第二章 导数与微分

1、第二章 导数与微分2.1导数的概念导数的思想最初的法国数学家费玛（）为了解决极大、极小问题而引入的。但导数作为微分学中最主要的概念，却是英国物理学家牛顿（）和德国数学家莱布尼兹（）分别在研究力学与几何学过程中建立的。下面我们以瞬时速度问题、边际成本问题为背景介绍一下导数的相关内容变化率。2.1.1变化率问题举例当我们研究变量时，不仅需要研究变量与变量之间的对应关系（即函数关系）、变量的变化趋势（即极限），还要研究变量变化的快慢的程度。例如，物体运动的速度，国民经济发展速度，劳动生产率等等，这类问题通常叫做变化率问题。1. 瞬时速度（变速直线运动的速度）通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时

2、间内运动的平均速度。例如：一辆汽车从甲地出发到达乙地，全程120公里，行驶4小时，则汽车行驶的速度是公里/小时，这仅是回答了汽车在这段路程中的平均速度。事实上，汽车并不是每时每刻都以30公里/小时性质。这是因为，下坡时跑的快些，上坡时跑的慢些，也可能中途停车等，即汽车每时每刻的速度是变化的。一般来说，平均速度并不能反映汽车在某一时刻的瞬时速度。随着科学技术的发展，仅仅知道物体运动的平均速度就不够用了，还要知道物体在某一时刻的瞬间速度，即瞬时速度。例1. 已知自由落体运动的路程与所经过的时间的关系是，现在来求时刻的落体速度。解：取一个邻近于的时刻，这时落体在到这一段时间内的平均速度为， ，平均速

3、度随时间改变量的变化而变化，当越小时，越接近一个定值，这个值就是时的极限，我们规定这个极限为落体在时的速度，又叫做瞬时速度，记作。一般来说，如果物体运动的路程与时间的关系是，则它从到这一段时间内的平均速度为，而在时刻的瞬时速度即为平均速度当时的极限：例2. 产品总成本的变化率 设某产品的总成本是产量的函数，即。当产量由变到时，总成本相应得改变量为，则产量由变到时，总成本的平均变化率为，当时，如果极限存在，则称此极限是产量为时的总成本的变化率，又称边际成本。例3. 切线斜率欲求曲线上一点的切线方程，关键在于求出切线的斜率，那么，怎样求出切线斜率呢？设有一条平面曲线，它的方程是。求过该点曲线上一点

4、的切线斜率。PQ0yx未知的切线斜率也不是孤立的概念，它与已知割线斜率联系着。在曲线上任取另一点。设它的坐标是，其中。由平面解析几何知，过曲线上二点与的割线斜率（即对的平均变化率）.当变化时，即点在曲线上变动时，割线的斜率也随之变化，当较小时，割线的斜率应是过曲线上点的切线斜率的近似值。当越小这个近似程度也越好。于是，当无限趋近于0时，即点沿着曲线无限趋近于点时，割线的极限位置就是曲线过点的切线，同时割线的斜率的极限就应该是曲线过点的切线斜率（即在的变化率），即。于是，过曲线上一点的切线方程是。切线斜率的定义也给出了计算切线斜率的方法，即计算式极限。特别注意：这也是导数的几何意义，我们在2.1

5、.4节有相应的具体讲解。上面的例子表面上是不同领域的问题，但从抽象的数量关系来看，其实质是一样的，都是函数的改变量与自变量的改变量之比当自变量的改变量趋于零时的极限，我们把这种特定的极限叫做函数的导数。2.1.2导数的定义定义2.1：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应得改变量。如果当时，存在，则称此极限为函数在点的导数，记作， ，或，或，或，并称函数在点可导；如果不存在，则称函数在点不可导。定义2.1：若函数在区间内任意一点处都可导，则称函数在区间内可导。若在区间内可导，则对于区间内的每一个值，都有一个导数值与之对应，所以也是的函数，叫做的导函数，简称导数。

6、记作，或，或，或。容易得到，的导数在点处的函数值就是在点处的导数。这样前面的三个例子可以表示为变速运动的速度是路程对时间的导数，即;产品总成本的变化率是总成本对产量的导数，即;割线斜率（即对的平均变化率）是对的导数即。根据导数的定义，求函数的导数的一般步骤如下： 写出函数的改变量； 计算比值； 求极限例2.根据定义，求下面函数的导数；设，求解：先求出函数的导数：1.函数的改变量2.计算比值3.求极限2.1.3利用定义计算导数所以下面我们根据定义来求部分基本初等函数的导数。1.常数函数的导数设（为常数），由于无论取任何值，恒成立，总有，于是，所以。即常数函数的导数为零。2. 幂函数的导数设（为正

