2019年河北省石家庄市高考数学一模试卷(文科)(b卷)

1、2019 年河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）（B 卷）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）已知集合 AxR|x+10，BxZ|x1，则 AB（）Ax|0x1Bx|1x1C0，1D12（5 分）若复数A（i 为虚数单位），则B（   ）C        

2、0;     D3（5 分）已知A（   ）B3            C              D34（5 分）下列说法中正确的是（）A若函数 f（x）为奇函数，则 f（0）0B若数列an为常数列，则an既是等差数

3、列也是等比数列C在ABC 中，AB 是 sinAsinB 的充要条件D若两个变量 x，y 的相关系数为 r，则 r 越大，x 与 y 之间的相关性越强5（5 分）已知平面向量 与 的夹角为A2B.1，且C.，则D.（    ）6（5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（x）f（2x），当 x0，1时，f（x）4x1，则A0（&#

4、160;  ）B1              C1           D（y7 5 分）设变量 x， 满足约束条件，则目标函数 zx+3y 的最小值为（）A8B6C4D38（5 分）已知圆 C 截两坐标轴所得弦长相等，且圆 C&

5、#160;过点（1，0）和（2，3），则圆 C的半径为（）AB8C5D第 1 页（共 21 页）9（5 分）已知椭圆，点 F 为左焦点，点 P 为下顶点，平行于 FP 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，且 AB 的中点为ABC10（5 分）已知函数，则椭圆的离心率为（   ）D的部分函数图象如图所示，点，则函数 f（x）图象的一条对称轴方程为（  

6、; ）ABCD（11 5 分）如图，某几何体的三视图都是边长为 1 的正方形，则该几何体的体积为（）12 5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且ABCD（，若 a10a11，则 Sn 取最小值时 n 的值为（）A10B9C11D12二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13（5 分）已知实数 x0，10，则 x 满足不等式 x

7、24x+30 的概率为14（5 分）已知双曲线 C：x24y21，过点 P（2，0）的直线 l 与 C 有唯一公共点，则直第 2 页（共 21 页）15 5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，O，O1 分别为底面 ABCD 和 A1B1C1D1线 l 的方程为（的中心，记四棱锥 O1ABCD 和 OA1B1C1D1&

8、#160;的公共部分的体积为 V，则体积 V 的值为16（5 分）已知函数，当 x0，1时，函数 f（x）仅在 x1 处取得最大值，则 a 的取值范围是三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12 分）已知ABC 的面积为，且内角 A、B、C 依次成等差数列（1）若 sinC3sinA，求边 AC 的长；（2）设 D

9、0;为边 AC 的中点，求线段 BD 长的最小值18（12 分）已知三棱锥 PABC 中，PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，PB4，PBC60°；（1）证明：平面 PAC平面 ABC；（2）设 F 为棱 PA 的中点，在 AB 上取点 E，使得 AE2EB，求三棱锥 FACE 与四棱锥 CPBEF 的体积之比19（12 分）东方商店

10、欲购进某种食品（保质期一天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）根据市场调查，该食品每份进价 8 元，售价 12 元，如果一天内无法售出，则食品过期作废，现统计该产品 100 天的销售量如表：销售量（份）天数151016201730182019102010（1）根据该产品 100 天的销售量统计表，求平均每天销售多少份？（2）视样本频率为概率，以一天内该产品所获得的利润的平均值为决策依据，东方商店一次性购进 17 或 18 份，哪一种得到的利润更大？20（

11、12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）上一点 P（x0，2）到焦点 F 的距离|PF|2x0第 3 页（共 21 页）（1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 P 引圆的两条切线 PA、PB，切线 PA、PB与抛物线 C 的另一交点分别为 A、B，线段 AB 中点的横坐标记为 t，求 t 的取值范围21（12 分）已知函数 f（x）lnx4ax

12、，g（x）xf（x）（1）若，求 g（x）的单调区间；（2）若 a0，求证：选修 4-4：坐标系与参数方程（22 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（为参数），x以坐标原点 O 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 l 的极坐标方程为（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）当 0r2 时，若曲线 C 与射线 l 交于 A，B 

