高等数学下册试题(题库)及参考答案

1、高等数学下册试题库一、选择题（每题4 分，共 20 分）1. 已知 A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ）A ） 5B） 3C） 6D）9解 AB =1-1 ， 2-0， 1-2=0 ，2，-1 ，| AB|= 0222( 1)25 .2. 设 a=1, - 1,3,b=2, - 1,2 ，求 c=3a- 2b 是：（ B ）A ） - 1,1,5.B） - 1,- 1,5.C） 1, - 1,5.D） - 1,- 1,6.解(1) c=3a- 2b =31, - 1,3 - 22, - 1,2=3 - 4,- 3+2,9- 4= - 1,- 1,5.3

2、. 设 a=1, - 1,3, b=2, 1, - 2 ，求用标准基 i, j, k 表示向量 c=a-b; （ A ）A ）- i-2 j+5kB）- i- j+3kC）- i - j+5kD）-2 i - j+5k解 c=-1, - 2,5=- i -2 j +5k .4. 求两平面 x 2 yz 30和2x yz 5 0 的夹角是：（C）A ）B）4C）D）23解 由公式（ 6-21 ）有n1 n21221(1)11cos12 2，n1 n 21222( 1)22212因此，所求夹角arccos 13 25. 求平行于 z 轴，且过点 M 1 (1,0,1) 和 M 2 (2, 1,1)

3、 的平面方程是：（D ）A）2x+3y=5=0B）x-y+1=0C）x+y+1=0D） x y 1 0 解由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为AxByD0因为平面过M 1 、 M 2 两点，所以有AD02ABD 0解得 AD , BD ，以此代入所设方程并约去 D (D0) ，便得到所求的平面方程x y106微分方程 xyyx y3y 4 y 0 的阶数是 ( D ) 。A3B4C5D21/217微分方程 yx 2 yx 51 的通解中应含的独立常数的个数为(A ) 。A3B5C4D28下列函数中，哪个是微分方程 dy2xdx 0 的解 ( B )。A y 2xB y x 2C y2x

4、 D yx29微分方程 y3y 3 的一个特解是 ( B) 。A y x31323B y x 2 C y x CDy C 1 x10 函数 y cos x 是下列哪个微分方程的解 (C) 。A yy0B y 2 y0C y ny 0 D y y cos x11 yC1exC2 e x 是方程 yy0 的(A) ，其中 C1， C2为任意常数。A通解 B 特解 C 是方程所有的解D 上述都不对12 yy 满足 y |x 02的特解是 ( B) 。A y exB y 2exxD y 3 ex1C y 2 e213微分方程 yysin x 的一个特解具有形式 ( C )。A y*a sin xB y

5、*a cos xC y*x a sin xbcos xD y*a cos xb sin x14下列微分方程中， ( A )是二阶常系数齐次线性微分方程。A y 2 y 0B y xy 3y20C 5y 4x 0D y 2y 1 015微分方程 y y0满足初始条件 y 01的特解为(A) 。A exB ex1 C ex1D2ex16在下列函数中，能够是微分方程yy0的解的函数是 ( C ) 。A y1B yxC ysin xD y ex17过点 1,3且切线斜率为 2x 的曲线方程 yy x 应满足的关系是 ( C ) 。2/21Ay2xB y2xC y2x ，y 1 3 D y2x ， y

6、1 318下列微分方程中，可分离变量的是 ( B ) 。A dyyeB dyk xaby( k , a , b 是常数 )dxxdxC dysin yxD yxyy 2exdx19方程 y2y0的通解是 ( C )。A ysin xB y4e2 xC yCe2 xD yex20微分方程 dxdy0满足 y |x34的特解是(A)。yxAx2y225BCCx2y2C D x2y273x 4y21微分方程 dy1y0的通解是 y ( B )。A CdxxC 1B CxCD x Cxx22微分方程 yy0的解为(B)。A exB e xC exe xD ex23下列函数中，为微分方程 xdxydy0

7、的通解是(B) 。A x y CB x2y 2CC Cx y 0D Cx 2y 024微分方程2 ydydx0的通解为(A)。A y2x CB yx C C y x CD yx C25微分方程 cos ydysin xdx 的通解是 ( D )。A sin xcos yCB cos ysin xCC cos xsin yCD cos xsin yC26 ye x 的通解为 y( C )。A e xB e xC e xC1 x C 2D e xC1 x C 227按照微分方程通解定义， ysin x 的通解是 ( A )。3/21Asin xC1 x C 2B sin xC1C 2Csin xC

