高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算第1课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式

1、第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本P12 14，思考并完成下列问题(1) 函数 y c，y x， yx 1，y x2， y x的导数分别是什么？能否得出y xn 的导数公式？(2) 正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？ 新知初探 1几种常用函数的导数函数导数f ( x) c( c 为常数 )f (x) 0f ( x) xf (x) 1f(x) x2f( )2xx11f ( x) xf (x) x2f ( x) x() 1fxx2 点睛 对几种常用函数的导数的两点说明(1) 以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，

2、都属于幂函数的导数(2) 以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x) (c为常数 )()0cfx*f 1f ( x) x( Q)(x) x原函数导函数f(x) sinxf( ) cos_xxf ( x) cos xf (x) sin_ xf(x) x(a>0 且 1)f( ) xln_aaaxa1/10f(xxfx) e( ) exa且 a1)()1f ( x) logx( a>0fxxln a() ln1fxxf (x) x 小试身手 1判断 ( 正确的打“”，错误的打“×”)1(1) 若 y2，

3、则 y 2×21.()(2) 若f( ) sinx，则f() cosx ()xx(3)f(x) 1，则f()3.()x3xx4答案： (1) × (2) ×(3) 2下列结论不正确的是()B若 y5x，则 y 5A若 y 0，则 y 011 1 12D若 y x2，则 y 2x2C若 yx，则 y x答案： D23若 y cos3 ，则 y ()13B 2A 21D. 2C 0答案： C4 函数 y11x在点 4， 2处切线的倾斜角为 ()B. 4A. 63D.4C. 3答案： B利用导数公式求函数导数2/10 典例 求下列函数的导数(1) yx12；(2) y

4、1 ； (3) y 5 x3； (4) y 3x； x4(5) ylog 5x. 解 (1) y ( x12) 12x11 .(2) y 1 ( x4) 4x 5 4 .x4x5533(3) y (x3) ( x5) 5x .(4) y (3 x ) 3x ln 3.1(5) y (log 5x) xln 5 .求简单函数的导函数有两种基本方法(1) 用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2) 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式 活学活用 求下列函数的导数：(1)ylgx； (2)y1x； (3)y xx； (4

5、) y log 1x.23ln x1解： (1) y (lgx) ln 10 xln 10 .(2)y1x 1xln11xln 2.22223313(3)y ( xx) ( x2) 2x2 2x.(4)y log1x11.3xln 31xln 3利用导数公式求切线方程1 典例 已知曲线y x.(1) 求曲线在点 P(1,1) 处的切线方程；(2) 求曲线过点 Q(1,0) 处的切线方程3/1011 解 y x， y x2.1(1) 显然 P(1,1) 是曲线上的点，所以P 为切点，所求切线斜率为函数y x在点 P(1,1)的导数，即 k f (1) 1.所以曲线在(1,1)处的切线方程为y1

6、(x 1) ，即为yx 2.P(2) 显然 Q(1,0) 不在曲线 y 1上， x则可设过该点的切线的切点为A1a，a1那么该切线斜率为k f (a) a2.则切线方程为 11(x )yaa2a1 1将 Q(1,0) 代入方程： 0 a a2(1 a) 1将得 a 2，代入方程整理可得切线方程为y 4x 4.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1) 若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数(2) 如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解 活学活用 当常数 k 为何值时，直线y x 与曲 线 y x2k 相切？请求出切点2x0 1，解：设切点为A(

7、x0， x20 k) y 2x，x20 k x0 ，1x02，121故当 k 4时，直线y x 与曲线y x k 相切，且切点坐标为k4，1 1， .2 2导数的简单综合应用 典例 (1) 质点的运动方程是S sint ，则质点在t 3 时的速度为 _；质点运动的加速度为_4/10(2) 已知两条曲线 y sin x， y cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由 解析 (1) v( t ) S(t ) cos t ，1 v 3 cos 3 2.1即质点在 t 时的速度为 .32 v( t ) cos t ，加速度 a( t ) v(t )

8、(cos t ) sin t .1 sin t答案： 2(2) 解：由于 y sin x， y cos x，设这两条曲线的一个公共点为P( x0， y0) 两条曲线在 P( x ，y ) 处的斜率分别为kcosx ， k sin x .001020若使两条切线互相垂直，必须cos x0·( sinx0) 1，即 sin x0·cos x01，也就是 sin 2 x0 2，这是不可能的 两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直导数的综合应用的解题技巧(1) 导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线

9、的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在(2) 导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题可以结合导数的几何意义分析 活学活用 2曲线 y x3在点 (1,1)处的切线与 x 轴、直线 x2所围成的三角形的面积为()58254A. 3B. 9C. 12D. 12解析：选 C可求得 y 2x1，即 y|x 1 2，切线方程为 2x 3y 10，与 x 轴333的交点坐标为1的交点坐标为5，围成三角形面积为1×21×5 ， 0 ，与 x 22，223232512.5

10、/10层级一学业水平达标1已知函数 f ( x) x3 的切线的斜率等于3，则切线有 ()B2 条A1 条D不确定C3 条解析：选 B f (x) 3x2 3，解得 x±1.切点有两个，即可得切线有2 条x在点 A(0,1) 处的切线斜率为 ()2曲线 y eB 2A 11D. eC e解析：选 A由条件得x0y e ，根据导数的几何意义，可得k y| 0 e 1.x3已知f(x) 35f(2 2) ()，则x3B 5x32A 10D 10C 5232解析：选 D f(x) 5x3， f (22 ) 5×22×3 10，故选 D.4已知 f ( x) x，若 f

