2019_2020学年高中数学复习课(一)常用逻辑用语讲义(含解析)新人教A版选修1_1

1、复习课（一）常用逻辑用语常考点一通过选择题、填空题的方式设置一些多知识点、知识跨度大的试题，考查命题及其关系，以及对命题真假的判断.考点精要四种命题的相互改写交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题.注意互为逆否命题的两个命题，它们具有相同的真假性.典例将下列命题改写成“若 p,则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否 命题并判断它们的真假.（1）垂直于同一平面的两条直线平行；（2）当mr<0时，方程 mX x+n= 0有实数根.解（1）将命题写成“若

2、p,则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行.它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面.（假命题）否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行.（假命题）逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面.（真命题）（2）将命题写成“若p,则q”的形式为：若 mr<0,则方程mXx+n=0有实数根. 它的逆命题、否命题和逆否命题如下： 2逆命题：若万程 mxx+n=0有实数根，则 m<0.（假命题）否命题：若 mr>0,则方程m>2x+n=0没有实数根.（假命题）逆否命题：若方程 mX

3、 x+n= 0没有实数根，则 mri>0.（真命题） 类题通法简单命题真假的判断方法直.法卜闲布件和一论，诙用命剧所涉及的刻识进行推理用证） H -反例 需要堪确地写出所给命题的1，等价有题 JSon-:T寻一等价命题题组训练1.命题"若函数f（x）=x2ax+3在1 , +8）上是增函数，则aw2”的否命题（）A.与原命题同为假命题B.与原命题一真一假C.为假命题D .为真命题解析：选D原命题显然为真，原命题的否命题为“若函数f（x）=x2 ax+3在1 , 十8）上不是增函数，则 a>2"，为真命题，故选 D.2.下列命题中为真命题的是 （）A.命题“若a&

4、gt;b,则3a>3b”的逆命题B.命题“若x2<1,则xwi”的否命题C.命题“若x=1,则x2x = 0”的否命题1 1D.命题“若a>b,则二</的逆否命题 a b解析：选A 对于A,逆命题是“若3a>3b,则a>b"，是真命题；对于B,否命题是“若 x2>1,则x>1"，是假命题，因为 x2>1? x>1或x<1;对于C,否命题是“若 /1,则x2 xw。"，是假命题，因为当x=0时，x2-x= 0;对于D,逆否命题是“若1U,则awb”， a b是假命题，如a= 1, b=- 1.故选A.

5、3.下列说法中错误的个数是 （）命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”命题“若x>1,则x 1>0”的否命题是“若 x<1,则x1W0”命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”命题“ x= 4是方程x2+ 3x-4=0的根”的否命题是“ x=-4不是方程x2+ 3x 4 =0的根”A. 1B. 2C. 3D . 4解析：选C错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”； 正确；错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；错误，否命题 是“若一个数不是4,则它不是方程x2+3x 4=0的根”.常考点二充分条件与

6、必要条件充要条件是数学的重要概念之一， 在数学中有着非常广泛的应用， 在高考中有着较高的 考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、 必要条件、充要条件的判 断.考点精要充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p? q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p? q, q? p,则p是q的充要条件.典例(1)(2017 浙江高考)已知等差数列an的公差为d,前n项和为则“d>0” 是"&+S6>2S” 的()A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件(2)(2017 天津高考)设。C R,则“ 0 -1

7、2 是 “sin 0 <g” 的()A.充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析(1)因为an为等差数列，所以S4+S6=4a1 + 6d+6a1 + 15d=10a1 + 21d,2G =10a1+20d,2&=d,所以 d>0? S4+S6>2S5.(2)法一：由 0 -12 <12,彳导 0<0 <看，故 sin 0 <2.由 sin 0 <2,得一葺+2卜兀 <0 <-6-+ 2ku ,kC Z,推不出“0 -12 4” .故“9 12卜12”是sin 0 <2”的充分而不

8、必要条件.法二：9 -77 <焉？ 0< 0 < sin 0 <1,而当 sin 0 <1 时，取 ° =!"，一套一器121 126226612兀 兀="4>12.故“ 0 12 令”是“sin 0 <2”的充分而不必要条件.答案(1)C(2)A类题通法充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若 p则q,若q则p的真假.(2)等价法：利用A?B与税B?税AB?A与税A?税B,A?B与税B?税A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：若A? B,则A是B的充分条件或B是A的