8、1 x C 2D sin xC1C 2一、单项选择题2 设 函 数fx, y在 点x0 , y0处 连 续 是 函 数 在 该 点 可 偏 导 的（ D)(A)充分而不必要条件 ;(B)必要而不充分条件 ;(C)必要而且充分条件 ;(D)既不必要也不充分条件 .3 函 数 f x, y 在 点 x0 , y0处偏导数存在是函数在该点可微分的( B).(A)充分而不必要条件 ;(B)必要而不充分条件 ;(C)必要而且充分条件 ;(D)既不必要也不充分条件 .4 对于二元函数 zf (x, y) , 下列结论正确的是 ().CA.若 limf (x, y)A ,则必有 limf ( x, y) A

9、 且有 limf (x, y) A ;x x0x xy y00y y0B.若在 ( x0 , y0 ) 处 z 和 z 都存在 ,则在点 (x0 , y0 ) 处 zf ( x, y) 可微 ;xyC. 若在 ( x0 , y0 ) 处z 和 z 存在且连续 , 则在点 ( x0 , y0 ) 处 z f (x, y) 可微 ;x yD. 若2 z和2 z都存在 ,则 .2 z2 z .x2y2x2y2r3,1,r1, 2,1r r（ A）6. 向量 a2 , b，则 a gb(A)3(B)3(C)2(D) 25已知三点 M（1，2，1），A（2，1，1），B（2，1，2），则 MA? AB

10、=（ C）(A)-1；(B)1；(C)0；(D)2；6已知三点M（0，1，1），A（2，2，1）， B（2，1，3） ，则 | MAAB | =（B）4/21(A)2;(B)22 ;(C)2 ;(D)-2;7 设 D 为园域 x2y22ax(a0) ,化积分F ( x, y)d 为二次积分的正确D方法是_.DA.2 aaf ( x, y)dyB.22a2 ax2f ( x, y)dydxdx00a0C.a2 acosf (cos,sin)dda0D.2a cosf (cos,sin )d2 d208设 I3ln xf ( x, y)dy ,改变积分次序 ,则 I_. Bdx01A.ln3eyB

11、.ln330dy0f (x, y) dx0dyeyf ( x, y)dxC.ln33D.3ln xf ( x, y)dx0dyf ( x, y)dxdy0109 二次积分2 dcoscos,sin) d可以写成 _. D0f (0A.1dyy y2B.11 y20f (x, y)dxdyf ( x, y) dx000C.11f ( x, y)dyD.1dxxx20dx00f (x, y) dy010 设是由曲面 x2y22z 及 z2 所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分If ( x, y, z) dxdy dz表示为三次积分， I_.C212A2 f (cos,sin, z) dzdd

12、0002B.222f (cos ,sin , z)dzdd000C 222f (cos,sin, z)dzdd2002D 222cos,sin, z )dzddf (0005/2111设 L 为 x0y 面内直线段，其方程为L : xa, cyd ，则P x, y dxL（ C）（ A） a（B） c（C） 0（D） d12设 L 为 x0y 面内直线段，其方程为L : ya, cxd ，则 P x, y dyL（ C）（ A） a（B） c（C） 0（D） d13设有级数un , 则lim un0是级数收 敛 的n 1n（ D）(A)充分条件；(B)充分必要条件；(C)既不充分也不必要条件；

13、(D)必要条件 ;14幂级数nxn的收径半径R=n 1（ D）(A) 3(B) 0(C) 2(D) 115幂级数1 x n的收敛半径Rn1 n（ A）(A) 1(B)0(C) 2(D) 316若幂级数an xn 的 收敛 半径 为 R ，则an x n 2 的收 敛半 径为n 0n 0（ A）(A)R(B)R 2(C)R(D)无法求得17. 若 lim un0 , 则级数 u ()Dnnn 1A. 收敛且和为B.收敛但和不一定为C. 发散D.可能收敛也可能发散6/2118. 若un 为正项级数 ,则()n 1A. 若 lim un0 , 则un 收敛 B.若un 收敛 ,则un2 收敛nn 1

14、n 1n 1BC.若 un2 ,则un 也收敛D.若un 发散 ,则 lim un0n 1n1n 1n19.设幂级数Cn x n 在点 x3处收敛 ,则该级数在点x 1 处 ()n 1AA. 绝对收敛 B.条件收敛 C.发散D.敛散性不定20. 级数sin nx(x 0) ,则该级数 ()Bn 1n!A.是发散级数B.是绝对收敛级数C.是条件收敛级数D.可能收敛也可能发散二、填空题（每题4 分，共 20 分）1.a b（公式）? =答案 a? b cos( a, b )2.a=(ax， y， zx，y，z z（计算）aa )，b= (b bb )则 a· b =答案 axbx+a y

