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文档简介
1、2018 中考数学试题分类汇编:考点 21 全等三角形一选择题(共 9 小题)1(2018安顺)如图,点 D,E 分别在线段 AB,AC 上,CD 与 BE 相交于 O 点,已知 AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定ABEACD()AB=CBAD=AECBD=CEDBE=CD【分析】欲使ABEACD,已知 AB=AC,可根据全等三角形判定定理 AAS、SAS、ASA 添加条件,逐一证明即可【解答】解:AB=AC
2、,A 为公共角,A、如添加B=C,利用 ASA 即可证明ABEACD;B、如添 AD=AE,利用 SAS 即可证明ABEACD;C、如添 BD=CE,等量关系可得 AD=AE,利用 SAS 即可证明ABEACD;D、如添 BE=CD,因为 SSA,不能证明ABEACD,所以此选项不能作为添加的条件故选:D2(2018黔南州)下列各图中 a、b、c 为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧ABC 全等的是()A甲和乙B乙和丙C甲和丙D只有丙【分
3、析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与ABC 全等,甲与ABC 不全等【解答】解:乙和ABC 全等;理由如下:在ABC 和图乙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:SAS,所以乙和ABC 全等;在ABC 和图丙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:AAS,所以丙和ABC 全等;不能判定甲与ABC 全等;故选:B3(2018河北)已知:如图,点 P 在线段 AB 外,且 PA=PB,求证:点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,
4、在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是()A作APB 的平分线 PC 交 AB 于点 CB过点 P 作 PCAB 于点 C 且 AC=BCC取 AB 中点 C,连接 PCD过点 P 作 PCAB,垂足为 C【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论【解答】解:A、利用 SAS 判断出PCAPCB,CA=CB,PCA=PCB=90°,点
5、;P 在线段 AB 的垂直平分线上,符合题意;C、利用 SSS 判断出PCAPCB,CA=CB,PCA=PCB=90°,点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,符合题意;D、利用 HL 判断出PCAPCB,CA=CB,点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,符合题意,B、过线段外一点作已知线段的垂线,不能保证也平分此条线段,不符合题意;故选:B4(2018南京)如图, ABCD,且 AB=CDE、F 是
6、0;AD 上两点,CEAD,BFAD若 CE=a,BF=b,EF=c,则 AD 的长为()Aa+cBb+cCab+cDa+bc【分析】只要证明ABFCDE,可得 AF=CE=a,BF=DE=b,推出 AD=AF+DF=a+(bc)=a+bc;【解答】解:ABCD,CEAD,BFAD,AFB=CED=90°,A+D=90°,C+D=90°,A=C,AB=CD,ABFCDE,AF=CE=a,BF=DE=b,EF=c,AD=AF+DF=a+(bc)=a+bc,故选:D5(2018临沂)如图,ACB=90
7、6;, AC=BCADCE,BECE,垂足分别是点 D、E,AD=3,BE=1,则 DE 的长是()AB2C2D【分析】根据条件可以得出E=ADC=90°,进而得出CEBADC,就可以得出 BE=DC,就可以求出 DE 的值【解答】解:BECE,ADCE,E=ADC=90°,EBC+BCE=90°BCE+ACD=90°,EBC=DCA在CEB 和ADC 中,CEBADC(AAS),BE=DC=1,CE=AD=3DE=ECCD=31=2故选:B6(2018台湾)如图,
8、五边形 ABCDE 中有一正三角形 ACD,若 AB=DE,BC=AE,E=115°,则BAE 的度数为何?()A115B120C125D130【分析】根据全等三角形的判定和性质得出ABC 与AED 全等,进而得出B=E,利用多边形的内角和解答即可【解答】解:正三角形 ACD,AC=AD,ACD=ADC=CAD=60°,AB=DE,BC=AE,ABCAED,B=E=115°,ACB=EAD,BAC=ADE,ACB+BAC=BAC+DAE=180°115°=65