9、必要条件；若A= B,则A是B的充要条件.题组训练1 .设四边形 ABCD勺两条对角线为 AC BQ则“四边形 ABC四菱形”是“ AdBD的()A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 A 若四边形 ABC师菱形，则 ACL BQ反之，若 AC± BD则四边形 ABCDF 一定是菱形，故选 A.2 .设“，3是两个不同的平面，m是直线且n? a , “m/ 3 ”是“ a / 3 ”的()A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选B当m/ 3时，过m的平面a与3可能平行也可能相交， 因而m/

10、3 ? / a / 3 ；当a / 3时，a内任一直线与 3平行，因为m? a ,所以m/ 3 .综上知，“m/ 3 ” 是“ a / 3 ”的必要不充分条件.3 .对于任意实数X,X表示不小于x的最小整数，例如1.1 > =2, 1.1 > =- 1, 那么 “I x y|<1 ”是 “x= y” 的()A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 B 当 x= 1.8 , y= 0.9 时，满足 | x y|<1 ,但 <1.8 > =2, <0.9=1,即X 丰y；当x=y时，必有 |xy|<1

11、,所以"I xy|<1"是"x= y"的必要 不充分条件，故选 B.含有逻辑联结词、量词的命题主要以选择题、 填空题为主，考查含有逻辑联结词的命题的真假，特称命题、全称命题的真假，以及全称命题，特称命题的否定.考点精要1.含有逻辑联结词的命题与集合之间的关系命题形式p且qp或q非p集合运算An B=x| xe A 且 xe BAU B= x| xC A或 xC B?UP= x| xC U且 x?F4 .全称命题、特称命题的否定全称命题"？ xC Mp(x)"的否定是"？ xoC M税p(x。)”，特称命题"？

12、 xoC M p(xo)的否定是“ ？ xe M税p(x)” .典例(1)已知命题 p： ? x1, xzCR f (x2)f(x1)( x2-x1)>0,则税 p是()A. ? x1, xzC R, f (x2) f (x1)( x2-x1) <0B.?x1,xzCR, f (x2)- f (x1)(x2-x<) <0C?x1,xzCR, f (x2) f (x1)(x2x1)<0D.?x1,xzCR, f (x2) f (x1)(x2x1)<0(2)已知a与b均为单位向量，其夹角为0 ,有下列四个命题:pi：|a+b|>1 ?|，S：| a+b|&

13、gt;1 ?,'2兀3'兀6：| a b|>1 ?0，P4：| a b|>1 ?7t题组训练P3P4解析(1)已知全称命题P： ? XiR,f (X2) f (Xi)(X2Xi)。,则税 P：? Xi, X2C R, f (X2) f (xi)( X2-Xi)<0 ,故选C.其中的真命题是A. Pi, P4C. P2, P3(2)由 | a+ b|>i 可得：a2+ 2a b+b2>i,| a| = i, | b| = i, . . a - b>2.故 0 |0当。e |o, -3-时，a - b>- 2, | a+ b| 2= a2

14、+ 2a b+b2>i,即 | a+ b|>i ；由| a- b|>i 可得: a2-2a - b+ b2>i, / | a| = i, | b| = i, . . a b<2.故。e *，兀反之也成立.答案(i)C (2)A类题通法i.判断含有逻辑联结词的命题真假的方法(i)先确定简单命题P, q.(2)分别确定简单命题 p，q的真假.(3)利用真值表判断所给命题的真假.2.判断含有量词的命题真假的方法(i)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个X验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个

15、反例即可.(2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个X=Xo,使P(Xo)成立即可；否则，这一特称命题为假.(3)全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题.首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定.1.设命题p：函数y=sin 2 x的最小正周期为-2-；命题q：函数y=cos x的图象关于 兀 直线x=2对称，则下列判断正确的是 ()A. p为真B .税q为假C. pAq为假D . pV q为真解析：选C由题意p与q均为假命题，故 pA q为假.2 .命题“存在 xC R,使得x2+2x + 5

16、=0”的否定是 .解析：这里给出的是一个特称命题，其否定是一个全称命题.等于的否定是不等于.答案：对任意的 xC R,都有x2+2x+5w。3 .已知 p：点 M(2,3)在直线 ax-y+l = 0±, q：方程 x2+y2+x+y + a= 0 表示圆，p Vq是假命题，求实数 a的取值范围.解：当p是真命题时，2a 3+1 = 0,即a=1,所以当p是假命题时，awl;1当q是真命题时，1+14a>0,即a<2,1所以当q是假命题时，a>2.又pVq是假命题，所以p, q均为假命题，1一所以a>2且aw 1,二 1所以实数a的取值范围是2, 1 JU (