7、整数），。由二项式定理可得 于是，所以即需要说明的是 ：对于一般的幂函数（为实数）上面的公式也成立，即,在以后的学习过程中我们给大家证明。例3.：设，求解：由幂函数的求导公式得： ； 3. 正弦函数与余弦函数的导数设，则， 于是，所以，即。类似可证明得到。4. 对数函数的导数 设，则，于是，所以即特别地，当时，因为，所以有5. 指数函数的导数设，则特别地，当时，因为，有例4. 设，求解：； ；2.1.4导数的几何意义x0y设函数的图像如图所示，在其上任取两点和作割线，设其倾斜角为，则割线的斜率。设点沿曲线趋近于时，割线趋近于极限位置，就是曲线在点处的切线，设的倾斜角为，当时， 点，割线，于是。

8、这个式子说明，函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，这就是导数的几何意义。根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，很容易得到曲线在点处的切线方程为。例5. 求曲线在点处的切线方程。解：，根据点斜式切线方程为2.1.5可导与连续的关系整理得：² 定理2.1如果函数在点处可导，则在点处一定连续。证明：因为在点可导，则有， ，由定义1.16知，在点处连续。特别指出：这个定理得逆命题不成立，即函数在点连续时，在点不一定可导。例：函数在点处连续，但不可导。因为 ，所以在处，连续，但不可导。2.2导数基本公式与运算法则2.2.1导数的四则运算法则求导数的运算式微分的基本运算之一，我们必须很好

9、地掌握。上一节我们根据定义推出利几个基本初等的导数公式，其他几种初等函数的导数也完全可以用上面的方法求得。但比较麻烦，而且仅有基本初等函数的导数公式，其应用范围也是有限的。为此我们将在下面的几节中学习导数的四则运算法则、复合函数的求导公式、隐函数求导法及对数求导法，这样就会比较方便的求出任何初等函数的导数了。1. 代数和的导数设函数和在点处可导，则在点处也可导，且，即：两个函数代数和的导数等于它们导数的代数和。2. 乘积的导数设函数和在点处可导，则在点处也可导，且，即两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第二个函数的导数乘第一个函数。特别地，当其中有一个函数为常数时，则有；推

10、广到有限个可导函数仍然成立，例如：3. 商的导数设函数和在点处可导，且，则在点处也可导，且，即两个函数之商的导数等于分子的导数乘分母，减去分母的导数乘分子，再除以分母的平方。例1. 设，求解： 例2. 设，求 解： 例3. 设，求 解： 例4. 设，求解： 例5. 设，求解：本题看起来可利用商的导数公式计算，但是那样比较繁琐，容易出现错误。但实际上这种分母是单项幂函数的分式，可以先化简，再求导。 先化简，得： 例6. 求的导数解：把正切函数看成正弦与余弦的商，利用运算法则来求导数。因为，所以即 2.2.2复合函数的导数利用同样方法可以得到 为了说明复合函数的导数的特点，我们先看一个例子。是一个

11、复合函数，它可以看成是由及复合而成的。我们设想一下这个函数的导数应该具有什么样的形式呢？是否应该等于函数对中间变量的导数呢？为了解决这个问题，下面我们利用定义求出它的导数。 而 则 在这个结果中，除了我们设想的函数对中间变量的导数之外，还多了一个3，3恰是中间变量对自变量的导数，一般地有² 定理2.2设函数在点处有导数，函数在点处有导数，则复合函数在该点也有导数，且，或，或。这个定理说明：复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。例7. 求下列函数的导数： 解：设，由定理2.2得 设，由定理2.2得 设，由定理2.2得 在熟练掌握复合函数的求导公式后，求导

12、时将不必写出中间过程和中间变量。定理2.2的结论可以推广到多次复合的情况，例如，则复合函数的导数为。复合函数求导数公式，好像链条一样，一环扣一环，所以有些书上又称之为链式法则。运用这个法则时，应该了解因子的个数比中间变量的个数多一个，注意不要遗漏任何一层，且最后一个因子一定是某个中间变量对自变量的导数。例8. 求下列函数的导数： 解：设，由定理2.2得 设，由定理2.2得 有些函数求导时，需要综合运用各种求导法则。整体来看是一个乘积，先用乘积的导数公式，而其中的因子是复合函数，对它们求导时，又要用复合函数的求导法则。 整体来看是一个幂函数，我们把底数视为中间变量，中间变量求导要用商的导数公式。

