青海大学 化工应用数学 拉普拉斯变换

1、第四章 拉普拉斯变换本章主要内容u 拉普拉斯变换拉普拉斯变换u 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换u 利用拉普拉斯变换求解微分方程利用拉普拉斯变换求解微分方程4.1 定义和性质1.拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义2.拉普拉斯积分的收敛条件拉普拉斯积分的收敛条件3.求拉普拉斯变换的方法求拉普拉斯变换的方法4.拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质1. Laplace 变换的定义( )0f tt 设函数当时有定义，而且积分( )0ptf t edtp在 的某一域内收敛。p积分所得为 的函数。F(p)=( )0ptf t edt记为( )f t则称此式为函数的拉普拉斯变换式( ) ( )F pL f t

2、( )( )( )( )F pf tf tF p为的拉氏变换，为的拉氏逆变换1( ) ( )f tLF p( )0f tt 设函数当时有定义，而且积分p积分所得为 的函数。象函数象原函数一些常用函数的拉普拉斯变换 例例1 求单位阶跃函数 的拉氏变换 1(0)H tt解解 011( )Re00ptp tH tedteppp 111H tpp 2常用函数的拉氏变换例例2 求函数 的拉氏变换 ( )stf te.sR解解 ()001( )stptp s tf te edtedtRe psps 1steps 例例3 求单位斜坡函数 的拉氏变换 000ttt H ttt解解 200111( )00ptp

3、 tptttedtteedtRe pppp 21( )( )ttH tp 例例4 求正弦函数 的拉氏变换 ( )sin)f ttR ( 00020201( )sinsin1sincos0coscossin0ptptptptptptptf ttedttdepetetdtptdepetetdtp 解解 则22200sinsinptpttedttedtpp所以 22sin0tRe pp 即22sin tp同理可得22cosptp如 22sin204tRe pp 2cos309ptRe pp 1 1221122 L( )( )( )( )A f tA f tAF pA Fp一 线性性质3.Laplac

4、e 变换的性质变换的性质其中A1，A2为常数。)0()()( fppFtf )0()0( )0( )0()()( )1()2(21)( nnnnnnfpffpfppFptfL二 微分性质1）函数导数的拉氏变换特别地,当(1)(0)(0)(0)(0)0nffff时,( )( )( )nnftp F p 2sin cos01pLtpp 221111pppp 2）拉氏变换式对参数P的导数f(t)F(p),L若(n)f(t)( t)( )nnndLFpLf tdp则，2）拉氏变换式对参数P的导数22221tcos cos ()1(1)ddppLtLtdpdp pp tcos Lt利用导数性质求解：22

5、211t()2(2)ttddL eL edpdp pp 2ttL e和即01( ) ( )tLfdL f tp三 积分性质四 相似性定理五 位移定理：六 延迟定理： ( )()ate f tF paLt =Lu(t-a)f(t-a)=ep) (paF（ ）1 ()()pf atFaa(t)tat =0tafa若函数（ ）t =u(t-a)f(t-a)则 （ ）七 周期函数的象函数taf(t+a)=f(t)f若 （ ）是一个周期为 的周期函数，即(1)00f(t)(t)e(t)enaptptnanLfdtfdt00ee(t)apnaptnfdt01e(t)1 eaptpafdt八 初值定理和终值

6、定理0L ( )( ),lim( )(0)lim( )lim( )1)设且存在，则ptpf tF ppF pff tpF p初值定理00L ( )( ),lim( )( )lim( )lim( )2)设且存在，则 ttpf tF pf tff tpF p终值定理4.2 Laplace逆变换的求解方法关于 t 的微分方程 关于 p的代数方程关于 p的代数方程 原微分方程的解Laplace 变换 Laplace 变换的反演一 线性性质1.拉普拉斯逆变换的性质二 位移性质1 L ()( )atF pae f t111221122 L ( )( )( )( )AF pA FpA f tA f t三 延

7、迟性质1.拉普拉斯逆变换的性质四 相似性质1L e(p)=u(t-a)f() t-apaF11 L()()pF apfaa五 微分性质1.拉普拉斯逆变换的性质六 积分性质1 L ( )( 1)( )nnnFpt f t 11 L ( )d (t)F uuft例 已知 11F pp p求( )f t解 11111F pp ppp所以 1tf te 1,(P)stf teFPS11LP2.梅林-傅里叶定理1( )( )2jptjf tF p e dpj F(p)=( )0ptf t edt利用拉氏变换表可以求解。在系统分析问题中，在系统分析问题中，F(p)常具有如下形式：常具有如下形式：式中式中A

8、(p)和和B(p)是是p的多项式，的多项式， B(p)的阶次较的阶次较A(p)阶次要高。阶次要高。 对于这种称为有理真分式的象函数对于这种称为有理真分式的象函数 F(p)，分母，分母 B(p) 应首先应首先进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到 F(p) 的拉氏反变的拉氏反变换函数。换函数。 ( )( )A pF pB p3.部分分式法 将分母将分母 B(p) 进行因子分解，写成：进行因子分解，写成：式中，式中，ai为为B(p)的实零点或虚零点，的实零点或虚零点， ( )( )(p a )iniiA pF pB piiina为 的零点个数， 为待定系数