17、1 , +8).回扣验收特训1 .设xez,集合A是奇数集，集合 B是偶数集.若命题 p： ? xeA,2xeB,则()A.税 p： ? xCA,2xC BB.税 p： ? x?A,2xC BC.税 p: ? xCA,2x?BD .税 p： ? x?A,2x?B解析：选C 命题p是全称命题：？ xC M p(x),则税p是特称命题：？ xC M税p(x).故 选C.2 .命题 p：若 ab= 0,贝Ua=0；命题q：若a=0,贝Uab=0,贝U ()A. "p或q”为假B . “p且q”为真C. p真q假D . p假q真解析：选D由条件易知：命题 p为假命题，命题q为真命题，故p假q

18、真.从而“ p 或q”为真，“p且q”为假.3 .下列命题中，真命题是 （）A. ? X0C R, exo<0B. ? xC R,2X>x2C. a+b=0的充要条件是a=- 1D. a>1, b>1是ab>1的充分条件解析：选D :？ xCR, ex>0,，A错；.函数y = 2X与y = x2的图象有交点，如点（2,2）, 此时2X = x2, B错；当a=b=0时，a + b=0,而0作分母无意义，C错；a>1, b>1, 由不等式可乘性知 ab>1,，D正确.4 .设平面“与平面3相交于直线 m直线a在平面“内，直线b在平面3内，且

19、b，m，则 “ a，3 ” 是 “ab” 的（）A.充分不必要条件.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A先证“ “，3 ? ab”取值范围是（）A. （3,5）C.（一巴 3） U（5 , +oo）B . 3,5D . (8, 3 U 5 , +oo)解析：选Bp： m- 1<x<m+ 1, q： 2Vx<6.因为q是p的必要不充分条件，所以由得到q,而由q得不到p,所以可得rn- 1>2,K61>2,或1<6.解得3<mc 5.a ± 3 , a n 3 =m> b? 3 , bm,bX a .b±

20、; a；再证"ab? / a，3 ”.举反例，当 a/ mB寸，由b,m知a±b,此时二面角“-m3可以为（0 ,兀上的任意角，即 “不一定垂直于 3 .故选A.5 .下列有关命题的说法错误的是（）A.命题“若x21 = 0,则x=1”的逆否命题为“若 xw1,则x21W0”B. “x=1”是“ x23x+2 = 0”的充分不必要条件C.若集合 A= x|kx2+4x+4=0中只有一个元素，则 k= 1D.对于命题 p： ? x°C R,使得 x0+xc+1<0,则税 p： ? xC R,均有 x2+x+1>0解析：选 C A显然正确；当 x=1时，x

21、23x+2=0成立，但x23x+2 = 0时，x= 1 或x=2,故“ x= 1”是“ x2-3x+2= 0”的充分不必要条件，B正确；若集合 A=x|kx2 +4x+4=0中只有一个元素，则 k=0或k=1,故C错误；D显然正确.6.已知p:m- 1<x<m 1, q： （x 2）（ x 6）<0 ,且q是p的必要不充分条件，则7.命题“在 ABC中，如果/ C= 90° ,那么c2 = a2 + b2”的逆否命题是答案：在 ABO,若 c2wa2+b：则/ Cw90°8 .设p： x>2或x<2; q： x>2或x< 1,则税p

22、是税q的 条件.32解析：税 p： 3< x<2.q： - K x<2.因为税p?税q,但税q? /税p.所以税p是税q的充分不必要条件.答案：充分不必要9 .已知命题 p： “？ x 1,2 , x2-a>0",命题 q： “？ x0C R, x0+2ax0+2 a= 0”， 若命题“ p且q”是真命题，则实数 a的取值范围是 .解析：命题 p： “？ x 1,2 , x2-a>0"为真， .一2则awx , xe 1,2恒成立，所以 a<l.命题 q： "? xoC R, x2+2axo + 2 a=0"为真,则“4 a2 4(2 a) >0,即 a + a 2> 0”,解得 aw 2 或 a> 1.若命题“ p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(8, 2 U 1.答案：(一巴一2 U110 .已知p: