分式方程培优讲义

1、分式方一、含有参数方程假设关于x的分式方程"'的解为非负数,贝U a的取值范围是x-222.分式方程i=1- 的根为x(x+l) x+13.假设数a使关于x的分式方程亠+=4的解为正数,且使关于y的不等式组x-11-x*32 的解集为y v- 2,那么符合条件的所有整数a的和为2(y-a)<0、方程无解2.3.假设关于x的方程:=-1无解,那么m的值是x-3假设=0无解,x-4 4-k 假设关于x的分式方程x-2那么m的值是" 无解,求a=广-5計6三、有增根1、2、3、4、亘-二=1时出现增根,那么m的值为x-22-x关于x的分式方程丄-旦有增根,那么增根为

2、 .X-l X-1假设关于x的方程丄亠有增根,那么m的值是.x-2k-2解关于x的方程+,:=产生增根,那么常数a=x-2 x2_4x+2如果解关于x的分式方程2、3.四、整体代入解方程在方程x2+2x+=3中,如果设y=x2+2x,那么原方程可化为关于 yx +2x的整式方程是.用换元法解方程三-2?H +1=0时应设y=.2x+l x-2如果实数x满足(x+)2 -(x+)- 2=0,那么x+的值是四、实际问题1.某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫假设干件,很快售完；该店又用 14700元钱购进第二批这种衬衫,所进件数比第一批多 价比第一批每件衬衫的进价多 购进x件衬衫,那么所列

3、方程为A Ci - 10二一丨!ii；、|：40%每件衬衫的进 10元,求第一批购进多少件衬衫？设第一批)10000 +10= 14700.(1+4 霸)況 +10= ' 1 11.U二丄C _ 10000_ 10_1 鉀002艘轮船在静水中的最大航速为 35km/h,它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间,与以最大航速逆流航行90km所用时间相等设江水的流速为vkm/h,那么可列方程为A 120 =9. B 120 二 9Q C 120 二 9Q D 1 如=90 v+35 ¥-3535r 35+vv-35 v+3535+v 35r3 .甲、乙二人做某种机械零件,甲每

4、小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等.设甲每小时做 x个零件,下面所列方程正确的 是 A 90 _ 60 B 9060 C 9060 D 9060x x-6x x+6x-6 xx+6 x4. 2021年,在创立文明城市的进程中,乌鲁木齐市为美化城市环境,方案种植 树木30万棵,由于志愿者的参加,实际每天植树比原方案多20%结果提前5 天完成任务,设原方案每天植树 x万棵,可列方程是A=5 T (1+20%)Xc.+5二20%k x_ =5门：=5'1+20% x5.西宁市创立全国文明城市已经进入倒计时！垃圾,调用甲车3小时只清理了一半垃圾,为了加快进度,再调用

5、乙车,两车 合作1.2小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时,根据题意可列出方程为A. I 十'=16 x某环卫公司为清理卫生死角内的C丨.十=丨.一【同步练习】1 .如果关于x的不等式组匚2的解集为x> 1,且关于x的分式方程：十.=3有非负整数解,那么符合条件的m的所有值的和是A.- 2 B . 4 C . 7 D . 82.从-2、- 1、0、2、5这一个数中,随机抽取一个数记为 m假设数m使关于x的不等式组$>时 无解,且使关于x的分式方程土碍纟=-1有非负-2z-l>4nri-lx-2 2-x整数解,那么这一个数中所有满足条件的m的个数是

6、A. 1 B . 2 C . 3 D . 43.假设关于x的分式方程+3="无解,那么实数m x-1x-14 .假设关于x的分式方程二+ =3的解为正实数,贝U实数m的取值范围是x-2 2-x5.甲、乙工程队分别承接了 160米、200米的管道铺设任务,乙比甲每天 多铺设5米,甲、乙完成铺设任务的时间相同,问甲每天铺设多少米？设甲每 天铺设x米,根据题意可列出方程：6 .某市为绿化环境方案植树 2400棵,实际劳动中每天植树的数量比原方案多20%结果提前8天完成任务假设设原方案每天植树 x棵,那么根据题意可列方 程为.7.关于x的方程：x+ =c+ 的解是 Xi=c, X2J ； x

7、=C丄的解是 Xi=c, X2=K CCMC-一,贝U x+ =c+ 的解是 xi=C, X2=.ci-3c-38. 假设数a使关于x的不等式组22"有且仅有四个整数解,且使关于 yh+4>p的分式方程亠+=2有非负数解,那么所有满足条件的整数a的值之和是y-22-r A. 3 B. 1 C. 0 D . - 39. 如图,Rt ABC中, Z B=90°, AB=3cm BC=4cm 点 D在 AC上, AD=1cm 点P从点A出发,沿AB匀速运动；点Q从点C出发,沿C-B-A-C的路径匀速 运动.两点同时出发,在B点处首次相遇后,点P的运动速度每秒提升了 2cm

