导数的隐极值点代换

1、导数的隐极值点代换导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系，可以说是导函数零点的判断、数值上的精确求解或者估计是导数综合应 用中最核心的问题。导函数的零点，根据其数值计算上的差异，可以分为两类：1、数值上能够精确求解的，称为显零点2、能够判断其存在但是无法直接表示的，称为隐零点对于隐零点问题，由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧妙的不等式应用，对学生的综合能力要求比较高，往往称为考察的难点题型一：隐极值点代换例题设函数f (x)二ex -ax -2 .(I)求f (x)的单调区间；(n)若a =1, k为整数，且当x 0时，

2、(k) f (x) x 10 ,求k的最大值.【解答】 解：(I)函数f(x)二eax2的定义域是R , f(x)=ea,若a, 0,则f (x) =ex-a0，所以函数f(x)=exax2在(-=,：)上单调递增.若 a £ ,则当 x (一1 na)时，f (x)二 ex - a ： 0 ;当 x (lna,时，f (x) =ex -a 0 ；所以，f (x)在(-二,1 na)单调递减，在(In a/:)上单调递增.(II)由于 a =1，所以，(x -k) f (x) x 1 =(x -k) (ex -1) x 1X +1故当 x 0 时，(xk)f (x) x 1 0 等价

3、于 k ： x(x . 0)e -1XX X入x+1“、-xe 一1 “ e (e x2)令 g(x) x x，则 g (x) x 21X Le -1(e -1)(e -1)由(I)知，当a =1时，函数h(x)二eX-x_2在(0,二)上单调递增,而 h (1)<0 , h (2)0,所以h(x) =e -x -2在(0,；)上存在唯一的零点,故g (x)在(0,；)上存在唯一的零点，设此零点为：，则有卅(1,2)当 X (0,：)时，g (X) : 0 ； 当 X (：,；)时，g (x)0 ；所以g(x)在(0,；)上的最小值为g(J .又由 g CJ =0，可得 e 2 所以 g

4、()= 1 (2 , 3)由于式等价于k ： g (：)，故整数k的最大值为2 .设函数 f (x) = e2x - alnx .(I)讨论f(x)的导函数f (x)零点的个数；2(n)证明：当 a 0 时，f (x)2a al n .a2x【解答】解：(I) f(x)二e -al nx的定义域为(0,；), .f(x)=2e2x_a .X当a, 0时，f (x) 0恒成立，故f (x)没有零点，当a 0时，t y =e为单调递增，y =-空单调递增,.f (x)在(0,；)单调递增,又 f (a)0 ,a1假设存在b满足0 : b ：ln时，且b , f - (b)：0,24故当a 0时，导

5、函数f (x)存在唯一的零点，(H)由(I)知，可设导函数f (x)在(0,；)上的唯一零点为X。，当 x (0, X0)时，f (x) ：；0 ,当 x (x?：)时，f (x)0 ,故f (x)在(0,xj单调递减，在(冷：)单调递增，所欲当x =x0时，f (x)取得最小值，最小值为f(xJ ,由于2e2x° -旦=0 ,x0a22所以 f(x0)2ax0 aln 2a aln .2x0aa2故当 a 0 时，f (x)2a aln .a题型二、恒成立求参之隐极值点代换a +1例题 1已知函数 f (x) =a?ex+ -2(a+1)(a > 0).x(I)当a=1时，求

6、f (x)在点(1 , f (1)处的切线方程;(n)若对于任意的 x ( 0, + g),恒有f (x)>0成立，求a的取值范围.例题 2设函数 f(x)=(x_a)2lnx, a ：= R(1)若x=e为函数的极值点，求实数 a的值若对任意的x，(0,3e,恒有f(x) W4e2,求实数a的取值范围题型三：隐极值的值域问题x - 2 xx例题(I)讨论函数f(x)=pe的单调性，并证明当x>0时，(x2)e +x + 2a0;x 2(II)证明：当a，0,1)时，函数g x =xe _ax_a(x 0)有最小值.设g x的最小值为h(a),x求函数h(a)的值域. x 2 x【解析】证明：f x *2°f x 二 exX24x 22(x+2)2 xx e2(x+2),-2.-2, u 时，X 0f x在-2和-2 , :-上单调递增x>0 时，ex > f(0 > -1x +2 x -2 ex x 20(i x2xe a x -2x e axa g x4xx xex -2ex 亠 ax 亠2ax -2 xe ax 2亠 3xx _2由知，当x 0时，f xAx _2x +2的值域为-1, ,只有一解.使得挣，円0，2】当x (0, t)时g (x) < 0 , g(x)单调减；当X(t,；