2018-2019学年浙江省七彩阳光新高考联盟高二(下)期中数学试卷

1、2018-2019 学年浙江省七彩阳光新高考联盟高二（下）期中数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，每小题4 分，共 40 分）1（4 分）抛物线 x22y 的焦点坐标是（）ABC（1，0）D（0，1）2（4 分）直线 mx（2m1）y+10 恒过定点（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）3（4 分）已知函数 f（x）x+lnx，则（）A2BCD34（4 分）下列命题中，错误的是（）A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则

2、必与另一个平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C如果平面  不垂直平面 ，那么平面  内一定不存在直线垂直于平面 D若直线 l 不平行平面 ，则在平面  内不存在与 l 平行的直线5（4 分）如图，正四棱锥 PABCD 所有棱长均为 2，则其侧视图的面积为（）ABC1D6（4 分）若 x1 是函数 f（x）ax+lnx 的极值点，则（）Af（x）有极大值1Bf（x）有极小

3、值1Cf（x）有极大值 0Df（x）有极小值 07（4 分）已知“a，b，c 是不全相等的实数”，有下列结论：（ab）2+（bc）2+（ca）20；ab 与 ab 及 ac 中至少有一个成立；ac，bc，ab 不能同时成立第1页（共21页）其中正确的个数为（）A0B1C2D38（4 分）在边长为 1 的正方形中裁去如图的扇形，再将剩余的阴影部分绕 AB 旋转一周，所得几何体的表面积为（）A39（4 分）已知椭圆 C：B4

4、60;            C5            D61（ab0），焦点 F1（2，0），F2（2，0）过 F1（2，0）作倾斜角为 60°的直线 L 交上半椭圆于点 A，以 F1A，F1O（O 为坐标原点）为部边作平行四边形 OF1AB，点 

5、;B 恰好也在椭圆上，则椭圆的长轴长为（）A2B2C2+2D2+210（4 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACBC，ACBCAA12，点 Q 为 A1B的中点，若动点 P 在直线 B1C1 上运动时，异面直线 AB 与 PQ 所成角的最小值为（）A30°B45°C60°D无法确定二、填空题：（本大题共 7 小题，双空题每小题 6 分，单空题每小题 6&#

6、160;分，共 36 分）11（6 分）设复数 z12i，则复数 z 的虚部为，复数 z 的模为第2页（共21页）（12 6 分）双曲线 x2y22 的实轴长为，离心率为，渐近线方程为13（6 分）函数，x2，4的减区间为，最大值为14（6 分）已知两圆相交于两点 A（1，3），B（m，1），若两圆圆心都在直线 2x+y+c0上，则 m，c15（4 分）函数 y（ex1）2（x1）在上的最大值为16（4&#

7、160;分）如图，等腰直角ABC 底边 BC4，E 为 BC 上异于 B，C 的一个动点，点 F 在AB 上，且 EF，现将BEF 沿 EF 折起到'EF 的位置，则四棱锥 BAFEC 体积的最大值为17（4 分）已知函数 f（x）x+ +lnx，若 f（x）在 xx1 与 xx2（x1x2）处导数相等，且 f（x1）+f（x2）m

8、0;恒成立，则实数 m 的最大值为三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算）（18 14 分）已知斜率 k0 的直线 L 过定点 M（2，0），与圆 E： x4）2+y212 相交于 A，B 两点，与抛物线 y24x 相交于 C，D 两点，且满足|AB|6（1）求直线 L 的方程；（2）求直线 L 

9、与抛物线相交所截得的弦长|CD|19（15 分）函数 f（x） ax3+ bx2+cx+1，f（x）为 f（x）的导函数，f（1） ，3a2c2b第3页（共21页）（1）用 a，b 表示 c，并证明：当 a0 时，3 ；（2）若 a ，b2，c ，求证：当 x1 时，lnxf（x）20（15 分）如图 1，有一边长为 2 的正为形 ABCD，E 是边 AD&

10、#160;的中点，将ABE 沿着直线 BE 折起至BE 位置（如图 2），此时恰好 AEAC，点 A在底面上的射影为O（1）求证：AEBC；（2）求直线 AB 与平面 BCDE 所成角的正弦值21（15 分）已知函数（1）当 a1 时，求函数 yf（x）在点 P（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数 yf（x）在区间（0，e2上的零点个数22（15 分）已知椭圆 C：1（ab0），离心率 e&

