高中数学必修一函数知识点与典型例题总结(经典)(适合高一或高三复习)

1、.第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念第二章第二章 基本初等函数基本初等函数第三章第三章 函数应用函数应用.数与形,本是相倚依焉能分作两边飞数无形时少直觉形少数时难入微数形结合百般好隔离分家万事休切莫忘,几何代数统一体永远联系莫分离 华罗庚.集合集合基本关系基本关系含义与表示含义与表示基本运算基本运算列举法列举法 描述法描述法包含包含相等相等并集并集交集交集 补集补集图示法图示法 一、知识结构一、集合的含义与表示1、集合：把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合2、元素与集合的关系：或3、元素的特性：确定性、互异性、无序性确定性、互异性、无序性RQZNN、常用数集：4（一）集合的

2、含义(二)集合的表示1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，并放在 内2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，并放在x| 内3.图示法 Venn图,数轴二、集合间的基本关系1、子集：对于两个集合A，B如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们称A为B的子集. 若集合中元素有n个，则其子集个数为 真子集个数为 非空真子集个数为2、集合相等：BAABBA,3、空集：规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2n2n-12n-2三、集合的并集、交集、全集、补集|1BxAxxBA或、 |2BxAxxBA且、 |3AxUxxACU且、全集：某集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，用U表

3、示AB.21 1,2,xxx例已知则0或或222.2 , Ay yxBx yxAB例求0,),0,).ABRAB题型示例考查集合的含义.2 |60 ,|10 ,.Ax xxBx mxABAm 例3 设且求 的值的集合 ABAABBBA转化的思想2, 3 ,0,1,1112,3,.23110,23AABABAmBBBAmmmmm 解：由得当时，符合题意；当m0时，1则；或-m或或考查集合之间的关系.考查集合的运算.,2, 0,31)2(.,3 , 2,3 , 2 , 1 , 0,4 , 3 , 2 , 1 , 014BABAxxxBxxABCBCBAIAI求或已知，求）已知（例. UUU5 U=

4、 1,2,3,4,5 ,AB= 2 ,(C A)B= 4 ,(C A)(C B)= 1,5 ,A.例设若求UAB123453.6 | 12, |0,(1),(2),AxxBx xkABkABAk 例已知集合若求 的取值范围若求 的取值范围返回返回. 1.设设 , ,其中其中 , ,如果如果 ，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围 22240,2(1)1 0Ax xxBx xax a xRABB扩展提升. 2. 2.设全集为设全集为R，集合，集合 ，（1）求：）求： AB，CR(AB)；（数轴法）（数轴法）（2）若集合）若集合 ,满足满足 ，求实数，求实数a的取值范围。的取值范围。 31|x

5、xA242|xxxB02|axxCCCB.211-，M421，MxxyyN2练习.函数的复习主要抓住两条主线函数的复习主要抓住两条主线 1、函数的概念及其有关性质。、函数的概念及其有关性质。2、几种初等函数的具体性质、几种初等函数的具体性质。.函数函数函数的概念函数的概念函数的基本性质函数的基本性质函数的单调性函数的单调性函数的最值函数的最值函数的奇偶性函数的奇偶性函数知识结构函数知识结构 .BCx1x2x3x4x5y1y2y3y4y5y6A函数的三要素：定义域，值域，对应法则函数的三要素：定义域，值域，对应法则A.BA.B是两个非空的数集是两个非空的数集, ,如果如果按照某种对应法则按照某种

6、对应法则f f，对于，对于集合集合A A中的每一个元素中的每一个元素x x，在，在集合集合B B中都有唯一的元素中都有唯一的元素y y和和它对应，这样的对应叫做从它对应，这样的对应叫做从A A到到B B的一个函数。的一个函数。一、函数的概念：一、函数的概念：思考:函数值域与集合B的关系.二、映射的概念设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对应,那么就称对应f:AB为集合A到集合B的一个映射映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一.使函数有意义的使函数有意义的x x的取值范围。的取值范围。求定义域的主要依据求定义

7、域的主要依据1 1、分式的分母不为零、分式的分母不为零. .2 2、偶次方根的被开方数不小于零、偶次方根的被开方数不小于零. .3 3、零次幂的底数不为零、零次幂的底数不为零. .4 4、对数函数的真数大于零、对数函数的真数大于零. .5 5、指、对数函数的底数大于零且不为、指、对数函数的底数大于零且不为1.1.6、实际问题中函数的定义域、实际问题中函数的定义域.（一）函数的定义域（一）函数的定义域1、具体函数的定义域、具体函数的定义域220.51(1)( )2(2)( )log (1)(3)( )log(43)xfxxfxxfxx例7.求下列函数的定义域1.【-1,2）（2，+）2.（-，-