13、 例8. 求函数 的导数解： 由对数性质，有，则 例9. 推导的求导公式证明：利用对数的性质我们将函数写成指数式，令，则，2.2.3隐函数的导数用解析法表示函数时，通常可以采用两种形式，一种是把函数直接表示成自变量的函数，称为显函数。另一种是函数与自变量的关系由方程来确定，即与的函数关系隐含在方程中。我们称这种由未解出因变量的方程所确定的与之间的函数关系为隐函数。例如：，等。有些隐函数可以化为显函数，例如函数可以化为。有些隐函数在不能化为显函数，例如就不能化为显函数，所以我们要研究从隐函数直接求其导数的方法。隐函数求导的方法是：方程两端同时对求导，遇到含有的项，先对求导，再乘以对的导数，得到一

14、个含有的方程式，然后从中解出即可。例10. 求下列方程所确定的隐函数的导数： 求 解：因为是的函数，所以是的复合函数。将所给方程两边同时对求导，得 将所给方程两边同时对求导，得 整理得： 那么 例11. 求曲线在点处的切线方程。解：先求由所确定的隐函数的导数。因为是的函数，所以是的复合函数。将所给方程两边同时对 求导，得 即 解出，得 在点处，于是，在点处的切线方程为：，即2.2.4取对数求导数有时还会遇到这样一些情形，虽然给定的函数是显函数，但直接求它的导数很苦难或者很麻烦，例如幂指函数（其中，都是的函数，且）及一种因子之幂的连乘积的函数。对于这两类函数，可以通过两边取对数，转化成隐函数，然

15、后按隐函数求导的方法求出导数。这样做常常会使计算简单或容易很多，这种方法称作取对数求导法。注：在这里，最终的表达中，不允许保留，而要用相应的表达式代替。请看下面两个例题: 例12：求下列函数的导数 解：两边取对数，有 两边同时对求导，可得 则 即 两边取对数，有 两边同时对求导，可得 即2.2.5导数的基本公式我们已经陆续学习了基本初等函数的求导方法了，下面不加证明地给出反三角函数的导数公式，今后我们只要能利用这些公式求导数就可以了。 例13.求下列函数的导数 解：至此，我们已经介绍了所有基本初等函数的导数公式，并且推出了导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则。为了便于记忆与查阅，将这些公式

16、和法则归纳如下：基本初等函数的导数公式（为常数） （为任意实数），特别当时，特别当时， 导数的四则运算法则设是的可导函数 设，则复合函数的导数为或2.3高阶导数从本章的第一节中我们知道，变速直线运动的瞬时速度是路程函数对时间的导数，即。由物理学知，速度函数对时间的变化率就是加速度，即。于是，加速度是路程函数对时间的导数的导数，称为对二阶导数，记作。因此变速直线运动的加速度就是路程函数对时间的二阶导数，即。一般地，函数在点处的导数仍是的函数，如果在点处对导数存在，则称为在点处的二阶导数，记作。类似地，二阶导数的导数称为的三阶导数，记作阶导数的导数称为的阶导数，记作。函数在点处具有阶导数，也称阶可

17、导。二阶及二阶以上各阶导数统称高阶导数。四阶或四阶以上的导数记作。函数在点处的各阶导数就是其各阶导数在点处的函数值，即从定义可以看出，求高阶导数只需要进行一系列的求导运算，并不需要另外的方法。下面看一些例题。例1. 求下列函数的导数： 求 ，求 求解： 2.4函数的微分2.4.1函数微分的概念在2.1节中我们讲过导数表示函数在点处的变化率，它描述函数在点处变化的快慢程度，但有时我们还需要了解函数在某一点处当自变量有一个微小的改变量时，函数所取得的相应该变量的大小，而用公式计算往往比较麻烦，于是我们想到寻求一种当很小时，能近似代替的量。若给定函数在点处可导，根据导数定义有。由定理1.2知，其中是

18、当时的无穷小量，上式可写作。式表明函数的增量可以表示为两项之和，第一项是的线性函数，第二项是当时比高阶的无穷小量。因此，当很小时，我们称第一项为的线性主部，并叫做函数的微分。定义2.3：设函数在点处有导数，则称为在点处的微分，记作，即，此时，称在点处是可导的。例如：函数在点处的微分为。函数在任意点的微分，叫做函数的微分，记作。如果将自变量当作自己的函数，则有，说明自变量的微分就等于它的改变量，于是函数的微分可以写成，即，也就是说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，因此，导数又叫微商。例1. 求函数在时的改变量及微分。解：。可见，。x0y函数的微分有明显的几何意义，设函数的图像是一条曲线，如图所示，在曲线上取一定点，过点作曲线的切线，它与轴的交角为，则该切线的斜率为。当自变量在处取得改变量时，就得到曲线上另一点。过点作平行于轴的直线，它与切线交于点，与过点平行于轴的直线交于点，于是曲线纵坐标得到相应得改变量。同时点处的切线的纵坐标也得到相应得改变量，在直角三角形中，有。可见，函数微分的几何意义是在曲线上某一点处，当自变量