2019年高考数学(理科)一轮【学案14】导数在研究函数中的应用(含答案)

1、2019年高考数学（理科）一轮【学 案14】导数在研究函数中的应用 （含答案）高考数学精品复习资料2019.5学案14导数在研究函数中的应用0导学目标：1.了解函数单调性和导数的关 系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的 单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函 数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般 不超过三次)及最大(最小)值.遵前准备区回生蔓材卫实基里自主梳理：1 .导数和函数单调性的关系：(1)若f(x)>0在(a, b)上恒成立，则f(x)在 (a, b)上是函数，f'(x)>0的解集与定义 域的交集的对应

2、区间为 区间；(2)若f(x)<0在(a, b)上恒成立，则f(x)在 (a, b)上是函数，f'(x)<0的解集与定义 域的交集的对应区间为 区间；(3)若在(a, b)上，f' (x)R0,且 f' (x)在(a, b)的任何子区间内都不恒等于零 ？ f(x)在(a, b) 上为函数，若在(a, b)上，f' (x)W0,且 f'(x)在(a, b)的任何子区间内都不恒等于零 ？ f(x)在(a, b)上为 函数.2 .函数的极值(1)判断f(X0)是极值的方法一般地，当函数/（x）在点X0处连续时，如果在X0附近的左侧，右侧，那么於0）

3、是极大值；如果在X0附近的左侧,右侧，那么於0）是极小值.（2）求可导函数极值的步骤求，（X）；求方程 的根；检查/住）在方程的根左右值的符号.如果左正右负，那么/（X）在这个根处取得 ;如果左负右正，那么小）在这个根处 取得.I自我检测】1.已知）的定义域为R,7（x）的导函数，（x）的图象如图所示，则A./）在x=l处取得极小4B.於）在x=l处取得极大值C.於）是R上的增函数(L +°°)D.於）是（一8, 1）上的减函数,上的增函数2. （2009广东）函数於）=（x3）ex的单调递增区间是B. (0,3)A. (一8, 2)C(1,4)D.(2, +oo)3. (

4、20xx济宁模拟)已知函数y=f(x),其导 函数y=f' (x)的图象如图所示，A.在(一8, 0)上为减函数B.在x=0处取极小值C.在(4, +8)上为减函数D.在x= 2处取极大值4.设 p: f(x) = x3+2x2+ mx+ 1 在(一8)十 °°)内单调递增)q: m>45则p是4的()3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. (20xx福州模拟)已知函数f(x) = x3 + ax2+ bx+a2Ex =遑堂活动区1处取极值10,则f(2) =突破恚点研析热点探究点一函数的单调性啰J 1 已知 aG

5、R,函数 f(x)=( x2 + ax)ex(x e R, e为自然对数的底数).(1)当a= 2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)能否为R上的单调函数，若能, 求出a的取值范围；若不能，请说明理由.变式迁移1 (2009浙江)已知函数f(x) = x3 + (1 a)x2 a(a+2)x+b(a, bGR).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的 切线斜率是3,求a, b的值；(2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a 的取值范围.探究点二函数的极值啰2 2 若函数 f(x) = ax3 bx +

6、4)当 x = 2时, 函数f(x)有极值4.3(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点，求 实数k的取值范围.变式迁移2设x=1与x = 2是函数f(x) = aln x+bx2 + x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x=1, x = 2是函数f(x)的极大值 点还是极小值点，并说明理由.探究点三求闭区间上函数的最值布J 3 (20xx六安模拟)已知函数f(x)=x3+ ax2+bx+c)曲线y=f(x)在点x= 1处的切线为2-l: 3x y+1 = 0)右 x=2时)y=f(x)有极值.3(1)求a, b, c的值；(2)求y=f(x

7、)在 3,1上的最大值和最小值.变式迁移 3 已知函数 f(x) = ax3 + x2 + bx(其中常数 a, bGR), g(x) = f(x) + f' (x)是奇 函数.(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2 上的最大值和最小值.渗透教学思想分类讨论求函数的单调区间-、一 , 一1 C例(12分)(2009辽宁)已知函数f(x) = x2ax+(a 1)ln x, a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：若a<5)则对任意xi)X2G(0)+J Xi f x2°°), xi#x2)有>一1