9、76;,BAE=BAC+DAE+CAD=65°+60°=125°,故选:C7(2018成都) 如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB 的是()AA=DBACB=DBCCAC=DBDAB=DC【分析】全等三角形的判定方法有 SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理逐个判断即可【解答】解:A、A=D,ABC=DCB,BC=BC,符合 AAS,即能推出ABCDCB,故本选项错误;B、ABC=DCB,BC=CB,ACB=DBC,符合 ASA,即能推出ABCDCB,故本选项错误;C、ABC=DCB,AC
10、=BD,BC=BC,不符合全等三角形的判定定理,即不能推出ABCDCB,故本选项正确;D、AB=DC,ABC=DCB,BC=BC,符合 SAS,即能推出ABCDCB,故本选项错误;故选:C8(2018黑龙江)如图,四边形ABCD 中,AB=AD,AC=5,DAB=DCB=90°,则四边形ABCD 的面积为()A15B12.5 C14.5 D17【分析】过 A 作 AEAC,交 CB 的延长线于 E,判定ACDAEB,即可得到ACE 是等腰=直角三角形,四边形
11、0;ABCD 的面积与ACE 的面积相等,根据 ACE ×5×5=12.5,即可得出结论【解答】解:如图,过 A 作 AEAC,交 CB 的延长线于 E,DAB=DCB=90°,D+ABC=180°=ABE+ABC,D=ABE,又DAB=CAE=90°,CAD=EAB,又AD=AB,ACDAEB,AC=AE,即ACE 是等腰直角三角形,四边形 ABCD 的面积与ACE 的面积相等,=ACE
12、15;5×5=12.5,四边形 ABCD 的面积为 12.5,故选:B9(2018绵阳)如图, ACB 和ECD 都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,ACB 的顶点 A 在ECD 的斜边 DE 上,若 AE=,AD=,则两个三角形重叠部分的面积为()AB3CD3【分析】如图设 AB 交 CD 于 O,连接 BD,作 OMDE 于 M,ONBD 于
13、160;N想办法求出AOB的面积再求出 OA 与 OB 的比值即可解决问题;【解答】解:如图设 AB 交 CD 于 O,连接 BD,作 OMDE 于 M,ONBD 于 NECD=ACB=90°,ECA=DCB,CE=CD,CA=CB,ECADCB,E=CDB=45°,AE=BD=EDC=45°,ADB=ADC+CDB=90°,在 RtADB 中,AB=2 ,AC=B
14、C=2,ABC= ×2×2=2,OD 平分ADB,OMDE 于 M,ONBD 于 N,OM=ON,=,AOC=2×=3 ,故选:D二填空题(共 4 小题)10(2018金华)如图, ABC 的两条高 AD,BE 相交于点 F,请添加一个条件,使得ADCBEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是 AC=BC【分析】添加 AC=BC,根据三角形高的定义可得ADC=BEC=90°,再证
15、明EBC=DAC,然后再添加 AC=BC 可利用 AAS 判定ADCBEC【解答】解:添加 AC=BC,ABC 的两条高 AD,BE,ADC=BEC=90°,DAC+C=90°,EBC+C=90°,EBC=DAC,在ADC 和BEC 中,ADCBEC(AAS),故答案为:AC=BC11(2018衢州)如图,在 ABC 和DEF 中,点 B,F,C,E 在同一直线上,BF=CE,ABDE,请添加一个条件,使ABCDEF,这个添加
16、的条件可以是 AB=ED (只需写一个,不添加辅助线)【分析】根据等式的性质可得 BC=EF,根据平行线的性质可得B=E,再添加 AB=ED 可利用 SAS 判定ABCDEF【解答】解:添加 AB=ED,BF=CE,BF+FC=CE+FC,即 BC=EF,ABDE,B=E,在ABC 和DEF 中,ABCDEF(SAS),故答案为:AB=ED12(2018绍兴)等腰三角形 ABC 中,顶角 A 为 40°,点 P
17、60;在以 A 为圆心,BC 长为半径的圆上,且 BP=BA,则PBC 的度数为30°或 110°【分析】分两种情形,利用全等三角形的性质即可解决问题;【解答】解:如图,当点 P 在直线 AB 的右侧时连接 APAB=AC,BAC=40°,ABC=C=70°,AB=AB,AC=PB,BC=PA,ABCBAP,ABP=BAC=40°,PBC=ABCABP=30°,当点 P在 AB 的左侧时,同法可得
18、ABP=40°,PBC=40°+70°=110°,故答案为 30°或 110°13(2018随州)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD=5,BC=CD 且 BCAB,BD=8给出以下判断:AC 垂直平分 BD;四边形 ABCD 的面积 S=ACBD;顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形;当 A,B,C,D 四点在同一个圆上时,该圆的半径为;将ABD
19、沿直线 BD 对折,点 A 落在点 E 处,连接 BE 并延长交 CD 于点 F,当 BFCD 时,点 F 到直线 AB 的距离为其中正确的是(写出所有正确判断的序号)【分析】依据 AB=AD=5,BC=CD,可得 AC 是线段 BD 的垂直平分线,故正确;依据四边形ABCD 的面积 S=,故错误;依据 AC=BD,可得顺次连接四边形 A
20、BCD 的四边中点得到的四边形是正方形,故正确;当 A,B,C,D 四点在同一个圆上时,设该圆的半径为 r,则 r2=(r3)2+42,得 r=,故正确;连接 AF,设点 F 到直线 AB 的距离为 h,由折叠=可得,四边形 ABED 是菱形,AB=BE=5=AD=GD,BO=DO=4,依据 BDE ×BD×OE= ×BE×DF,=S可得 DF=,进而得出 EF=
21、160;,再根据 ABF梯形 ABFDADF,即可得到 h=,故错误【解答】解:在四边形 ABCD 中,AB=AD=5,BC=CD,AC 是线段 BD 的垂直平分线,故正确;四边形 ABCD 的面积 S=,故错误;当 AC=BD 时,顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形是正方形,故正确;当 A,B,C,D 四点在同一个圆上时,设该圆的半径为 r,则r2=(r3)2+42,得 r=,故正确;将AB
22、D 沿直线 BD 对折,点 A 落在点 E 处,连接 BE 并延长交 CD 于点 F,如图所示,连接 AF,设点 F 到直线 AB 的距离为 h,由折叠可得,四边形 ABED 是菱形,AB=BE=5=AD=GD,BO=DO=4,AO=EO=3,=BDE ×BD×OE= ×BE×DF,DF=,BFCD,BFAD,ADCD,EF=,=S,AB
23、F梯形 ABFDADF×5h= (5+5+ )×解得 h=,故错误;故答案为: ×5× ,三解答题(共 23 小题)14(2018柳州)如图, AE 和 BD 相交于点 C,A=E,AC=EC求证:ABCEDC【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断【解答】证明:在ABC 和EDC 中,ABCEDC(ASA)15(2018云南)如图,已知 AC 平分BAD
24、,AB=AD求证:ABCADC【分析】根据角平分线的定义得到BAC=DAC,利用 SAS 定理判断即可【解答】证明:AC 平分BAD,BAC=DAC,在ABC 和ADC 中,ABCADC16(2018泸州)如图, EF=BC,DF=AC,DA=EB求证:F=C【分析】欲证明F=C,只要证明ABCDEF(SSS)即可;【解答】证明:DA=BE,DE=AB,在ABC 和DEF 中,ABCDEF(SSS),C=F17(2018衡阳)如图,已知线段 AC,BD 相交于点 E,AE=DE,BE=
25、CE(1)求证:ABEDCE;(2)当 AB=5 时,求 CD 的长【分析】(1)根据 AE=DE,BE=CE,AEB 和DEC 是对顶角,利用 SAS 证明AEBDEC即可(2)根据全等三角形的性质即可解决问题【解答】(1)证明:在AEB 和DEC 中,AEBDEC(SAS)(2)解:AEBDEC,AB=CD,AB=5,CD=518(2018通辽)如图, ABC 中,D 是 BC 边上一点,E 是 AD
26、的中点,过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于 F,且 AF=CD,连接 CF(1)求证:AEFDEB;(2)若 AB=AC,试判断四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论【分析】(1)由 AFBC 得AFE=EBD,继而结合EAF=EDB、AE=DE 即可判定全等;(2)根据 AB=AC,且 AD 是 BC 边上的中线可得ADC=90°,由四边形 ADCF
27、;是矩形可得答案【解答】证明:(1)E 是 AD 的中点,AE=DE,AFBC,AFE=DBE,EAF=EDB,AEFDEB(AAS);(2)连接 DF,AFCD,AF=CD,四边形 ADCF 是平行四边形,AEFDEB,BE=FE,AE=DE,四边形 ABDF 是平行四边形,DF=AB,AB=AC,DF=AC,四边形 ADCF 是矩形19(2018泰州)如图, A=D=90°,AC=DB,AC、DB 相交于点 O求证:OB=OC【分析】因为A=D=90&