8、并沿B-C-A的路径匀速运动；点Q保持速度不变,并继续沿原路径匀速运动, 两点在D点处再次相遇后停止运动,设点 P原来的速度为xcm/s.1 点Q的速度为cm/s 用含x的代数式表示.2求点P原来的速度.12.定义新运算：对于任意实数a, b 其中a0,都有a?b-吐,等式右a a边是通常的加法、减法及除法运算,例如 2?3=-罕 =+ =1.2 2 2 21求-2 ?3的值；2假设x?2=1,求x的值.2021年12月02日峰尚的初中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题共14小题1. 假设关于x的分式方程：的解为非负数,贝U a的取值范围是A -WMA. a?1B. a> 1C. a?

9、1 且 a4D. a> 1 且 a4【解答】解：去分母得：2 2x- a =x - 2,解得：x=厶由题意得：二0且生工工2,33解得：a?1且a4,应选：C.2. 假设数a使关于x的分式方程丄+ '| =4的解为正数,且使关于y的不等式组x-11-1止丄>1“32 的解集为y V- 2,那么符合条件的所有整数a的和为2y-aX0A. 10 B. 12 C. 14 D. 16【解答】解：分式方程+二_=4的解为且x工1,x-1 1-x4关于x的分式方程=4的解为正数,x-11 -X A_l>0 且二工 1,44二 av 6 且 a2.得少解不等式得：yv- 2；解不等

10、式得：yw a.毕丄>1关于y的不等式组,32 的解集为yv-2,L2(y-a)<0a?一2.- 2 w a v 6且 aM 2. a为整数,-a= 2、 1、0、1、3、4、5,(2) + ( 1) +0+1+3+4+5=10 应选A.( <j_k+23 .假设数a使关于x的不等式组,2% 2X £有且仅有四个整数解,且使关于0+4的分式方程+,严有非负数解,那么所有满足条件的整数a的值之和是(【解答】解：解不等式组*2K3 心半A. 3 B. 1 C. 0 D.- 3 1却+2,可得|f x+4-a1L不等式组有且仅有四个整数解, 1w- 一亠0,7 4 v a

11、 w 3,解分式方程"+=2,可得y (a+2),y-2 2-r2又'分式方程有非负数解, y>0,且 y工2,即 1 (a+2)> 0,- (a+2)M 2,解得a> 2且aM2, 2waw3,且 am2,满足条件的整数a的值为-2, 1, 0, 1, 3, 满足条件的整数a的值之和是1.应选：B.4 分式方程=1的根为A. 1 或 3 B. 1 C . 3 D. 1 或3 【解答】解：去分母得：3=x2+x- 3x,解得：x= - 1或x=3,经检验x=- 1是增根,分式方程的根为x=3, 应选C5.如果解关于x的分式方程A.- 2 B . 2C. 4

12、D.- 4° =1时出现增根,那么m的值为2-x【解答】解:去分母,方程两边同时乘以x - 2,得：m+2x=x- 2,由分母可知,分式方程的增根可能是 2,当 x=2 时,m+4=- 2,m= 4,应选D.6 .某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫假设干件,很快售完；该店又用 14700元钱购进第二批这种衬衫,所进件数比第一批多40%每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元,求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进 衬衫,那么所列方程为A .'.' J： - 10=.葢"1+40% XC 10000 - 10=皿C 一 ：0=【解答】解：设第一批购

13、进丄工+10=葢1+4Q小.)B.D.10000+10=需(l+40«x+1o4m(1-40%) x x10000x件衬衫,那么所列方程为:应选：B .7. 一艘轮船在静水中的最大航速为 35km/h,它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间,与以最大航速逆流航行90km所用时间相等.设江水的流速为v km/h, 那么可列方程为A小二一 B"=C： = D【解答】解：设江水的流速为vkm/h,根据题意得：= ',35+v 35-v 应选：D .8.甲、乙二人做某种机械零件,甲每小时比乙多做 6个,甲做90个所用的时间 与乙60个所用的时间相等.设甲每小时做x个零

