2019学年高中数学课时分层作业15曲线的交点苏教版必修4练习

1、2019 学年高中数学课时分层作业15 曲线的交点苏教版必修4 练习( 建议用时： 40 分钟 ) 基础达标练 一、填空题1曲线 x2 y2 9 与曲线 x28y 的交点坐标是_x2 y2 9，2 解析 由得 y 8y 9 0，解得 y 1或 y 9. y0， y 1，代入 x2 8y， x2 8， x±2 2，交点坐标为 ( ±2 2， 1) 答案(±22， 1)2 抛物线x2 4y 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A， B 两点，则AB_. 解析 由直线 AB过焦点且垂直于对称轴知，AB为通径，所以AB 2p 4.答案43直线 l与抛物线 y2 4x 交于 A

2、， B 两点， AB中点坐标为 (3,2)，则直线 l 的方程是_ 解析 设 A( x，y) ， B( x ， y ) ，则 y124x ， y2 4x ，112212相减，得 ( y y )( y y ) 4( x x) ，121212y1 y2又因为 y1 y2 4，所以 kAB x1 x2 1.所以直线 l 的方程为 y 2 x3，即 xy 1 0. 答案 xy 1 0x2y24已知椭圆 C： a2b2 1( a>b>0) ， F( 2， 0) 为其右焦点，过F 垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆 C的方程为 _.【导学号：71392141】1 / 6c2，

3、 解析 由题意，得b2 1，a 2，a解得2，ba2 b2c2，x2y2所以椭圆 C的方程为 1.42x2y2答案 4 215过抛物线 y2 2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A， B 两点，它们的横坐标之和等于 2，则这样的直线有_ 条pp 解析 设该抛物线焦点为F，则 AB AFFB xA 2 xB2 xA xB1 3 2p 2. 所以符合条件的直线有且仅有两条答案26曲线 y x2 x 2和 y x m 有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是_yx m，消去 y，得 x2 2x 2m 0. 若有两个不同的公共点，则解析由yx2 x 2， 4 4(2 m)>0 ， m>1.

4、 答案 (1 ，)7直线 4kx 4y k 0 与抛物线 y2 x 交于 A， B 两点，若 AB 4，则弦 AB的中点到直线 x 1 0 的距离等于 _21y2 x解析直线4kx 4yk 0，即 y k x 4 ，即直线4kx 4y k 0 过抛物线1， 01122121127的焦点 4. 设 A( x ，y) ， B( x ，y) ，则 ABx x 24，故 x x 2，则弦 AB的中71719点的横坐标是4，弦 AB的中点到直线x 2 0 的距离是 4 2 4.9答案48已知直线y 2x b 与曲线 xy 2 相交于A， B 两点，若AB 5，则实数b 等于_.【导学号： 7139214

5、2】2 / 6 解析 设 A( x1， y1) ，B( x2， y2) y 2x b，2x2 bx 20. 联立方程组消去 y，整理得xy 2， x1， x2 是关于 x 的方程的两根，b x1 x2 2， x1x2 1.又1 k2(x1 x2)2 4x1x2，其中k 2，代入则有122·b2 16ABAB25， b2 4，则 b± 2.故所求 b 的值为± 2.答案±2二、解答题9如图 2-6-8, 斜率为1 的直线l过椭圆 x22 1 的右焦点，交椭圆于，B两点，4yA求弦的长AB图 2-6-8 解 设，B两点的坐标分别为(1，1)， (2，2) ，

6、由椭圆方程知2 4，b2AA xyB xya1，c2 3，所以 F(3， 0) ，直线 l 的方程为 y x3. 将其代入 x2 4y2 4，化简整理，得 5x2 8 3x 80，1283128所以 x x 5 ， x x 5.所以 AB1 k2| x1 x2|1k2· (x1 x2)2 4x1x283 288222×54· 55. 10直线 l ： y ax 1 与双曲线3x y1有两个不同的交点，10直线 l ：y ax1 与双曲线3x2 y2 1 有两个不同的交点，3 / 6(1) 求 a 的取值范围；(2) 设交点为 A， B，是否存在直线 l 使以 AB