11、#160;，焦点 F1（1，0），F2（1，0）（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设直线 L 与椭圆 C 相切于点 A，过点 A 作关于原点 O 的对称点 B，过点 B 作 BML，垂足为 ，求ABM 面积的最大值第4页（共21页）2018-2019 学年浙江省七彩阳光新高考联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，每小题4 分，共&

12、#160;40 分）1（4 分）抛物线 x22y 的焦点坐标是（）ABC（1，0）D（0，1）【分析】根据抛物线的性质可得，x22py（p0）的焦点坐标（0， ）可直接求解【解答】解：根据抛物线的性质可得，x22y 的焦点坐标（0， ）故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的简单的性质，属于基础试题2（4 分）直线 mx（2m1）y+10 恒过定点（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）【分析】把已知方程变形，得到 m（x2y）+（y+1）0，联立【解答】解：由 m

13、x（2m1）y+10，得 mx2my+y+10，即 m（x2y）+（y+1）0联立，解得直线 mx（2m1）y+10 恒过定点（2，1）故选：A【点评】本题考查直线系方程的应用，是基础题，求解得答案3（4 分）已知函数 f（x）x+lnx，则A2BC【分析】根据题意，由导数的定义可得（   ）D3f（2），结合函数的解析式求出函数的导数，进而可得 f（2）的值，即可得答案【解答】解：根据题意，对于函数 f（x），有f（2），第5页（共21页）又由 f（x）x+lnx，则

14、60;f（x）1+ ，则有 f（2）1+ ；故选：B【点评】本题考查导数的定义以及导数的计算，属于基础题4（4 分）下列命题中，错误的是（）A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C如果平面  不垂直平面 ，那么平面  内一定不存在直线垂直于平面 D若直线 l 不平行平面 ，则在平面  内不存在与 l 平行的直线【分析】由直线与平面相交的性质，知 A 正确

15、；由平面平行的判定定理，知 B 正确；由直线与平面垂直的判定定理，知 C 正确；当 l 时，在平面  内存在与 l 平行的直线，故 D 不正确【解答】解：由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故 A 正确；由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，故 B 正确；由直线与平面垂直的判定定理，知如果平面  不垂直平面 ，那么平面  

16、;内一定不存在直线垂直于平面 ，故 C 正确；若直线 l 不平行平面 ，则当 l 时，在平面  内存在与 l 平行的直线，故 D 不正确故选：D【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面间的位置关系，是基础题解题时要认真审题，仔细解答5（4 分）如图，正四棱锥 PABCD 所有棱长均为 2，则其侧视图的面积为（）ABC1D【分析】画出图形，直接由已知求得棱锥的高，即可计算其侧视图的面积【解答】解：棱锥的棱长都为&#

17、160;2，第6页（共21页）四棱锥 PABCD 为正四棱锥，则 AO，在 POA 中，可得 PO故选：B，其侧视图的面积 S  【点评】本题考查四棱锥的侧视图面积求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题6（4 分）若 x1 是函数 f（x）ax+lnx 的极值点，则（）Af（x）有极大值1Cf（x）有极大值 0Bf（x）有极小值1Df（x）有极小值 0f（x）极大值f（1）1，无极小值【分析】先求出 a 的值，从

18、而求出函数的单调区间，进而求出函数的极大值即可【解答】解：f（x）ax+lnx，x0，f（x）a+ ，x1 是函数 f（x）ax+lnx 的极值点，f（1）a+10，解得 a1，f（x）1+ ，f（x）在（，1）递增，在（1，+）递减，故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题7（4 分）已知“a，b，c 是不全相等的实数”，有下列结论：（ab）2+（bc）2+（ca）20；ab 与 ab 及 ac 中至少有一个成立；ac，bc，

19、ab 不能同时成立其中正确的个数为（）A0B1C2第7页（共21页）D3【分析】结合平方的性质进行判断；利用反证法证明即可；，采用例举反例的方法解决【解答】解：，若（ab）2+（bc）2+（ca）20，则 ab，bc，ca 同时成立，即 abc 成立，与已知 a、b、c 是不全相等的正数矛盾，错误；，假设都不成立，则 ab，且 ab，且 ac，得 ab，ac，即 abc，与“a，b，c 是不全相等的实数”矛盾，则原结论正确，即正确；，举例 a1，b2，c3

20、，ac，bc，ab 能同时成立，不正确故正确的是，故选：B【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查了反证法结合方程和不等式的性质是解决本题的关键8（4 分）在边长为 1 的正方形中裁去如图的扇形，再将剩余的阴影部分绕 AB 旋转一周，所得几何体的表面积为（）A3B4C5D6【分析】由旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个半径为 1 的半球，利用圆柱和球的表面积公式进行计算即可【解答】解：图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体为圆柱去掉一个半径为 1 的半球，半球的表面积为&

21、#160;×4×12圆柱的底面半径为 1，高为 1，圆柱的底面积为 ×12，圆柱的侧面积为 2×1×12，第8页（共21页）该几何体的表面积为 2+25故选：C【点评】本题主要考查旋转体的表面积，要求熟练掌握常见几何体的表面积公式是基础题9（4 分）已知椭圆 C：1（ab0），焦点 F1（2，0），F2（2，0）过 F1（2，0）作倾斜角为 60°的直线 L 交上半椭圆于点 A，以 F1A，F1O

22、（O 为坐标原点）为部边作平行四边形 OF1AB，点 B 恰好也在椭圆上，则椭圆的长轴长为（）A2B2C2+2D2+2【分析】根据焦点坐标得到 c2，则 a2b24，设 B（x，），则 A（x2，），代入方程可得 x1，进而求出 a【解答】解：因为四边形 OF1AB 是平行四边形，且 AF1 倾斜角为 60°，则 OB 的倾斜角也是 60°，故设 B（x，），则 A（x2，），

23、所以，解得 x1，所以 B（1，），将 B（1，）代入方程得 3a2+b2a2b2，又因为 c2，即有 a2b24 联列可得，所以 a，故 2a，故选：C【点评】本题结合平行四边形性质，考查椭圆方程的求解，属于中档题10（4 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACBC，ACBCAA12，点 Q 为 A1B的中点，若动点 P 在直线 B1C1 上运动时，异面直线 AB 与

24、0;PQ 所成角的最小值为（）第9页（共21页）A30°B45°C60°D无法确定【分析】以 C 为原点，分别以 CA、CB、CC1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角转化求解即可【解答】解：以 C 为原点，分别以 CA、CB、CC1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A（2，0，0），A1（2，0，2），B（0，2，0），Q（1，1，1）设

25、 P（0，y，2），则，cos设异面直线 AB 与 PQ 所成角 ，则 cos26（）2+第10页（共21页）cos故选：A       【点评】本题考查了空间线线角的最值计算，属于中档题二、填空题：（本大题共 7 小题，双空题每小题 6 分，单空题每小题 6 分，共 36 分）11（6 分）设复数 z12i，则复数 z 的虚部为2，复数

26、 z 的模为【分析】由复数的基本概念得 z 的虚部，再由复数模的计算公式求模【解答】解：复数 z12i，复数 z 的虚部为2；|z|故答案为：2；【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题12（6 分）双曲线 x2y22 的实轴长为2，离心率为      ，渐近线方程为 y±x【分析】求出双曲线中的几何量，即可求出实轴长、离心率、渐近线方程【解答】解：双曲线 x2y22 中

27、0;ab，c2，实轴长为 2a2故答案为：2；离心率为 ；y±x，渐近线方程为 y±x【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础（13 6 分）函数，x2，4的减区间为1，3，最大值为第11页（共21页）【分析】根据题意，求出函数的导数，利用函数的导数与函数单调性的关系分析可得函数的单调区间，进而分析可得答案【解答】解：根据题意，函数，x2，4，则 yx22x3（x3）（x+1），x2，4，分析可得：当 x2，1时，f（x）0，则函数 f（x）在2，1上为增函数，当

28、0;x1，3时，f（x）0，则函数 f（x）在1，3上为减函数，当 x3，4时，f（x）0，则函数 f（x）在3，4上为增函数，则函数的减区间为1，3；又由 f（1） 1+3+1 ，f（4）1612+1  ，则函数在2，4上的最大值为 ；故答案为：1，3， 【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性以及最值，关键是掌握函数的导数与单调性的关系，属于基础题14（6 分）已知两圆相交于两点 A（1，3），B（m，1），若两圆圆心都在直线 2x+y+c0上，则 m