28、#176;,AC=BD,BC=BC,知 RtBACRtCDB(HL),所以 AB=CD,证明ABO 与CDO 全等,所以有 OB=OC【解答】证明:在 RtABC 和 RtDCB 中,RtABCRtDCB(HL),OBC=OCB,BO=CO20(2018南充)如图,已知 AB=AD,AC=AE,BAE=DAC求证:C=E【分析】由BAE=DAC 可得到BAC=DAE,再根据“SAS”可判断BACDAE,根据全等的性质即可得到C=E【解答】解:BAE=DAC,BAECAE=DACCAE,
29、即BAC=DAE,在ABC 和ADE 中,ABCADE(SAS),C=E21(2018恩施州)如图,点 B、F、C、E 在一条直线上,FB=CE,ABED,ACFD,AD 交BE 于 O求证:AD 与 BE 互相平分【分析】连接 BD,AE,判定ABCDEF(ASA),可得 AB=DE,依据 ABDE,即可得出四边形 ABDE 是平行四边形,进而得到 AD 与 BE 互相平分【解答】证明:如图,连接
30、0;BD,AE,FB=CE,BC=EF,又ABED,ACFD,ABC=DEF,ACB=DFE,在ABC 和DEF 中,ABCDEF(ASA),AB=DE,又ABDE,四边形 ABDE 是平行四边形,AD 与 BE 互相平分22(2018哈尔滨)已知:在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 E,且 ACBD,作BFCD,垂足为点 F,BF 与 AC 交于点 C,BGE=ADE(1)如图 1,求证
31、:AD=CD;(2)如图 2,BH 是ABE 的中线,若 AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图 2 中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于ADE 面积的 2 倍【分析】(1)由 ACBD、BFCD 知ADE+DAE=CGF+GCF,根据BGE=ADE=CGF得出DAE=GCF 即可得;(2)设 DE=a,先得出 AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a,据此知 ADC=2a2=2SA
32、DE证ADEBGE 得 BE=AE=2a,再分别求出 SABEACE、SBHG,从而得出答案【解答】解:(1)BGE=ADE,BGE=CGF,ADE=CGF,ACBD、BFCD,ADE+DAE=CGF+GCF,DAE=GCF,AD=CD;(2)设 DE=a,则 AE=2DE=2a,EG=DE=a,=ADE AEDE=2aa=a2,BH 是ABE 的中线,AH=HE=a,AD=CD、ACBD,CE=AE=2a,=则 ADC ACDE=( 2a+2a)a=2a2=2SADE在ADE
33、0;和BGE 中,ADEBGE(ASA),BE=AE=2a,=ABE AEBE=( 2a)2a=2a2,SACE CEBE=( 2a)2a=2a 2,SBHG HGBE=( a+a)2a=2a 2,综上,面积等于ADE 面积的 2 倍的三角形有ACD、ABE、BCE、BHG23(2018武汉)如图,点 E、F 在 BC 上,BE=CF,AB=DC,B=C,AF 与 DE 交于点 G,求证:GE=G
34、F【分析】求出 BF=CE,根据 SAS 推出ABFDCE,得对应角相等,由等腰三角形的判定可得结论【解答】证明:BE=CF,BE+EF=CF+EF,BF=CE,在ABF 和DCE 中ABFDCE(SAS),GEF=GFE,EG=FG24(2018咸宁)已知: AOB求作:A'O'B',使A'OB'=AOB(1)如图 1,以点 O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交 OA,OB 于点 C、D;(2)如图 2,画一条射线
35、;OA,以点 O为圆心,OC 长为半径间弧,交 OA于点 C;(3)以点 C为圆心,CD 长为半径画弧,与第 2 步中所而的弧交于点 D;(4)过点 D画射线 OB',则A'O'B'=AOB根据以上作图步骤,请你证明A'O'B=AOB【分析】由基本作图得到 OD=OC=OD=OC,CD=CD,则根据“SSS“可证明OCDOCD,然后利用全等三角形的性质可得到A'O'B=AOB【解答】证明:由作法得 OD
36、=OC=OD=OC,CD=CD,在OCD 和OCD中,OCDOCD,COD=COD,即A'O'B=AOB25(2018安顺)如图,在 ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 的中点,过点 A 作 BC的平行线交 BE 的延长线于点 F,连接 CF(1)求证:AF=DC;(2)若 ACAB,试判断四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论【分析】(1)连接 DF,由