11、( 1) 2，则 的值等于 ()B 2A 2D 3C 3解析：选 A若 2，则f(x) x2， ()2x，fxf ( 1) 2×( 1) 2适合条件故应选A.5. 曲线 y 31x3 在 x 1处切线的倾斜角为 ()B 4A 15C.D.44解析：选 C y x2， y|x1 1， 切线的倾斜角 满足 tan 1， 0< ， .46 曲 线 y lnx 在 点 M(e,1)处的切线的斜率是_，切线方程为_ 11解析： y (lnx) x， y|x ee.6/101 切线方程为 y1 e( xe) ，即 x ey 0.1x ey 0答案： e7已知 f ( x) a2( a 为常

12、数 ) ， g( x) lnx，若 2x f ( x) 1 g(x) 1，则 x_.解析：因为f( )0， ( ) 1，xgxx1所以 2x f ( x) 1 g(x) 2x 1.x1解得 x1 或 x 2，因为 x 0，所以 x 1.答案： 18设坐标平面上的抛物线 C： yx2，过第一象限的点( a， a2) 作抛物线 C的切线 l ，则直线 l与 y 轴的交点 Q的坐标为 _解析：显然点 ( a， a2) 为抛物线 C： y x2 上的点， y 2x， 直线 l的方程为 y a2 2 (a) a x令 x0，得 y a2， 直线 l 与 y 轴的交点的坐标为 (0 ， a2) 答案： (

13、0 ， a2)9求下列函数的导数：(1) y x8； (2) y 4x； (3) y log 3x；(4) y sin； (5) y e2 .x 2解： (1) y ( x8) 8x8 1 8x7 .(2) y (4 x ) 4x ln 4.1(3)y (log 3x) xln 3 .(4) y (cosx) sin x.(5)2y (e ) 0.10已知 ( 1,1)， (2,4)是曲线y2 上的两点，PQx(1) 求过点 P， Q的曲线 y x2 的切线方程(2) 求与直线 PQ平行的曲线 y x2 的切线方程解： (1) 因为 y 2x， P( 1,1) ， Q(2 ,4) 都是曲线 y

14、x2 上的点过 P 点的切线的斜率 k1 y|x 1 2，过 Q点的切线的斜率 k2 y|x2 4，过 P 点的切线方程： y 1 2( x 1) ，即 2xy 1 0.7/10过 Q点的切线方程：y 4 4( x 2) ，即 4xy 4 0.4 1(2) 因为 y 2x，直线 PQ的斜率 k2 1 1，切线的斜率 k y|x x0 2x0 1，111所以 x02，所以切 点 M 2， 4 ，与 PQ平行的切线方程为：11y 4 x2，即 4x 4y 1 0.层级二应试能力达标51质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是st ，则质点在t 4 时的速度为()B.1A.1551022323D.

15、1 5C.2 5102323514解析：选 Bs 5t 5. 当 t 4 时，111.s ·5510544231x( x0) 的一条切线，则实数b 的值为 ()2 直线 y x b 是曲线 yln2B ln 2 1A 2Dln 2Cln 2 11解析：选C y lnx 的导数 y x，11 令 ，得 x 2， 切点为 (2 ，ln 2)x21代入直线 y 2xb，得 bln 2 1.133在曲线 f ( x) x上切线的倾斜角为 4 的点的坐标为 ()B( 1， 1)A (1,1)D (1,1)或( 1， 1)C( 1,1)113解析：选 D因为 f ( x) x，所以f (x) x

16、2，因为切线的倾斜角为4 ，所以切线8/10斜率为 1，1即 f (x) x2 1，所以 x ±1，则当 x 1 时， f (1) 1；当 x 1 时， f (1) 1，则点坐标为(1,1)或(1，1)n 1(*处的切线与 x轴的交点的横坐标为xn ，则4 设曲 线 y xn N ) 在点 (1,1)x 1· x2·· xn 的值为 ()11B. n 1A. nnD 1C. n 1解析：选 B 对 yxn 1*n令 x 1，得在点 (1,1)处的切( nN ) 求导得y ( n1) x .线的斜率 kn 1， 在点 (1,1 ) 处的切线方程为y 1 (

17、 n 1)(xn 1) 令 y 0，得 xnn ， x1·x2·· xn 1× 2× 3×× n 1×n 1，故选B.n123 4nn 1n15与直线 2x y 4 0 平行且与曲线y lnx 相切的直线方程是_解析：直线2x y 40 的斜率为 k 2，111又 y (lnx) x， x 2，解得 x 2.1 切点的坐标为2， ln 2 .故切线方程为 y ln 2 2x 12 .即 2x y 1ln 2 0.答案： 2x y 1 ln 2 06若曲线 yx在点 P( a，a) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面

18、积为2，则实数 a 的值是 _ 11a解析： y 2x， 切线方程为 y a2 a(x a) ，令 x 0，得 y 2 ，令 y0，得x1a ，由题意知 ·· 2， 4.a22aa答案： 47已知曲线方程为y f ( x) x2，求过点 B(3,5) 且与曲线相切的直线方程解：设切点P的坐标为 ( x0， x02) y x2， y 2x， k f (x0) 2x0， 切线方程为 y x02 2x0( x x0) 9/10将点 B(3,5)代入上式，得5 x02 2x0(3 x0) ，即 x026x0 5 0， ( x0 1)( x0 5) 0， x01 或 x0 5，切点坐标为 (1,1)或(5,25)，故所求切线方程为1