29、7，c5【分析】首先利用直线垂直的充要条件的应用求出 m 的值，进一步利用中点坐标公式的应用和直线的关系的应用求出结果【解答】解：两圆相交于两点 A（1，3），B（m，1），则在直线 2x+y+c0 上，由于两圆圆心都所以，解得 m7由于 m7，所以两点 A（1，3），B（7，1）的中点的坐标为 D（3，1），所以点 D（3，1）的坐标满足 2x+y+c0，解得 c5故答案为：7，5【点评】本题考查的知识要点，直线和直线的位置关系的应用，中点坐标公式的应用，直线垂直的充要条件

30、的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型第12页（共21页）15（4 分）函数 y（ex1）2（x1）在上的最大值为0【分析】对函数 y（ex1）2（x1）求导，判断其单调性，根据单调性确定在区间上的最大值【解答】解：由 y（ex1）2（x1）（x ），得 y'（ex1）（2xexex1），令，则 f'（x）2xex+ex，令 f'（x）0，则，当当时，f'（x）0，此时 f（x）单调递减；时，f'（x）0，此时 f（x）单调递增，

31、又当 x时，f（x）1，当     时，f（x）1，当时，令 y'0，则 x0，当 x0 时，y'0，此时函数 y（ex1）2（x1）单调递增；当时，y'0，此时函数 y（ex1）2（x1）单调递减，当 x0 时，ymax0故答案为：0【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值和复合函数求导法则，考查了函数思想和转化思想，属中档题16（4 分）如图，等腰直角ABC 底边 BC4，E 为&

32、#160;BC 上异于 B，C 的一个动点，点 F 在AB 上，且 EF，现将BEF 沿 EF 折起到'EF 的位置，则四棱锥 BAFEC 体积的最大值为【分析】由已知求得等腰直角三角形的直角边长，设 BEx（0x2），当 B'E平面AFEC 时，四棱 BAFEC 体积最大列出体积与 x 的函数关系式，再由导数求最值【解答】解：等腰直角ABC 底边 BC4，则&

33、#160;ACAB第13页（共21页），设 BEx（0x2），当 B'E平面 AFEC 时，四棱 BAFEC 体积最大此时 S 四边形 AFECSABC BEF四棱 BAFEC 的体积 V（x）V（x），（0x2）令 V（x）0，解得 xx（0，）时，V（x）是增函数；x（，2）时，V（x）是减函数，当 x故答案为：时，【点评】本题考查多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题17（4

34、60;分）已知函数 f（x）x+ +lnx，若 f（x）在 xx1 与 xx2（x1x2）处导数相等，且 f（x1）+f（x2）m 恒成立，则实数 m 的最大值为5+2ln2【分析】根据 f（x）在 xx1，x2（x1x2）处导数相等，+1，再根据基本不等式可得 x1x24，再把 f（x1）+f（x2）化成 x1x2+ln（x1x2）+1，再构造函数求导，求解函数的最小值，推出 m 的最大值【解答】解：f（x）1+令 

35、;f（x1）f（x2）m，得m0，得m0，得0，由韦达定理得+1，即 x1+x2x1x22，得 x1x24，第14页（共21页）f（x1）+f（x2）（x1+x2）+（+）+（lnx1+lnx2）x1x2+ln（x1x2）+1，令 tx1x24，则 x1x2+ln（x1x2）+1t+lnt+1，令 g（t）t+lnt+1（t4），则 g（t）1+ 0（t4），得 g（t）g（4）5+ln45+2ln2f（x1）+f（x2）m 恒成立，则实数 m 的最大值为：5+2ln2故答案为：5+2

36、ln2【点评】本题考查了利用导数研究函数的最值，函数与方程的应用，考查发现问题解决问题的能力，属难题三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算）（18 14 分）已知斜率 k0 的直线 L 过定点 M（2，0），与圆 E： x4）2+y212 相交于 A，B 两点，与抛物线 y24x 相交于 C，D 两点，且满足|AB|6（1）求直线 L 

37、的方程；（2）求直线 L 与抛物线相交所截得的弦长|CD|【分析】（1）由题意得到圆的半径，进而设出直线的点斜式方程，由点到直线的距离公式求得 k；（2）设出 AB 两点的坐标，联立直线和抛物线的方程，由韦达定理求得 x1+x2，x1x2，进而利用弦长与根的关系求解【解答】解：（1）|AB|6，半径 r2，点 E 到直线 L 的距离为，设直线 L：yk（x2）即 kxy2k0，由，解得 k，故直线 L 的方程：y（x2），第15页（共2

38、1页）（2）设点 A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组3x216x+120x1+x2|CD|，x1x24，|x1x2|（【点评】 1）考查点到直线的距离公式的理解与应用，直线的点斜式方程；（2）考查弦长与根的关系的理解与应用19（15 分）函数 f（x） ax3+ bx2+cx+1，f（x）为 f（x）的导函数，f（1） ，3a2c2b（1）用 a，b 表示 c，并证明：当 a0 时，3 ；（2）若 a ，b2，c ，

39、求证：当 x1 时，lnxf（x）（【分析】 1）由 f（1） ，得 a+b+c ；可用 a，b 表示 c，当 a0 时，由不等式的性质可得3  ；（2）将 a ，b2，c ，代入函数，求函数 g（x）lnx+ x22x+ ，（x1）的单调区间和最小值可求证：当 x1 时，lnxf（x），【解答】解：（1）函数 f（x） ax3+ bx2+cx+1

40、，f（x）为 f（x）的导函数，由题得 f（x）ax2+bx+c，因为 f（1） ，a+b+c ；c ab；因为 3a2c2b，所以 3a3a2b2b，所以3  ，第16页（共21页）（2）因为 a ，b2，c ，f（x） x2+2x ，令 g（x）lnx+ x22x+ ，（x1）求导可得 g（x） +x2，所以 g（x）0，g（x）在区间（1，+）上单调递增，g（x）g（1）0，所以&

41、#160;lnxf（x）成立；【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的证明，属于中档题20（15 分）如图 1，有一边长为 2 的正为形 ABCD，E 是边 AD 的中点，将ABE 沿着直线 BE 折起至BE 位置（如图 2），此时恰好 AEAC，点 A在底面上的射影为O（1）求证：AEBC；（2）求直线 AB 与平面 BCDE 所成角的正弦值（【分析】 1）由已知得 AEAB，A

42、EAC，由线面垂直的判定可得 AE平面ABC，则 AEBC；（2）由点 A在底面上的射影为 O，得 AO平面 BCDE，可得ABO 为直线 AB与平面 BCDE 所成角，延长 EO 交 BC 于 H，连接 AH，证明则 BCEO，再由 E 为 AD的中点，得 H 为 BC 的中点，求解直角三角形可得，则直线 AB 与平面 BCD

43、E所成角的正弦值可求（【解答】 1）证明：AEAB，AEAC，ABACA，AE平面 ABC，则 AEBC；（2）解：点 A在底面上的射影为 O，AO平面 BCDE，第17页（共21页）ABO 为直线 AB 与平面 BCDE 所成角，延长 EO 交 BC 于 H，连接 AH，AEBC，AOBC，且 AOAEA，BC平面 AEO，则 BCEO，E 为 AD 的中点，H&#

44、160;为 BC 的中点，AE1，EH2，由（1）得，AEAH，AEH60°，可得sin直线 AB 与平面 BCDE 所成角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了直线与平面所成角的求法，是中档题21（15 分）已知函数（1）当 a1 时，求函数 yf（x）在点 P（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数 yf（x）在区间（0，e2上的零点个数（【分析】 1）求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，

45、由点斜式方程可得切线方程；（2）求得 f（x）的导数，讨论 a0，a0，a ， a0，f（x）的单调性，可得极值和最值，结合零点存在定理可得所求零点个数【解答】解：（1）当 a1 时，f（x）+lnx 的导数为 f（x）+ ，可得函数 yf（x）在点 P（1，f（1）处的切线斜率为 ，切点为（1，1），则切线方程为 y1 （x1），可得 3x2y10；第18页（共21页）（2）f（x）+alnx 的导数为 f（x）+ ，当 a0 时，f（x）0，f（x）当 a0 时，f（x）0，f（x）（e2）0，此时 f（x）仅有一个零点；