13、;两点，求选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x）|1x|x+3|（1）求不等式 f（x）1 的解集；（2）若函数 f（x）的最大值为 m，正实数 p，q 满足 p+2qm，求的取值范围的最小值第 4 页（共 21 页）2019 年河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科） B 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出

14、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）已知集合 AxR|x+10，BxZ|x1，则 AB（）Ax|0x1Bx|1x1C0，1D1【分析】可求出集合 A，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax|x1；ABxZ|1x10，1故选：C【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算2（5 分）若复数A（i 为虚数单位），则B（   ）C             

15、0;D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 z，再由求解【解答】解：数，故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3（5 分）已知AB3C（   ）D3【分析】利用已知条件化简，通过两角和与差的三角函数化简求解即可【解答】解：已知 cos（tan2，+）2cos（），可得sin2cos，则 tan            3故选：B【点评】本题考查两角和与差的三角函数，诱导公

16、式的应用，考查计算能力第 5 页（共 21 页）4（5 分）下列说法中正确的是（）A若函数 f（x）为奇函数，则 f（0）0B若数列an为常数列，则an既是等差数列也是等比数列C在ABC 中，AB 是 sinAsinB 的充要条件D若两个变量 x，y 的相关系数为 r，则 r 越大，x 与 y 之间的相关性越强【分析】对于选项 A，B 给出反例可说明命题错误，C 由正弦定理可知

17、命题正确，D 由相关系数的定义确定其真伪即可【解答】解：A：只有当奇函数 f（x）的定义域中有 0 时，f（0）0，故 A 不正确；B：an0 时，B 不正确；C：ABabsinAsinB，故 C 正确；D：两个随机变量相关性越强，则相关系数 r 的绝对值越接近于 1，故 D 错误故选：C【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题5（5 分）已知平面向量 与 的夹角为A2B.1，且C.，则D.（ &#

18、160;  ）【分析】 根据条件可求出，解出即可【解答】解：向量 与 的夹角为，从而对           两边平方即可得出，且                   ；或 0（舍去）；故选：A【点评】考查向量数量积的运算及计算公式6（5&#

19、160;分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（x）f（2x），当 x0，1时，第 6 页（共 21 页）f（x）4x1，则A0（   ）B1              C1           Dff【分析】由已

20、知可得 （x）是周期为 4 的函数，再由 x0，1时，（x）4x1 求得的值【解答】解：f（x）f（2x），f（ ）f（ ）又 f（x）f（2x），f（2+x）f（x）f（x），则 f（4+x）f（2+x）f（x），f（x）是周期为 4 的函数，f（ ）f（4 ）f（ ）f（ ）f（ ）当 x0，1时，f（x）4x1，f（ ）f（ ）（）1故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性及周期性，考查数学转化思想方法，

21、考查计算能力，属于中档题（y7 5 分）设变量 x， 满足约束条件，则目标函数 zx+3y 的最小值为（）A8B6C4D3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值【解答】解：作出变量 x，y 满足约束条件，对应的平面区域如图：（阴影部分）由 zx+3y 得 y x+ ，平移直线 y x+ ，由图象可知当直线 y x+ 经过点 A 时，直线 y

22、0;x+ 的截距最小，此时 z 最小第 7 页（共 21 页）由，解得 A（2，2），代入目标函数得 z2+3×24即 zx+3y 的最小值为 4故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法8（5 分）已知圆 C 截两坐标轴所得弦长相等，且圆 C 过点（1，0）和（2，3），则圆 C的半径为（）AB8C5D【分析】根据圆 C&#

23、160;在两坐标轴上截得弦长相等，可得圆心 C 在直线 yx 或 yx 上，分类讨论，利用已知两点在圆上，列式即可求解【解答】解：圆 C 在两坐标轴上截得弦长相等，圆心 C 在直线 yx 或 yx 上，当圆心 C 在 yx 上时，设 C（m，m），半径为 R，则（m+1）2+m2（m2）2+（m3）2R2，解得：m1，R；当圆心 C 在 yx 上时，设