14、件,下面所列方程正确的选项是 A 90 _ 6Q B 90 _ 6Q c 90D 90x x-6葢 k+6x-6 xx+6 x【解答】解：设甲每小时做x个零件,那么乙每小时做X-6个零件,由题意得,£二一.X k-6应选A.9. 2021年,在创立文明城市的进程中,乌鲁木齐市为美化城市环境,方案种植 树木30万棵,由于志愿者的参加,实际每天植树比原方案多20%结果提前5天完成任务,设原方案每天植树 x万棵,可列方程是A 30=5 B 30 =5x (1+20%) kx 20%xC.；+5 =5【解答】解：设原方案每天植树x万棵,需要二天完成,实际每天植树X+0.2X 万棵,提前5天完

15、成任务,-：川=5" '一,需要30(1+2 珊)X天完成,应选A10. 西宁市创立全国文明城市已经进入倒计时！ 某环卫公司为清理卫生死角内的 垃圾,调用甲车3小时只清理了一半垃圾,为了加快进度,再调用乙车,两车合作1.2小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为 x小时,根据 题意可列出方程为A 竺1=1 b.空2 AC.空44D 竺1=16 x6x23x23 x【解答】解：由题意可得,1. 2 1. 2 1巧,应选B.11. 假设关于x的方程上牛-霁 =1无解,那么m的值是x-33-xA. m B. m=3 C m或 1 D. m或 3 333【解答】解：去分母

16、得：3 2x+mx- 2= x+3,整理得：m- 1 x=2,当m-仁0,即m=1时,方程无解；当m- 1工1时,x 3=0,即x=3时,方程无解,此时亠=3,即卩m=, m-13应选C12. 假设-=0无解,那么m的值是x-4 4-xA. 2 B . 2C. 3D. 3【解答】解：方程两边都乘x - 4得：m+1- x=0,方程无解,x- 4=0,即 x=4,m+1 4=0,即m=3应选C.13 如果关于x的不等式组* 2的解集为x > 1,且关于x的分式方程k-4<3 x-2二=3有非负整数解,那么符合条件的 m的所有值的和是2-x k-2A.- 2 B .- 4 C .- 7

17、 D .- 8$卫0【解答】解：2,/-4<3x-2-解得x>m解得x> 1.不等式组的解集是x > 1,那么me 1.解方程匕+亠=3,2-x x-2去分母,得 1 - x - m=32 - x,去括号,得1 - x - m=6- 3x,移项,得-x+3x=6 - 1+m合并同类项,得2x=5+m系数化成1得x=：.分式方程i 一；十工 '-r.=3有非负整数解,.5+m> 0,.m>- 5,.- 5< m< 1,m=- 5,- 3, 1,.符合条件的m的所有值的和是-7, 应选C.m假设数m使关于十二=-1有非负14.从-2、- 1、

18、0、2、5这一个数中,随机抽取一个数记为 x的不等式组Cj解,且使关于x的分式方程总整数解,那么这一个数中所有满足条件的 m的个数是A. 1B. 2 C. 3D. 4【解答】解：不等式组整理得：乡+2kx*i-2in-l由不等式组无解,得到 m+2>- 2m- 1,解得：m>- 1 即 m=- 1, 0, 2, 5,分式方程去分母得：x - m+2=- x+2,即x= - m,2把m=- 1代入得：x=- 一,不符合题意；2把m=0代入得：x=0,符合题意；把m=2代入得：x=1,符合题意；把m=5代入得：x=2.5,不符合题意,那么所有满足条件m的个数是2,应选B二填空题共15小

19、题15. 假设关于x的分式方程+3='无解,那么实数m= 3或7.x-1x-1【解答】解：方程去分母得：7+3 x- 1 =mx整理,得m- 3 x=4,当整式方程无解时,m- 3=0,m=3当整式方程的解为分式方程的增根时,x=1,二 m- 3=4,m=7 m的值为3或7.故答案为3或7.16. 假设关于x的分式方程=3的解为正实数,贝U实数m的取值范围是 mx-2 2-xV 6 且 m 2.【解答】解：二+ : =3,葢-22-x方程两边同乘x- 2得,x+m- 2m=3x- 6,解得,x=-F. 工 2二 ,二 nn 2,由题意得,-二0,解得,mV6,故答案为：mV6且2.17

20、. 甲、乙工程队分别承接了 160米、200米的管道铺设任务,乙比甲每天 多铺设5米,甲、乙完成铺设任务的时间相同,问甲每天铺设多少米？设甲每天 铺设x米,根据题意可列出方程： 曲三_ .x x+5意得：160=200x x+5故答案是:【解答】解：设甲工程队每天铺设x米,那么乙工程队每天铺设x+5米,由题11. =；!«K x+518. 某市为绿化环境方案植树 2400棵,实际劳动中每天植树的数量比原方案多 20%结果提前8天完成任务.假设设原方案每天植树 x棵,那么根据题意可列方程 为=8,【解答】解：设原方案每天植树x棵,那么实际每天植树1+20% x=1.2x ,根据题意可得