8、1）（1，+）3.（34,1】.) 12(log)3()23(22)2(121) 1 (20 xyxxxyxxy练习：练习：. 2、抽象函数的定义域、抽象函数的定义域1）已知函数）已知函数y=f(x)的定义域是的定义域是1，3，求求f(2x-1)的定义域的定义域2）已知函数）已知函数y=f(x)的定义域是的定义域是0，5)，求求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域的定义域(2)x|)yf x2的定义域为x4 ,求y=f(x 的定义域3)3)1.1,2 ; 2.1,4); 3. - 22，.28 ( )lg(43)f xaxaxRa例若的定义域为求实数 的取值范围。20;0.16120

9、30.4aRaRaaRaa 当时，函数的定义域为，当时，函数的定义域也为函数的定义域为 ， 的取值范围是思考：若值域为R呢？分析：值域为R等价为真数N能取（0，+）每个数。当a=0时，N=3只是（0，+）上的一个数，不成立；当a0时，真数N取（0，+）每个数即00a.求值域的一些方法：求值域的一些方法： 1、图像法，、图像法，2 、 配方法，配方法，3、分离常数法，、分离常数法，4、换元法，、换元法，5单调性法。单调性法。12, 6x22yxx1)2)3)xey 4)5273xxy) 3(log3xy) 2( , 324)( f51xxxx）.三、函数的表示法三、函数的表示法1、解、解 析析

10、法法 2、列、列 表表 法法 3、图、图 象象 法法 .)(3,4)()( 设)3()(,2) 1()2() 1(, 34)( ) 1 (22xfxxffxfxfxxxfxfxxxf求一次函数，且求已知求已知例例10求下列函数的解析式求下列函数的解析式待定系数法换元法.（5）已知：对于任意实数x、y，等式 恒成立，求) 1(2)()(xyxxfyxf)(xf赋值法赋值法 2(6) ( )+g( )2,( )( ) .f xxf xxxxf xg x已知是偶函数，g是奇函数，且求、的解析式构造方程组法构造方程组法 (4) 已知 , 求 的解析式221)1(xxxxf)0(x( )f x配凑法.增

11、函数、减函数、单调函数是增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的对定义域上的某个区间而言的。某个区间而言的。三、函数单调性三、函数单调性定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1x2时，都有f(x1) f(x2) ，那么就说函数在区间上是增函数。区间D叫做函数的增区间。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1f(x2) ，那么就说函数在区间上是减函数。区间D叫做函数的减区间。.0,(,0),(0,)0,(,0),(0,)aa时 单减区间是时 单增区间是、函数 的单调区间是 2、函数y=ax+b（a0）的单调

12、区间是3、函数y=ax2+bx+c （a0）的单调区间是0,(,)0,(,)aa 时 单增区间是时 单减区间是0,(,)220,(,)22bbaaabbaaa 时 单减区间是单增区间是时 单增区间是单减区间是0ayax（）.用定义证明函数单调性的步骤用定义证明函数单调性的步骤:(1) 设元，设设元，设x1,x2是区间上任意两个实数，且是区间上任意两个实数，且x1x2;(2) 作差，作差， f(x1)f(x2) ;(3)变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式(4)判号，判号， 判断判断 f(x1)f(x2) 的符号；的符号；（5）下结论）下结论.1.

13、 函数函数f (x)=2x+1, (x1)x, (x1)则则f (x)的递减区间为的递减区间为( )A. 1, )B. (, 1)C. (0, )D. (, 0B2、若函数、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间在区间4,+)上是增函数上是增函数,求实数求实数a的取值范围的取值范围小试身手？小试身手？.11)(.11）上是增函数，在（证明：函数例xxxf3 判断函数判断函数 的单调性。的单调性。2xxeey.拓展提升复合函数的单调性复合函数的定义：设复合函数的定义：设y=f(u)y=f(u)定义定义域域A A，u=g(x)u=g(x)值域为值域为B B，若，若A BA B，则则y y关