24、60;C（m，m），半径为 R，则（m+1）2+（m）2（m2）2+（m3）2R2，此时无解圆 C 的半径为故选：D【点评】本题考查圆的方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题第 8 页（共 21 页）9（5 分）已知椭圆，点 F 为左焦点，点 P 为下顶点，平行于 FP 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，且 AB 的中点为ABC，则椭圆的离心率为（  &

25、#160;）D【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2）由 AB 的中点为，可得 x1+x22，y1+y21由 PFl，可得 kPFkl 即可得出【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2）由   +  1，  +  1作差代入AB 的中点为，x1+x22，y1+y21PFl，kPFkl 由+1，+1+0，+0，可得：2bca2，4c2（a2c2）a4，化为：4e44e2+10，解得 e

26、2 ，0e1e故选：A“【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式、点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5 分）已知函数示，点的部分函数图象如图所，则函数 f（x）图象的一条对称轴方程为（   ）第 9 页（共 21 页）ABCD【分析】首先根据函数图象上的点的坐标，确定函数的关系式，进一步利用含糊是图象的性质的应用求出结果【解答】解：函数示，的部分函数图象如图所点根据函数的图象：f（0），整理得：2cos，解得：，当又：f（时，）0，解得：2cos（整

27、理得：2+  ）0，故：f（x）2cos（2x+），当 x时，f（）2当f（时，）0，解得：4故：f（x）2cos（4x），当 x时，f（）2第 10 页（共 21 页）故选：D【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型（11 5 分）如图，某几何体的三视图都是边长为 1 的正方形，则该几何体的体积为（）ABCD【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：由题意可

28、知几何体的直观图如图：是正方体去掉 2 个三棱锥的几何体，几何体的体积为：12×故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状12 5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且（则 Sn 取最小值时 n 的值为（），若 a10a11，A10【分析】由B9              

29、C11            D12知数列an为单调递增的等差数列，将 n 换为 n+1，两式第 11 页（共 21 页）作差可得 an+2+an+2n9，结合条件得到 a10 与 a11 与 0 的大小，即可得出 Sn 取最小值时 n 的值【解答】解：由等差数列前 n 项和的性

30、质，知数列an为单调递增的等差数列，将 n 换为 n+1 得，得，an+2+an+1n9，当 n9 时，a11+a100，又 a10a11，a110，a100，n10 时，Sn 取最小值故选：A【点评】本题考查数列的递推公式以及前 n 项和公式的应用，关键是得出数列an为单调递增的等差数列，属于中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13（5 分）已知实数 x0，10，则 x 满

31、足不等式 x24x+30 的概率为【分析】所有的试验结果的测度为 10，由 x24x+30 得，1x3，测度为 2，代入概率公式即可【解答】解：设事件 Ax|x24x+30，依题意，由 x24x+30 得，1x3，所以事件 A 测度为 2，又因为所有试验结果的测度为 10，所以 P（A） 故填： 【点评】本题考查了与长度有关的几何概型的问题，考查了几何概型的概率公式，一元二次不等式的解法，属于基础题14（5 分）已知双曲线&#

32、160;C：x24y21，过点 P（2，0）的直线 l 与 C 有唯一公共点，则直线 l 的方程为x±2y20【分析】先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l 与渐近线平行，满足 l 与 C有且只有一个公共点第 12 页（共 21 页）【解答】解：根据双曲线方程 x24y21 可知 a1，右顶点为（1，0），使 l 与 C 有且只有一个公共点的情况为：当

33、0;l 与渐近线平行直线 l 与 C 有唯一公共点，双曲线的渐近线方程为：x±2y0，过点 P（2，0）的直线 l 与 C 有唯一公共点，则直线 l 的方程为：y（x2）15 5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，O，O1 分别为底面 ABCD 和 A1B1C1D1即 x±2y20故答案为：x±2y20【点评】本题主要考查了双