7、 为直径的圆恰过原点，若存在，就求出直线 l 的方程；若不存在，则说明理由 .【导学号： 71392143】 解 (1) 由方程组3x2 y2 1，可得 (3 a2 ) x22ax 20，y ax 1，由方程有两实数根，3a20，则 ( 2a)2 4(3 a2) × ( 2) 0，解得6 a6且 a±3，故所求 a 的取值范围是 ( 6，3) ( 3 ，3) ( 3，6) (2) 设交点坐标分别为 A( x1， y1) ， B( x2，y2) ，2a 2由 (1) 知， x1 x23 a2， x1x23 a2，由题意可得， OA OB( O是坐标原点 ),则有 x1x2 y

8、1y2 0，而 y1y2 ( ax1 1)( ax21) a2x1x2 a( x1 x2) 1， ( a21) x1x2 a( x1x2) 1 0，2 22a于是可得 ( a 1) 3 a2 a·3 a21 0，解得 a± 1，且满足 (1) 的条件，所以存在直线l 使以 AB 为直径的圆恰过原点，直线l 的方程为 y x 1或 y x 1. 能力提升练 x2y21过点 P(4,1) 的直线 l 与椭圆 18 9 1 有且只有一个公共点，则直线l的方程为_ 解析 若直线 l 不存在斜率，则方程为x 4；把 x 4带入轨迹方程可得y± 1，即直线 l 和椭圆有两个公

9、共点，不合题意设直线l的斜率为 k，则方程为y kx4k1，带入轨迹方程并整理得(1 2k2) x2 4k(1 4k) x 16(2 k2 k 1) 0.直线 l 与椭圆只有一个公共点， 16k2(1 4k) 2 64(1 2k2)(2 k2 k 1) 0，解得 k 2，直线 l 的方程为 y 2x 9. 答案 y 2x 94 / 62双曲线x2 4y2 ( 0) 截直线x y 3 0 所得弦长为833，则双曲线方程为_ 解析 联立方程x2 4y2 ，消去y得 3x2 24 (36 ) 0，xy 3 0，x设直线被双曲线截得的弦为AB， 且 (1 ，y1)，(2，y2)，那么A xB xx1

10、x2 8，36 x1x2 3， 242 12(36 )>0 ，所 以AB (1 k2) (x1x2)2 4x1x2(1 1)824×36 38(12 )83，33x22解得 4，所求双曲线方程是4 y 1. 答案x2 y2 143已知以1( 2,0) ， 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x3 4 0 有且仅有一个交FFy点，则椭圆的长轴长为_.【导学号：71392144】x2y2 解析 根据题意，设椭圆方程为b2 4 b2 1( b 0) ，则将 x3y4代入椭圆方程，得 4( b2 1) y2 8 3 b2 yb4 12b2 0，椭圆与直线x3 y4 0有且仅有一个交点， (8

11、3b2) 24×4( b2 1)( b4 12b2) 0，即 ( b24) ·(b2 3) 0， b2 3，长轴长为2b2 4 2 7.答案274在平面直角坐标系xOy中，过椭圆：x2y2 1(a0) 右焦点的直线xMa2b2by13 0交 M于 A，B 两点， P为 AB的中点，且 OP的斜率为 2.5 / 6(1) 求 M的方程；(2) C，D 为 M上的两点，若四边形 ACBD的对角线 CD AB，求四边形 ACBD面积的最大值 解 (1) 设 A( x1， y1) ， B( x2， y2) ，x21y21则 a2b2 1，x2y21，a2b2得(x1 x2)(x1

12、x2)(y1 y2)(y1 y2) 0.b2a2设 P( x ， y ) ，因为 P 为 AB 的中点，且OP的斜率为 2，所以 y 2x ，即 yy 2( x1001010121x2) ，又因为y1 y2 1，所以 a2 2b2，即 a2 2( a2c2) ，即 a2 2c2，又因为直线x yx1 x23 0 过椭圆右焦点，c3，所以 a26，所以 M的方程为 x2 y2 1.6 3(2) 因为 CD AB，直线 AB的方程为 x y 3 0，所以设直线 CD的方程为 y xm，x2y2243将 x y30代入 6 31，得 3x 43x 0，解得 x 0 或 x3 ，不妨令(0 ，3) ，B433 ，所以可得46.A3， 3AB3x2y222， y) ， D( x ， y