37、60;AAS 证明AFEDBE,得出 AF=BD,即可得出答案;(2)根据平行四边形的判定得出平行四边形 ADCF,求出 AD=CD,根据菱形的判定得出即可;【解答】(1)证明:连接 DF,E 为 AD 的中点,AE=DE,AFBC,AFE=DBE,在AFE 和DBE 中,AFEDBE(AAS),EF=BE,AE=DE,四边形 AFDB 是平行四边形,BD=AF,AD 为中线,DC=BD,AF=DC;(2)四边形 ADCF 的形状是菱形,理由如下
38、:AF=DC,AFBC,四边形 ADCF 是平行四边形,ACAB,CAB=90°,AD 为中线,AD= BC=DC,平行四边形 ADCF 是菱形;26(2018广州)如图, AB 与 CD 相交于点 E,AE=CE,DE=BE求证:A=C【分析】根据 AE=EC,DE=BE,AED 和CEB 是对顶角,利用 SAS 证明ADECBE 即可【解答】证明:在AED 和CEB 中,AEDCEB(SAS)
39、,A=C(全等三角形对应角相等)27(2018宜宾)如图,已知 1=2,B=D,求证:CB=CD【分析】由全等三角形的判定定理 AAS 证得ABCADC,则其对应边相等【解答】证明:如图,1=2,ACB=ACD在ABC 与ADC 中,ABCADC(AAS),CB=CD28(2018铜仁市)已知:如图,点 A、D、C、B 在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求证:AEBF【分析】可证明ACEBDF,得出A=B,即可得出 AEBF;【解答】证明:AD=BC,AC=BD,在ACE 和BDF
40、60;中,ACEBDF(SSS)A=B,AEBF;29(2018温州)如图,在四边形 ABCD 中,E 是 AB 的中点,ADEC,AED=B(1)求证:AEDEBC(2)当 AB=6 时,求 CD 的长【分析】(1)利用 ASA 即可证明;(2)首先证明四边形 AECD 是平行四边形,推出 CD=AE= AB 即可解决问题;【解答】(1)证明:ADEC,A=BEC,E 是 AB 中点,AE=EB,AED=
41、B,AEDEBC(2)解:AEDEBC,AD=EC,ADEC,四边形 AECD 是平行四边形,CD=AE,AB=6,CD= AB=330(2018菏泽)如图, ABCD,AB=CD,CE=BF请写出 DF 与 AE 的数量关系,并证明你的结论【分析】结论:DF=AE只要证明CDFBAE 即可;【解答】解:结论:DF=AE理由:ABCD,C=B,CE=BF,CF=BE,CD=AB,CDFBAE,DF=AE31(2018苏州)如图,点 A,F,C,D 在一条直线上,ABDE,AB=DE,A
42、F=DC求证:BCEF【分析】由全等三角形的性质 SAS 判定ABCDEF,则对应角ACB=DFE,故证得结论【解答】证明:ABDE,A=D,AF=DC,AC=DF在ABC 与DEF 中,ABCDEF(SAS),ACB=DFE,BCEF32(2018嘉兴)已知:在 ABC 中,AB=AC,D 为 AC 的中点,DEAB,DFBC,垂足分别为点 E,F,且 DE=DF求证:ABC 是等边三角形【分析】只要证明 RtADERtCDF,推出A=C,推出 BA=B
43、C,又 AB=AC,即可推出AB=BC=AC;【解答】证明:DEAB,DFBC,垂足分别为点 E,F,AED=CFD=90°,D 为 AC 的中点,AD=DC,在 RtADE 和 RtCDF 中,RtADERtCDF,A=C,BA=BC,AB=AC,AB=BC=AC,ABC 是等边三角形33(2018滨州)已知,在 ABC 中,A=90°,AB=AC,点 D 为 BC 的中点(1)如图,若点 E、F
44、0;分别为 AB、AC 上的点,且 DEDF,求证:BE=AF;(2)若点 E、F 分别为 AB、CA 延长线上的点,且 DEDF,那么 BE=AF 吗?请利用图说明理由【分析】(1)连接 AD,根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、EBD=FAD,根据同角的余角相等可得出BDE=ADF,由此即可证出BDEADF(ASA),再根据全等三角形的性质即可证出 BE=AF;(2)连接 AD,根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出EBD=FAD、BD=AD,根据同角的余角相等可得出BDE=ADF,由此即可证出EDBFDA(ASA),再根据全等三角形的性质即可得出 BE=AF【解答】(1)证明:连接 AD,如图所示A=90°,AB=AC,ABC 为等腰直角三角形,EBD=45°点 D 为 BC 的中点,AD= BC
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