21、：卫卫-=8,故答案为：土二-二匚=8 .K 1.2x19 .假设关于x的分式方程=2的解为非负数,那么m的取值范围是 m>- 1且mx-1工1.【解答】解：去分母得,n仁2 x - 1,-x=一1一二,方程的解是非负数, m+1> 0 即存-1又由于x- 1工0, xm 1, 1, nM 1,那么m的取值范围是m>- 1且nM 1.应选：m>- 1且nM 1.20. 假设关于x的分式方程 一+=2有整数解,整数m的值是 1, 3, 4,- 2,x-2x-26 .【解答】解：去分母得：mx- 1+仁2x- 4,整理得：m- 2 x=- 4,解得：x=-,tn-2由分式方

22、程有整数解,得到 m- 2=- 1, 1,- 2, 2,- 4, 4,且x - 2工0, 解得：m=1 3, 4,- 2, 6, 故答案为：1, 3, 4,- 2, 621. 在方程x2+2x+ =3中,如果设y=x2+2x,那么原方程可化为关于yJ十2k的整式方程是 y2- 3y+2=0 .【解答】解：设y=x2+2x,贝U原方程可化为y+=3,y 去分母,得y2- 3y+2=0.故答案是：y - 3y+2=0.22 .用换元法解方程启-2?互%+1=0时应设y=_子羊_.2x+l x-22x+l【解答】解：设 k ,贝U原方程变为二+1=0,2x+ly故答案为：.2x+l23如果实数x满足

23、x+1 2-x+1 - 2=0,那么x+1的值是 2【解答】解：设x+-=u,原方程等价于u2- U-2=0,解得u=2或u=- 1,x+=2或x+丄二-1 不符合题意,舍,KX故答案为：2.24. 关于x的分式方程 有增根,那么增根为 x=1 .X-l K-1【解答】解：原方程有增根,二最简公分母x -仁0,解得x=1.故答案为x=1.25. 假设关于x的方程二一二有增根,那么m的值是 4.x-2x-2【解答】解：方程两边都乘x - 2,得 x+2=m原方程有增根,最简公分母x- 2 =0,解得x=2,当 x=2 时,m=2+2+4故答案为：4.26假设分式方程.-的解为正数,那么a的取值范

24、围是av8,且a4x-4m-4【解答】解：分式方程去分母得：x=2x- 8+a,解得：x=8 - a,根据题意得：8 - a>0, 8 - aM4,解得：av8,且aM4.故答案为：av8,且aM4.27.关于 x的方程：x+=c+丄的解是 xi=c, X2=; x-丄=c- 的解是 xi=c, X2=1那么 x=c+ -的解是xi=c,【解答】 解： X+丄=C+的解是Xi=c, X2= ； x-丄=C-=的解是Xi=c, X2=-丄X CCXcc故答案为3+.c-328 假设关于x的分式方程亠-厶二无解,求a= - 1 或 2 .x-23-x x2-5x+6【解答】解：去分母得：3-

25、x-a x- 2 =- 2,即a+1 x=2a+5,当a=- 1时,显然方程无解；当a工1时,x,a+1当x=2时,a不存在；当 x=3 时,a=2,综上,a的值为-1或2. 故答案为-1或2.29. 解关于x的方程丄+：=产生增根,那么常数a= - 4或6 .x-2 x2_4x+2【解答】解：去分母得：2x+4+ax=3x- 6,由分式方程有增根,得到x+2 x - 2 =0,即x=2或x=- 2,把 x=2 代入得：8+2a=0,即 a= - 4;把 x=- 2 代入得：-2a=- 12,即 a=6,综上,常数a=- 4或6,故答案为：-4或6三.解做题共6小题30. 如图,Rt ABC中,/ B=90° , AB=3cm BC=4cm 点 D在 AC上,AD=1cm 点P从点A出发,沿AB匀速运动；点Q从点C出发,沿C-B-A-C的路径匀速 运动.两点同时出发,在B点处首次相遇后,点P的运动速度每秒提升了 2cm 并沿B-C-A的路径匀速运动；点Q保持速度不变,并继续沿原路径匀速运动, 两点在D点处再次相遇后停止运动,设点 P原来的速度为xcm/s .1点Q的速度为 x cm/s 用含x的代数式