15、by+a zbz3.a b .ijk答案 a xayazbxbybz4. abc axayaz答案 bxbybzcxcycz5. 平面的点法式方程是答案 A(xx0 )B( yy0 )C ( zz0 )07/216. 设 zarcsinx2y 2，其定义域为( x, y x 2y 21, yx0 )yxsinx2 yxy07. 设 f x, yxy，则 f x 0,1( f x 0,11 )0xy08.fx, y 在点 x, y处可微分是fx, y 在该点连续的的条件， fx, y 在点 x, y处连续是 fx, y 在该点可微分的的条件 . (充分，必要 )9.zf x, y 在点 x, y

16、的偏导数z 及z 存在是 fx, y在该点可微分的条件.(必xy要)10.在横线上填上方程的名称 y3ln xdxxdy0 方程的名称是答案可分离变量微分方程； xy 2x dxyx2 y dy0 方程的名称是答案可分离变量微分方程； x dyy ln y 方程的名称是dxx答案齐次方程； xyyx2 sin x 方程的名称是答案一阶线性微分方程； yy2y0 方程的名称是答案二阶常系数齐次线性微分方程.11. 在空间直角坐标系 O; i , j ,k 下，求 P(2, 3, 1)， M(a, b, c)关于(1) 坐标平面； (2) 坐标轴； (3) 坐标原点的各个对称点的坐标. 解 ： M

17、 (a, b, c)关于 xOy 平面的对称点坐标为(a, b, c)，M (a, b, c)关于 yOz 平面的对称点坐标为( a, b, c)，M (a, b, c)关于 xOz 平面的对称点坐标为(a, b, c)，M (a, b, c)关于 x 轴平面的对称点坐标为(a,b, c)，M (a, b, c)关于 y 轴的对称点的坐标为( a, b, c)，M (a, b, c)关于 z 轴的对称点的坐标为( a, b, c).类似考虑P (2, 3， 1)即可 .12.要使下列各式成立，矢量a, b 应满足什么条件？8/21（1） a ba b;（ 2）（3） abab ;（4）（5）

18、abab .abab ;abab ; 解 ：（ 1） a,b 所在的直线垂直时有abab ；（ 2） a,b 同向时有 abab;（ 3） ab , 且 a, b 反向时有 abab;（ 4） a,b 反向时有 abab;（ 5） a,b 同向，且 ab 时有abab.13.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（ 1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（ 2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（ 3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解 ：（1）单位球面；（ 2）单位圆（ 3）直线；（ 4）相距为2 的两点二、

19、填空题1设f( x, y)sin x( y1)ln( x2y 2 ) ，则 f x (0,1) _1_.2设fx, ycos xy1 ln x 2y2 ，则f x' (0,1) =_0_.3二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是f x, y dxdyfcos ,sind dDD4 三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是f x, y, z dxdydzfcos ,sin, zdddz5 柱面坐标下的体积元素dvddd z6 设积分区域 D : x 2y2a2 ,且dxdy9,则 a3。D7 设 D 由曲线a sin ,a 所围成 ,则dxdy3 a2D48 设积分区域 D

20、为 1224 ,2dxdy6xyD9设 f x, y 在0 ， 1上连续，如果1x dx3 ，f09/2111fx fy dy =_9_.则 dx0010设 L 为连接 (1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则xyds2 .L11 设 L 为连接 (1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则xy ds_ .0L12等比级数aq n(a0) 当q1时，等比级数aq n收敛 .n1n 113 当 _1_时， p 级数1p是收敛的 .n 1 n14当 _时 , 级数1 n 11p是绝对收敛的 .1n1n15 若 f (x, y)xyx ,则 fx (2,1)_.1 ,y216若 f (x, y)xy

21、3( x1)arccos y2,则 f y (1, y)_.3y 22x17 设 uz x y ,则 du_.z x yy ln xdxx ln zdyxy dzz18设 zylnx ,则2 z_.ln y(ln y1) yln xx2x219. 积分22y2dy 的值等于 _.1e4) ,dxe(10x220. 设 D 为园域 x2y2a2 , 若x2y2dxdy 8,则 a_. 2D21. 设 I2dxdydz ,其 中: x2y2z2a2 ,z0 ,则 I _.4 a3310/21三、是非题 （每题 4 分，共 20 分）1.初等函数的定义域是其自然定义域的真子集. ( )2.lim s