14、于关于x x函数的函数的y=fg(x)y=fg(x)叫做函叫做函数数f f与与g g的复合函数，的复合函数，u u叫中间量叫中间量.复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。x增 g(x)增 y增:故可知y随着x的增大而增大引理2：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=fg(x

15、)在区间(a,b)上是增函数。x增 g(x)减 y增:故可知y随着x的增大而增大.复合函数的单调性规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增增函数函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数减函数。 “同增异减同增异减”.复合函数的单调性例题：求下列函数的单调性y=log4(x24x+3) 解 设 y=logy=log4 4u u（外函数）（外函数）,u=xu=x2 24x+34x+3（内函数）（内函数）.由 u0, u=x24x+3，解得原复合函数的定义域为定义域为x|xx|x1 1或或x x3

16、3.当x(，1)时，u=x24x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(，1)是复合函数的单调减区间；当x(3，)时，u=x24x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+)是复合函数的单调增区间. .解：设u=x24x+3 ，u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(复合函数定义域)x2 (u减)解得x1.所以x(，1)时，函数u单调递减.由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x2)21的单调性与复合函数的单调性一致，所以(，1)是复合函数的单调减区间. u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(复合函数定义域)x2 (u增)解得x3.所以(3，+)

17、是复合函数的单调增区间. 代数解法：代数解法：.解: 设 y=logu,u=2xx2.由u0,u=2xx2 解得原复合函数的定义域为0 x2. 由于y=log13u在定义域(0，+)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数 u=2xx2的单调性正好相反.易知u=2x-x2=-(x1)2+1在x1时单调增. 由 0 x2 （复合函数定义域） x1，(u增)解得0 x1,所以(0，1是原复合函数的单调减区间. 又u=(x1)2+1在x1时单调减，由 x2， (复合函数定义域) x1， (u减) 解得0 x2,所以0，1是原复合函数的单调增区间.例2 求下列复合函数的单调区间： y=log(2

18、xx2).例题：求函数例题：求函数 的单调性。的单调性。23221)(xxxf解：设 ， f(u)和u(x)的定义域均为R因为，u在 上递减，在 上递增。而 在R上是减函数。所以， 在 上是增函数。在 上是减函数。232xxuuuf)21()(23,23uuf)21()(23221)(xxxf23,23.例4：求 的单调区间.1223 . 0 xxy解: 设 由uR, u=x22x1, 解得原复合函数的定义域为xR.因为 在定义域R内为减函数，所以由二次函数u=x22x1的单调性易知,u=x22x1=(x1)22在x1时单调减，由 xR, (复合函数定义域) x1， (u减)解得x1.所以(，

19、1是复合函数的单调增区间.同理1，+)是复合函数的单调减区间. uy3 . 0uy3 . 0.复合函数的单调性小结复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断： (1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域； (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函数； (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为减函数。

20、 复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减同增异减”。.四、函数的奇偶性四、函数的奇偶性1.奇函数奇函数:对任意的对任意的 ,都有都有Ix )()(xfxf)()(xfxf2.偶函数偶函数:对任意的对任意的 ,都有都有Ix 3.奇函数和偶函数的必要条件奇函数和偶函数的必要条件:注注:要判断函数的奇偶性要判断函数的奇偶性,首先首先要看其定要看其定义域区间是否关于原点对称义域区间是否关于原点对称!定义域关于原点对称定义域关于原点对称.奇奇(偶偶)函数的一些特征函数的一些特征1.若函数若函数f(x)是奇函数是奇函数,且在且在x=0处有定义处有定义,则则 f(0)=0.2.奇函数图像关于原点对称奇函

21、数图像关于原点对称,且在对称的区间上且在对称的区间上不不改变改变单调性单调性.3.偶函数图像关于偶函数图像关于y轴对称轴对称,且在对称的区间上且在对称的区间上改改变变单调性单调性.例例12 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 11) 1 (xxxf 23)2(xxf xxxf1)3( 3 , 2,)4(2xxxf.).(2)(,01);1 ()(,0.)(13xfxfxxxxfxxf）求（表达式；时）求（时且当是奇函数已知例. 14 11230,f xfafaa例是定义在，上的减函数，若求 的取值范围. 15 110111 20,f xfafaa例已知是定义在区间，上的奇函数，在区间 ，