34、曲线的简单性质考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用（的中心，记四棱锥 O1ABCD 和 OA1B1C1D1 的公共部分的体积为 V，则体积 V 的值为【分析】公共部分为上下对称的两个四棱锥组合成的几何体，计算四棱锥的第面积和高即可得出几何体的体积【解答】解：设 O1A 与 OA1 的交点为 P，O1B 与 OB1 的交点为 Q，显然 P，Q 分别是 O1A 和 O1B 的

35、中点，PQAB，PQ AB a，同理可得 PNAD，PN，MNCD，MN a，QMBC，QM，四边形 PQMN 是边长为 a 的正方形，又 O 到平面 PQMN 的距离为 AA1，V2VOPQMN2× ×（ ）2× 故答案为：，第 13 页（共 21 页）【点评】本题考查了棱柱的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题16（5 分）已知函数1 处取得最

36、大值，则 a 的取值范围是（，当 x0，1时，函数 f（x）仅在 x，+） 【分析】求出原函数的导函数，对 a 分类，根据函数在0，1上的单调性逐一分析求解【解答】解：f（x）2ax2+（2a1）x若 a0，则 f（x）0 在0，1上恒成立，f（x）在0，1上单调递减，不合题意；若 a0，由 f（x）0，得0，x20，f（x）在0，1上单调递减，不合题意；若 a0，当 a当 0a 时，时，   &

37、#160;    ，f（x）在0，1上单调递增，符合题意；，f（x）在0，1上单调递减，不合题意；当a 时，01，f（x）在0，）上单调递减，在（，1上单调递增，要使当 x0，1时，函数 f（x）仅在 x1 处取得最大值，则 f（1）综上，实数 a 的取值范围为（，即 a，+）故答案为：（）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70

38、0;分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12 分）已知ABC 的面积为，且内角 A、B、C 依次成等差数列（1）若 sinC3sinA，求边 AC 的长；（2）设 D 为边 AC 的中点，求线段 BD 长的最小值（【分析】 1）由 A，B，C 依次成等差数列，得到 2BA+C，再由内角和定理求出 B 的度数，利用三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理即可计算得解（2）由题意可得 （+

39、），两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式即可计算得解 AD 的最小值第 14 页（共 21 页）【解答】解：（）在ABC 中，三个内角 A，B，C 依次成等差数列，2BA+C，A+B+C180°，B60°，ABC 的面积为 acsinB   ac，ac12，sinC3sinA，由正弦定理可得：c3a，解得：a2，c6，由余弦定理得 ACb（2）因为 D 为 AC 边的中点，&#

40、160;                  2  所以： （+两边平方，可得：），2 （  2+  2+2  ），|可得：|2 （c2+a2+2accosB） （c2+a2+ac） （2ac+ac） ×3×129，解得 AD3，当且仅当 a

41、c 时等号成立，可得 AD 的最小值为 3【点评】本题主要考查了等差数列的性质，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的应用，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12 分）已知三棱锥 PABC 中，PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，PB4，PBC60°；（1）证明：平面 PAC平面 ABC；（2）设 F 为棱 PA 的中点，在 AB 上取点 E，使得 

42、;AE2EB，求三棱锥 FACE 与四棱锥 CPBEF 的体积之比（【分析】 1）根据勾股定理证明 PCBC，结合 PCAB 可得 PC平面 ABC，故而平面第 15 页（共 21 页）PAC平面 ABC；（2）根据 E 和 F 的位置得出AEF 和四边形 PBEF 的面积比，进而得出体积比（【解答】 1）证明：PB4，BC2，PBC60°，PC 

43、       2  ，PB2PC2+BC2，PCBC，又 PCAB，ABBCB，PC平面 ABC，又 PC 平面 PAC，平面 PAC平面 ABC（2）解：AE2EB，AE AB，设 P 到 AB 的距离为 d，F 是 PA 的中点，F 到 AB 的距离为 d， AEF，又  P