9、。11(p a )(n1)!iina tiiniiiLte例题例题5-13 求求11(p a )(n1)!iina tiiniiiLte21(p)(p 1)Fp的逆变换 221(p 1)p+p1ABCFPpP解：设11ABC 可得：，2-111=+pp1p上式iii-1a =0n =1=-1p对这项而言，1F(p)f(t)1t etL 例 求 的原函数3242936( )81PPPF PP解322222293611( )(3)(3)(9)2(3)2(3)393(3 )PPPF PPPPPPPPP因此原函数为tteetftt3sin313cos)(21)(33 此时，此时，F(p)总可以展成简单

10、的部分分式之和。即总可以展成简单的部分分式之和。即 1212( ).( )()()()nnAAAA pF pB ppppppp0nkkkApp如何求得如何求得A1、 A2 An这次系数？这次系数？4.海维赛德法海维赛德法k12kkk12lim( )=()( )lim()().()()()()knknA pppppB pAAApppppppppppppp等式左边右边求出。即求出。即k()lim( ) lim( )kkkppppppAA pB p1()1( )()nkkkkA pF ppp B p1()( )()knp tkkkA pf teB p求出。即求出。即1()()kkkAA pB p例题

11、例题1 求求F(p)的拉氏反变换，已知的拉氏反变换，已知 22bpF ppa由海维赛德法，得由海维赛德法，得12,pai pai pai 1()( )()knp tkkkA pf teB p因此因此121212()()( )()()p tp tA pA pf teeB pB p12121222p tp tbpbpeepp()cos2iia ta tbeebat 12( )( )( )F pF pFp设设P1是是B（p）的）的m阶零点，阶零点，pm+1,pn是是B（p）的其余）的其余互异零点，则互异零点，则F(p)的一般表达式可以分成两部分，为的一般表达式可以分成两部分，为121mm-11111

12、2212( ).()()()( ).mmmnmmnAAAF pPPPPPPAAAFpPPPPPP111111( ) ( )lim()(1)!( )mmptmppdA pLF pppemdpB p对对F(p)等式两边同乘以等式两边同乘以(P-P1)mm1112111111(P)(P).mmmmmnmnAPPAA PPPPABAAPPPPPPPP（）（）+.+（）（）（）1111( )lim()( )mppA pPPAppB p令，1121( )lim()( )mppdA pPPAppdpB p对上式求导，令，11m111( )lim()(1)!( )mmmppdA pAppmdpB p逐次求导，

13、例题例题3 已知已知F(p)，求，求L- -1F(p)。 221 2(1)pF ppp解解1,23,40,1ppm=21222011 2 ( )lim(2 1)!(1)ptpdpL F ppedppp222111 2lim(1)(2 1)!(1)ptpdppedppp5.卷积定理12011()11tttLedtepp 4.3 拉普拉斯变换应用举例一 步骤常微分方程初始条件常微分方程初始条件L变换代数方程代数方程降阶常微分方程降阶常微分方程解方程解方程象函数象函数进行L逆变换象原函数象原函数1.求解常微分方程12( )(0)(0)a ya yyf tyAyB(1)(1)利用微分性质利用微分性质原

14、方程化为：原方程化为：212( )(0)(0)( )(0)( )( )a p y ppyyapy pyy pF p1.求解常微分方程12( )(0)(0)a ya yyf tyAyB(2)(2)解出解出 ( )( )( )A py pB p(3)(3)求出拉氏逆变换。求出拉氏逆变换。 (4)(4)得到得到y y（t t） 利用拉氏变换解微分方程利用拉氏变换解微分方程2000 ( )( )( )( )( )( )( )L x ts X PxL xtsX Ps xx 微微分分定定理理：( ) ( )X PL x t 22230041019( )( )( )( )PPX PP xxX PPP 例例设

15、设对等式两边进行拉氏变换并考虑初始条件对等式两边进行拉氏变换并考虑初始条件431030203( )( )sincos( ), ( )x tx tttxx 例例222222331041494( )()()()()PPX PPPPPP2230( )sinsincos()x tttt t设设32225660202600506212615423231540( )( )( )( ), ( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )()()()ttyty ty tyyY pL y tpY pp yypY pyy teeY ppppY pp ppptpp 例题：2.求解方程组)3)0(

16、, 1)0(72102222zyezydtdzezydtdytt解 方程两边进行拉普拉斯变换10( ) 12 ( )2 ( )27( )32 ( )( )2sy py pz ppsz py pz pp 利用拉氏变换解微分方程组利用拉氏变换解微分方程组例例设设对等式两边进行拉氏变换对等式两边进行拉氏变换2222222121122111121111211222( ) ( ),( ) ( )Y( )( )( )( )Y( )( )( )( )( )()()() ( )() ( )()() ( ) ()( )X sLx sY sL y ssssX ss X sY ssssssX ss Y sX ssY ss ssssY ss sX ss ss sY ssX ss 2222222222111211111111111111101111( )()()()()()( )()()tttsssssX ss ss ss ssssss ss ssx tt t ety tet es 2t( )( )( )( )2( )( )2 ( )( )tytxtx ty teytxty tx t 设初值为设初值为0 3.求解线性差分方程5-24例题2221111(