22、in x1.()x x3.limx22. ()xx334.对于任意实数x , 恒有 sin x x 成立 . ()5.y0x 是指数函数 . ()6.函数 ylog ax0 a1 的定义域是0,. ()7.log 2 3 log 3 21. ()8.如果对于任意实数 xR ,恒有 f x0 , 那么 y fx 为常函数 . ( )9. 存在既为等差数列 , 又为等比数列的数列 . ( )10. 指数函数是基本初等函数 . ()11.limx0.( )x 0x12.函数 yx33x24 为基本初等函数 . ()13.xadx1xa1C.( )a114.arcsin x是基本初等函数 . ( )1

23、5.sin x 与 x 是等价无穷小量 . ()16.ex1与 x 为等价无穷小量 . ( )17.若函数fx 在区间a, b 上单调递增 ,那么对于任意x a, b , 恒有 f x 0 .( )18. 存在既为奇函数又为偶函数的函数. ( )19. 当奇函数 f x 在原点处有定义时 , 一定成立 f 0 0 . ( )20. 若 偶 函 数 yfxx1,1连 续 , 那 么 函 数 yfxx1,1为 奇 函 数 .11/21()21. 若 奇 函 数 yfxx1,1连 续 , 那 么 函 数 yfxx1,1为 偶 函 数 .()22. 偶函数与奇函数的乘积为奇函数. ()23. 奇函数与

24、奇函数的乘积为偶函数. ( )24.若函数 fx 为奇函数 ,那么一定成立f00. ()25.若函数 fx 为偶函数 ,那么一定成立f00.( )26.sin xcos x . ()27.sin x cosx sin 2x . ()28.axax . ( )29.sin x xsin x . ()30. 单调函数一定存在最大值与最小值. ( )31. 单调函数一定存在反函数 . ()32.互为反函数的两个函数的图像关于直线y x 对称 . ()33.若定义域为0,1的函数 f x存在反函数 , 那么 fx 在区间0,1 上单调.( )34.lim n2 2x1. ()n2n1235.对于任意的

25、a, bR, 恒有 ab 2ab . ( )36. 函数的三要素为 : 定义域 , 对应法则与值域 . ()37. 若函数fx 在其定义域内处处有切线, 那么该函数在其定义域内处处可导. ()38. 空集是任意初等函数的定义域的真子集. ()39.sin i x 为初等函数 . ()i 040.对于任意的 x R , 恒有 x1 2 x . ( )41.左右导数处处存在的函数, 一定处处可导 . ( )12/21下列题（ 1×； 2×； 3 ； 4×； 5）1任意微分方程都有通解。( × )2微分方程的通解中包含了它所有的解。(× )3函数 y

26、3 sin x4 cos x 是微分方程 yy 0 的解。 ( )4函数 yx2ex 是微分方程 y2 yy0的解。 (×)5微分方程 xyln x 0 的通解是 y1ln x 2C( C 为任意常数 )。( )2下列是非题（ 1×； 2； 3； 4×； 5×）1可分离变量微分方程不都是全微分方程。()2若 y1 x ， y2x都是 yP x yQ x 的特解，且 y1 x 与 y2 x 线性无关，则通解可表为 y xy1x C y1x y2x。 ()3函数 ye 1xe 2 x 是微分方程 y12 y1 2 y 0的解。 ()4曲线在点 x, y处的切

27、线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是 y x 2C ( C 是任意常数 )。()5微分方程 ye2 x y ，满足初始条件 y |x00 的特解为 e y 1e2 x1。()2是非题（ 1×； 2；）1只要给出 n 阶线性微分方程的 n 个特解，就能写出其通解。2已知二阶线性齐次方程 yP xy Q x y 0 的一个非零解 y ，即可四、计算证明题（每题10 分，共 40 分）1、判断积数收敛性( 1)n2n2n 1n!un2n22n1n!2解： limlimlim1un122nnnn( n 1)( n1)!由比值法，级数(1) n 2n 2发散n1n!2 ydx xdyx 2 ydy13/21解：两边同除以x2 ，得：ydxxdyydyx 2d y1 y 2cx2即 y1 y 2cx2dyy3xydx x解：两边同除以x ，得dyyxdx1yxy令ux则 dy u x dudxdx即dyduuux1udxdx得到 1c1 ln y2 ，u212即 xy cln y2另外 y0 也是方程的解。4 xy 1 ydx xdy0解： ydxxdyxydx0ydx xdyxdxy2得到 dx1 x 2cy2即 x1 x2cy214/21