44、AB， AEF  ABC，SPBEFSABC， AEF：SPBEF1：2，设 C 到平面 PAB 的距离为 h，则 VFACEVCAEF，VCPBEF，【点评】本题考查了面面垂直的判定，考查棱锥的体积计算，属于中档题19（12 分）东方商店欲购进某种食品（保质期一天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）根据市场调查，该食品每份进价 8 元，售价 12 元，如果一天内无法售出，则食品过期作废，现统计该产品 100

45、60;天的销售量如表：销售量（份）天数151016201730182019102010（1）根据该产品 100 天的销售量统计表，求平均每天销售多少份？（2）视样本频率为概率，以一天内该产品所获得的利润的平均值为决策依据，东方商店一次性购进 17 或 18 份，哪一种得到的利润更大？（【分析】 1）根据表中数据计算平均每天销售的份数即可；第 16 页（共 21 页）（2）分别计算商店一次性购进 17 份和 18 份时，一天的平均利润是多少即可【解

46、答】解：（1）根据表中数据，计算平均每天销售的份数为×（15×10+16×20+17×30+18×20+19×10+20×10）17.3（2）视样本频率为概率，商店一次性购进 17 份，一天的平均利润为×4×（15×10+16×20+17×30+17×20+17×10+17×10）（1715）×8×10（1716）×8×1064；商店一次性购进 18 份，一天的平均利

47、润为×4×（15×10+16×20+17×30+18×20+18×10+18×10）（1815）×8×10（1816）×8×10（1817）×8×1063.2；由 6463.2，得知一次性购进 17 份，一天的利润更大【点评】本题考查加权平均数的计算问题，也考查了商品平均利润的计算问题，是基础题20（12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）上一点 P（x0，2）到焦点 F 

48、的距离|PF|2x0（1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 P 引圆的两条切线 PA、PB，切线 PA、PB与抛物线 C 的另一交点分别为 A、B，线段 AB 中点的横坐标记为 t，求 t 的取值范围（【分析】 1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，解方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）设过 P（1，2）的切线方程为 ykx+2k，运用圆心到直线的距离为半径 r，以及联立抛物线方程，运用韦达定理，可得A

49、，B 的横坐标与 r 的关系，化简整理，即可得到所求范围【解答】解：（1）抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F（，0），准线方程为 x，|PF|2x0即为 x0+ 2x0，又 2px04，解得 p2，x01，抛物线 C 的方程为 y24x；（2）过 P（1，2）的切线方程为 ykx+2k，由切线与圆 M 相切，可得r，化为（r24）k28k+（r24）0，第 17 页（共 21 页）

50、可得 k1+k2，k1k21，由 ykx+2k，联立抛物线方程可得 k2x2+2k（2k）4x+（2k）20，设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得 1x11+，1x21+，即有 x1+x224（+）+4（+）2+4（2）（     +1）27，由 0r可得（即有 t，可得 4r22，4），+1）27（18，74，（9，37t 的取值范围是（9，37【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的运用，考查直线和圆相切，以及直线方程和

51、抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题21（12 分）已知函数 f（x）lnx4ax，g（x）xf（x）（1）若，求 g（x）的单调区间；（2）若 a0，求证：（【分析】 1）求导得 g（x）lnxx+1，再求导可得 g（x），判断 g（x）的单调性得出 g（x）的最大值为 0，从而可得 g（x）在定义域上单调递减；ff（2）判定 （x）的单调性，得出 （x）的极大值 ln1，再构造函数 h（t）lntx+1，证明 

52、lntt1 即可得出结论（【解答】 1）解：当 a 时，g（x）xlnx x2，g（x）lnxx+1，g（x） 1，故当 x（0，1）时，g（x）0，当 x（1，+）时，g（x）0，第 18 页（共 21 页）g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，g（x）g（1）0，g（x）在（0，+）上单调递减，故 g（x）的单调递减区间为（0，+）（2）证明：f（x） 4a，令 f（x）0 可得 x0，当 0x时，f（x）0，当 x时，f（x）0，当 x时，f（x）取得最大值 f（）ln  1，f（x）ln1，令t，构造函数 h（t）lntt+1，则 h（t） 1，当 0t1 时，h