8、.x1x2【多角度审题】（1）先求导，根据参数a的值 进行分类讨论；（2）若x1>x2）结论等价于f（x1） + x1>f（x2）+x2）若 x1<x2）问题等价于 f（x）+x1<f（x2） + x2）菽问题等价于y=f（x） + x是电调增函数.【答题模板】+ °°).x2 ax+ a 1(1)解f(x)的定义域为(0,/a 1f (x) = x a +=xx 1x+ 1 a x.2 分x 1 2若 a1 = 1,即 a=2 时，f (x)=x故f(x)在(0, +oo)上单调递增.若a1<1,而a>1,故1<a<2时，则

9、当x G (a1,1)时)，(x)<0;当 xG(0, a1)及 xG (1, +-)时,f' (x)>0,故 f(x)在(a1,1)上单调递减，在(0, a1), (1, +8)上单调递增.若a 1>1,即a>2时，同理可得f(x)在(1, a 1)上单调递减)在(0,1), (a1, +8)上单调递增.6分(2)证明 考虑函数g(x) = f(x)+x1 9a 1 xx-= 2x2ax+(a1)ln x + x.则g' (x) = x (a1) + ax1)2 (a1)= 1 一 ( .a1 1)2.由于 1<a<5)故 g' (

10、x)>0)即g(x)在(0)+ 00)上单调递增)从而当 x1>x2>0 时)有 g(x1)一 g(x2)>0)即 f(x1)一f(x2) + x1 x2>0)J x1 f x2八故>1.10 分x1x2f x2 f x1=>x2 x1八一,，f x1 f x2当0<x1<x2时，有1.综上)若 a<5)对任意 x1, x2G(0)+°°),f x1 f x2八x1/x2有 x1_x2 >1.12 分【突破思维障碍】(1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数 大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结 为一个一

11、元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得 到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的 标准；(2)利用导数解决不等式问题的主要方法就 是构造函数，通过函数研究函数的性质进而解决 不等式问题.课堂小结1 .求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x),令f'(x)=0,求出它在定义域 内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点) 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序 排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间 分成若干个小区间；(4)确定f'(x)在各个开区间内的符号，根据 f' (x)

12、的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间 内的增减性.2 .可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x0 一定满足f' (x0) = 0)但当f' (xi)=0时)xi不一定是极值点.如 f(x) = x3, f' (0)=0,但 x = 0不是极值点.(2)可导函数y=f(x)在点x。处取得极值的充 要条件是f' (x0) = 0,且在x°左侧与右侧f'(x) 的符号不同.3 .函数的最大值、最小值是比较整个定义 区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值 点附近的函数值得出来的.函数的极值可以有多 有少，但最值只有一个，极值只能在区间

13、内取得， 最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值， 有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值 只要不在端点必定是极值.4 .求函数的最值以导数为工具，先找到极 值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值.课后蟋习曜-_蜂规范善(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1. (20xx大连模拟)设f(x), g(x)是R上的可 导函数)f' (x)、g' (x)分别为f(x)、g(x)的导函 数，且 f，(x) g(x) + f(x)g，(x)<0,贝U当 a<x<b 时，有()A. f(x)g(b)>f(b)

14、g(x)B. f(x)g(a)>f(a)g(x)C. f(x)g(x)>f(b)g(b)D. f(x)g(x)>f(a)g(a)2.函数f(x)的定义域为开区间(a, b),导函数 f'(x)在(a, b)内的图象如图所示,则函数 f(x) 在开区间(a , b)内有极小值点 ()A. 1个C. 3个D. 4个3. (20xx嘉兴模拟)若函数y=a(x3 x)在区间 T，乎上为减函数，则a的取值范围是 33()A. a>0B. 1<a<0C. a>1D. 0<a<11 ，4,已知函数 f(x) = 2x4 2x3+3m)xGR, 若

15、f(x)+940恒成立)则实数m的取值范围是）A3-3A.m>2B.m>2-3-3C.mW 2D.m<25.设 aW R,若函数 y=eax+3x, xW R 有 大于零的极值点，则（）A. a> 3B . a< 3八1c1C. a> 3D a< 3题号12345答案八填空题(每小题4分，共12分) x2 + a,6 . (2009辽丁)右函数f(x)= 4在x = 1处X I 1取极值，则a=.7 .已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如右 图所示，给出以下结论：函数f(x)在(一2, 1)和(1,2)上是单调递 增函数；函数f(x)在(

16、一2,0)上是单调递增函数，在 (0,2)上是单调递减函数；函数f(x)在1处取得极小值;函数f(x)在x= 1处取得极大值)在xx = 0处取得极大值f(0).则正确命题的序号是.(填上所有正确命题的序号).8,已知函数 f(x) = x3+ mx2+(m + 6)x+1 既 存在极大值又存在极小值，则实数 m的取值范 围为.三、解答题(共38分) 2x+1 ,一9. (12分)求函数f(x) = x=的极值.10. (12分)(20xx秦皇岛模拟)已知a为实数, 且函数 f(x)= (x24)(x a).(1)求导函数f' (x);(2)若 f(1)=0,求函数 f(x)在 2,2

17、上的 最大值、最小值.11. (14分)(20xx汕头大K拟)已知函数f(x) = x3+mx2+nx2的图象过点(一1)6),且函数 g(x) = f' (x) + 6x的图象关于y轴对称.(1)求m, n的值及函数y=f(x)的单调区间；(2)若a>0)求函数 y=f(x)在区间(a1)a + 1)内的极值.答案自主梳理1 .增增 (2)减减增减2 .(1)f (x)>0f' (x)<0f' (x)<0 ff (x)>0(2)f(x) = 0f'(x)=0极大值极小值自我检测1. C 2.D 3.C 4.C5. 18解析 f&#

18、39; (x)=3x2+2ax+b)由题意f1;*即 1 + a+ b+a?= 10,3+2a+b=0,得 a = 4,b=11或a= 3,b=3.但当 a= 3 时)f' (x)= 3x2 6x+3>05 故不存在极值，a=4, b= 11, f(2)=18.课堂活动区1例1i解题导引(1)一般地，涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题，往往可 以借助导数这一重要工具进行求解.函数在定义域内存在单调区间，就是不等式f' (x)>0或f' (x)<0在定义域内有解.这样就可以把问题转 化为解不等式问题.(2)已知函数在某个区间上单调求参数问题，

19、 通常是解决一个恒成立问题，方法有分离参数 法，利用二次函数中恒成立问题解决.(3)一般地，可导函数f(x)在(a, b)上是增(或 减)函数的充要条件是：对任意xG(a, b),都有 f(x)A0(或 f'(x)W0),且 f(x)在(a, b)的任 何子区间内都不恒等于零.特别是在已知函数的 单调性求参数的取值范围时，要注意“等号”是 否可以取到.解当 a=2 时，f(x)=( x2 + 2x)ex, ，(x)=( 2x+2)ex+( x2+2x)ex=( x2+ 2)ex.令 f (x)>0,即(x2+2)ex>0,:西>0,.一x2+2>0,解得一V2&

20、lt;x<V2. 函数f(x)的单调递增区间是(也，柩.(2)二函数f(x)在(一1,1)上单调递增,.,f (x户0对xG (1,1)都成立. . f (x)= x2+ (a 2)x+ aex/.-x2+(a-2)x + aex>0 对 xG (1,1)者B 成立. ex>0)/.-x2+(a-2)x+a>0 对 xG ( 1,1)都成即 x2(a2)xaW0对 xG (1,1)恒成立.设 h(x) = x2 (a2)x a h-1<0 a3只须满足h 1Vo ，解得a>3.(3)若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)W0对xG R都成立，即x2+(2)

21、x+ aex< 0 对 x G R 都成立. ex>0,，x2(a 2)x aA0 对 xG R 都成. A= (a2)2 + 4aW0,即 a2 + 4W0,这是不 可能的.故函数f(x)不可能在R上单调递减.若函数f(x)在R上单调递增，则f' (x户0 对 xG R 都成立，即x1 所以a的取值范围为(一5, -2)U( 2, 1).+(a 2)x+aexR0对 x G R都成立. ex>0,，x2(a 2)x aW0 对 xG R 都成而x2 (a2)x aw 0不可能恒成立)故函数f(x)不可能在R上单调递增.综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函 数.变

22、式迁移1解(1)由题意得f'(x)=3x2+ 2(1 a)x a(a + 2),又 f 0 =b=0 ff 0 = aa+2 = 3 'x2 =a+23解得 b=0, a= 3 或 a=1.(2)由 f' (x)=0,得 xi=a, 又f(x)在(一1,1)上不单调)1<a<1)即a+2a% ca3a+2T< 3 <1, 或oa-十,31<a<1,5<a<1,解得 1 或 1a#一2,a'2【例2】解题导弓本题研究函数的极值问题.利用待定系数法，由极值点的导数值为 0, 以及极大值、极小值，建立方程组求解.判断函

23、数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点， 所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大 值还是极小值.解(1)由题意可知f(x)=3ax2b.f' 2 =12a-b=0于是4f 2 =8a-2b + 4=-3a=3b= 41 c故所求的函数解析式为f(x)"x3 4x + 4.3(2)由(1)可知 f(x)=x2 4=(x 2)(x+2).令，(x) = 0 得 x = 2 或 x= 2,当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表 所示：x(oo)一2)一2(-2,2)2(2, 十OO)f (x )十0一0十f(x)单

24、调递 增极 大单调递 减极 小单调 递增f(x)有极大值28,4当x = 2时，f(x)有极小值一3, 所以函数的大致图象如图， 故实数k的取值范围为4 283, 3变式迁移 2 解（1）f'（x） = a+ 2bx+1, xf' 1 =a+2b+1 = 02-f，2=a+4b+1 = 0 .解得 a= 3，b1=6.2x（2），（x） £+ （- 3）+1=-x1 x 23x函数定义域为(0, +°0),列表x(0,1)1(1,2)2(2, 十OO)f (x )一0十0一f(x)单调 递减极小 值单调 递增极大 值单调递 减，x= 1是f(x)的极小值点)

25、x=2是f(x)的极 大值点.1例3解题导引设函数f(x)在a, b上连 续，在(a, b)内可导，求f(x)在a, b上的最大值 和最小值的步骤：(1)求函数y=f(x)在(a, b)内的极值.(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数 值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值.解(1)由 f(x) = x3+ax2+bx+c)得 f' (x) = 3x2 + 2ax+ b,当x= 1时，切线l的斜率为3,可得2a + b =0;当x = 2时，y=f(x)有极值，则，2=0, 33可得 4a+3b + 4=0.由解得a=2)b= 4)又切点的横坐标

26、为x=1,，f(1) = 4.，1 + a+b + c=4. c= 5.(2)由(1),得 f(x) = x3 + 2x24x+5,，(x)=3x2+4x 4.令 f' (x) = 0)得 x= 2或 x = 2)3，f'(x)<0的解集为一2, 2 ,即为f(x)的减3区间. 3, 2)、2, 1是函数的增区间.3一2 95又 f(3)=8, f(2)=13, f3=95,f(1) = 4, 2 2 7y=f(x)在3,1上的最大值为13,最小值由95为27.变式迁移3解(1)由题意得f'(x)=3ax2+ 2x + b.因此 g(x) = f(x)+f'

27、; (x) = ax3+(3a+1)x2 +(b+2)x+b.由为函数g(x)是奇函数)所以g(x)= g(x),即对任意实数x, 有 a( x)3+ (3a + 1)( x)2 +(b + 2)(-x)+b=ax3+ (3a+1)x2+(b+2)x+ b)从而 3a+1 = 0)b=0)解得 a= t, b=0)3 1c c因此f(x)的表达式为f(x)=-x3 + x2.31 。 一(2)由(1)知 g(x)= 3x3+2x,所以 g' (x)= x2 + 2,令 g' (x) = 0,解得Xi = 也)X2 =也)则当 x< V2或 x>V2时)g'

28、(x)<0)从而g(x)在区间(8,2, +oo)上是减函数；当一42<x<y2时)g' (x)>0)从而g(x)在区间(一爽，爽)上是增函数.由前面讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x=1,也，2时取得，而 g(i)=5, g(/)=平，g(2)=3. 333因此g(x)在区间1,2上的最大值为g(血)=4,23，4最小值为g(2)=3.课后练习区1. C 2.A 3.A 4.A 5,B6. 3解析.千(x) = (df)'x+ 1x2 + a 'x+1 x2+a x+1 'x+1 2x2+ 2x ax+1 2 

29、9;又.x=1为函数的极值，. f' (1) = 0.1 + 2X1a=0,即 a=3.7 .解析观察函数f(x)的导函数f'(x)的图象，由单调性、极值与导数值的关系直接判断.8 .(一巴3)U (6, 十 *解析 f' (x)=3x2+2mx+m + 6=0 有两个 不等实根，则 a= 4m212X(m + 6)>0,. m>6 或 m< 一3.f' (x)=2x+1(x2 + 22 x+2 x1x2+2 2由 f' (x) = 0 得 x = 4.2.1. (4分)当 xG (oo, 2)时 f'(x)<0,当 xG (2,1) 时f' (x)>0,故x= 2是函数的极小值点，故 f(x)的极小值为 f( 2)= 12，(8 分)当 xG (2,1)时 f'(x)>0,当 xG (1, + oo) 时