导数压轴题的几种处理方法

1、等号两边无法求导的导数恒成立求参数范围几种处理方法常见导数恒成立求参数范围问题有以下常见处理方法:1、求导之后，将参数分离出来，构造新函数，计算1+ In x例：已知函数f（x）=.（I）若函数在区间（«+-2）（其中口>0）上存在极值，求实数a的取值范围;（II）如果当xnl时，不等式/（X）>恒成立，求实数&的取值范围；X + 1解：（I）因为 1+1",，则， 旦，1分f（X）= Xx> 0/（x） = - X当时，；当 时， .所以 在（0, 1）上单调递0 < x < 1 f（x） >0 X >1/（x）<0

2、/（x）增；在（l,+oo）上单调递减， 所以函数/'在"1处取得极大值.2分因为函数/（x）在区间4+1）（其中a>0 ）上存在极值,S 3)=2a < 1所以1,解得丄<< 1.- 4分1«+ > 1 2I 2(1【)不等式 fix) >,即为(x+W+ lnx) >k,记 g(x) = (x + l)(l+ln.Q ,X+1XXx- lnx所以6分J2X：令h(x) = x- Inx,贝J hx) = 1 一 ，x> 1,. hx) > 0./. H(X)在1,+00)上单调递增, /Kx)mm =/?(!

3、)= 1 > 0 ,从而 gx) > 0故g在1,+00）上也单调递增,=g（l）=2 ,所以M2 8分然后求出含参最值,从而确定参数范冃1 ,曲/(x) = - X3 -(1 + a)x + 4ax+ 24a例题：设 3,其中(1) 若/(X)有极值，求Q的取值范围；(2) 若当/仗)>°恒成立，求Q的取值范围.解：由题意可知:广(x)f 2(】+d)x+4d,且八X)有极值，则f'M = 0有两个不同的实数根，故 = 4(1 + a)，-"a = 4(l-a)： > 0 ,解得：dHl,即ae(-xrl)Ua,+x)(4 分)(2)由于

4、x>0, f(x) > 0 恒成立，则 /(0) = 24 > 0,即 >0(6 分)由 /'(X)= x: -2(1 +a)x+4d = (x-2)(x-2a) 贝9®当° <Q< 1时，(处 在x=2d处取得极大值、在x = 2处取得极小值，则当 时，miny(x) = /(2)=28-i>0» 解得：寺； © 分) 当a=l时，/(x)3 0,即/(x)在°+戈)上单调递增，且/(°)= 24a0,则/(x)*(0)>0恒成立；do分) 当°>1时./(X)

5、在x = 2处取得极人值、在x= 2a处収紂极小值.则当亠八时，min /(x) = /(2d) = -#/ + 4/+24d>0,解得：综上所述，a的取值范围是：J_<d<621但是对于导数部分的难题，上述方法不能用时，我们得另辟蹊径一、分开求左右最值：1、已知函数f(x) = xlnx. 求函数他)在r, r+2(r>0)±的最小(、 2值；(2)求证：对一切xw (o,+s),都有inx>e x-ex1解(1)广(x) = lnx+1,令广=0 ,得兀二e»1xe(e，-ko)f(x) > 0J(x)2当xw(0, £)时

6、，广<0单减；当 - 时，'单增。 (分)r > 0 .当0 v/v '幺时,f在1 1 上单祓,在L e)f21I上单増，所以/Wniin =/( e) = - e t (4 分当t> 1时，/在f,f + 2上单增，所以f min =/(f) = / 111 /。(6 分)(2)要证原命题成立，需证：/(A-)> _L-2(x>0)成立。 ex e设x 2 9则，17 ,令得，当时，g(x) =ex eg(x) =» exg(x) = °x = 1x e (0,1)« Jf单増:当时，'单减，所以当时，g(

7、X)max =丄 O(9分)又由(1)得f(x)在(0,丄)上单减，在(丄,乜)上单增，所以当X=1时，/(x)mmeeee又 /(l) = 0>- £ = g(l),./(x)g(x) ,(11 分)所以对一切X w (0,+co),都有In x > e x-ex 成立。(12 分)2、设函数加“-曲“y,记=畔，若函数曲)至少存在一个零点，则实数"的取值范围是EZIg( x) = x: - 2ex+ m 一 = 0 => w = -x2 + lex +( x a 0 I 设XX(x) = -x:+2ex + ,令川卫=7亠+2农，)=仏=>彳&a

