程。事实上，如果能够写出式，不难求出各个 系数的表达式，关键是人们不会想到一个周期函数竟然可 以用一些简单的正弦或余弦函数来表达，且这个表达式是 一个无穷级数。这当然就是数学家傅里叶的天才之作了, 我等只有拼命理解的份了。综上，傅里叶级数的产生过程可以分为以下三步：1、设想可以把一个周期函数f（t）通过最简单的一系列正弦函数来表示，即5式;2、通过变形后用三角级数（含sin和cos）来表示;3、通过积分，把各未知系数用f（t）的积分式来表达;4、最后得到的4个表达式就是傅里叶级数公式。在电子学中，傅里叶级数是一种频域分析工具，可以 理解成一种复杂的周期波分解成直