8、mp;)=匕血工,发现XXX"函数在x'Qei上都单调递増，在XE任+CCI上都单调递减，于是函数(x) = -x:+2ex + 在上单调递增，在"b+x)上单调递减，所以当x = eX时力亠(力=一+丄，所以函数恥)有零点需满足即m<e2+-.二、适当处理后能够简化运算:3、(2014年一测)己知函数/(a)=x1iix,g(x)=k(x-l)(1)若f (x)>=g(x),求k的范围解:注意到函数/的定义域为(0,+切，所以/(X) > g(x)恒成立O 3. > 迪恒成立，XX设 h(x) = In x -斤 QT)(x > 0)

9、,h(x) = x x r则' 丄厶，2分当R < 0时，用(x) > 0对x0恒成立，所以h(x)是(0, 3)上的增函数，注总到/(I) = 0 ,所以0 v 1时，h(x) < 0不合题意.4分当 R>0 时，若 0 vxvR,”(x)<0 ；x>k, hx)>0.所以/?(x)是(OU )上的减函数，是伙,+8)上的增函数，故只需 /?(x)min = h(k) = hi k - k +1 > 0 . 6 分令u(x) = lnx-x+l(x> 0),“(x) = x_l x ,当 0 vx v 1 时，iC(x) >

10、0 ；当 x1 时，iC(x) < 0 .所以u(x)是(0,1)上的增函数，是(1, +8)上的减函数.故ll(x) <M(1) = 0当且仅当X = 1时等号成立.所以当且仅当R = 1时，处)> 0成立，即k= 1为所求.三、放缩后，求参数范围4、设函数f(x) = ex-l-x-ax2 o(1) 若a = 0 ,求/(X)的单调区间:(2) 若当x n 0时/(X)> 0 ,求a的取值范围(1) a = 0 时，f(x) = ex-l-x , fx) = ex-l当 xw(Y), 0)时，广(x)<0；当 xw(0,*o)时，广(x)>0.故/(x)

11、在(-8,0)单调减少，在(0,+s)单调增加(II) fl(x) = ex-l-2ax由（I）知ex >l+x9当且仅当x=0时等号成立故f x) >x - 2ax = (1- 2a)x ,从而当 1 一2。0,即 a<2 时，广（x）no（xno）,而/（0）=0 ,于是当 xXO 时，/(x)>0.时,由> 1+ x(x 工 0)可得 x > 1- x(x 工 0).从而当 a > 2fx) <-1+ 2a(eT x-1) = eTx 0 _1)(" 2a),于是当 x e (0, In la)时，f(x) <0 .故当 x

12、 e (0, In 2a)时，fx) < 0 ,而/(0) = 0 ,综合得a的取值范围为（-s,丄.2值值fax 值/值5、（2014 牛一测丿“.0灯<1 值SX/W = （1一小（x e R） f（x） > 0解（I ）由题知f-X，当'值值值k值值值时,x < 1 f(x) < 0，当'时,所以函数/的增区间为（Y>,1），减区间为（1严）,其极大值为/（i）= L无极小值.e（II ）由题知0 vxvl,当RSO时，因为-x<0<j<b由知函数在（-叫1）单调递增,所以/«>/（-%）,符合题意;当

13、0<R<l时，取x = S 可得/伙）>/（!）,这与函数在（-co,l）单调递增不符；9分k 1当kni时，因为-x>-v>i,由知函数/在(i,+9单调递减，L111所以f(x)<f(X)f 即只需证即证xex>xeK ,即 In - x > - In x - x » 2 liu - x + x > 0 ,令 h(x) = 2 In j - X + (0 < x < 1),则"(¥)= -<0 对 Ocx cl 恒成立，x22所以力为(0,1)上的减函数，所以/?(x)>/?(l) = O ,所以/(幺)，符合题意.11分X综上：k(Y),0 1,皿)为所求 12分6、(2013年辽宁) 已知函数f(x) = (1+ x)e2 * , g ( x) = ax + ® +1+ 2x cos x.当 xe0,l时 2求证：1-x </( x) <i-r X；(II)若/( x) A g ( Q恒成立，求实数d取值范第一问略：飞甲炉n；i h*oi 刃 awwa” UnCM C” 丁烘 !川嗨屈小7'|缶 ?lr叫叩切）仃02吹"”样训3£7x(j; + ”)+"+ I(X wnp + I + 4- X»