22、上是减函数，且求实数 的取值范围.函数的图象函数的图象1、用学过的图像画图。、用学过的图像画图。2、用某种函数的图象变形而成。、用某种函数的图象变形而成。（1）关于）关于x轴、轴、y轴、原点对称关系。轴、原点对称关系。（2）平移关系。）平移关系。（3）绝对值关系。）绝对值关系。.反比例函数反比例函数 kyx1、定义域、定义域 .2、值域、值域 3、图象、图象k0k0a10a 0,a1).对数函数yx aalog其中且 a 011、定义域、定义域 .2、值域、值域 R3、图象、图象a10a0)(a0)的性质及应用的性质及应用.函数 (a0)的大致图像 xaxxf xy0 0aa2 a2 a. 利

23、用所掌握的函数知识,探究函数 (a0)的性质. xaxxf 1. 定义域定义域2.奇偶性奇偶性(-,0) (0 ,+) 奇函数奇函数 f(-x)=-f(x). xaxxf 210,xx上式中为使上式符号确定1212212121121221211212,(0,), 0)的单调区间的单调区间. 当当x (0 ,+)时时,确定某单调区间确定某单调区间 121212, ,.,(,., () ().(,f(x).,(0,f(x).x xax xx xx xx xx xaxf xxx当时 由是任意的 知可无限接近 而在同一个区间取值知a,+ )时都成立 此时 f所以a,+ )时是增函数同时可知a)时是减函

24、数. 当当x (-,0)时时,确定某单调区间确定某单调区间 ,.(,- a), (- a,0).f xf x由是奇函数 图像关于原点对称所以在是增函数在是减函数 (- a,0),(0, a).(,- a),( a,+ ), f x在是减函数在是增函数综上,函数 (a0)的单调区间是 xaxxf 单调区间的分界点为单调区间的分界点为: a的平方根的平方根.4.函数 (a0)的大致图像 xaxxf xy0 0aa2 a2 a.5.函数 (a0)的值域 xaxxf , 22,aa .1.已知函数 7f xxx (1).1,2 ,.xfx求的值域 (2).2,4 ,.xfx求的最小值 (3).7, 3

25、 ,.xfx 求的值域.( ).1,2(2)( )(1)1( )8 , 82xff xff x1 在是减函数 1 即 值域为2 7:( ),7,0,7f xxx 解函数在 07递减 在7递增( ).72,4 , ( )( 7)( )2,47xf xff xx2 分析知的最小值为 在最小值为2(3).7, 3( 7)( )( 3)168( )7, 38, -3xff xff xx 在是增函数 16 即- 值域为 3.2.已知函数 ,求f(x)的最小值,并求此时的x值. 2254xf xx 222222min4 11:4444,15y2,2240225, 02xf xxxxtxtxxf xx解原函

26、数化为1令 y=t+,(t2) 此函数在 1+递增t 此时 即时.3.建筑一个容积为建筑一个容积为800米米3,深深8米的长方体米的长方体水池水池(无盖无盖).池壁池壁,池底造价分别为池底造价分别为a元元/米米2和和2a元元/ 米米2.底面一边长为底面一边长为x米米,总造价为总造价为y.写出写出y与与x的函数式的函数式,问底面边长问底面边长x为何值时为何值时总造价总造价y最低最低,是多少是多少?22:S=100,100 2008 (2)xxx解长方体底面积米底面另一边长为 池壁总面积为米.min100t()0,10,t20 y520():,520.xxaa函数 在是减函数 在 10 +是增函数

27、在x=10时 最小值为 元答 底面一边长为10米时 总造价最低 为元200100 2(2) 810020016 () (0)yaxaxaa xxx 总造价 .函数图象与变换1平移变换(1)水平方向的变换：yf(xa)的图象可由yf(x)的图象沿x轴向左平移(a0)或向右平移(a0)或向下平移(b1(2) y=log (x+1) a1ayxyxo1yxo1.抓住函数中的某抓住函数中的某些性质，通过局些性质，通过局部性质或图象的部性质或图象的局部特征，利用局部特征，利用常规数学思想方常规数学思想方法（如类比法、法（如类比法、赋值法添、拆项赋值法添、拆项等）。等）。高考题和平时的高考题和平时的模拟题

28、中经常出模拟题中经常出 现现 。 抽象性较强；抽象性较强；综合性强；综合性强； 灵活性强；灵活性强； 难度大。难度大。 没有具体给出函没有具体给出函数解析式但给出数解析式但给出某些函数特性或某些函数特性或相应条件的函数相应条件的函数抽象函数问题抽象函数问题.一、研究函数性质“赋值” 策略对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将变量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的。【例【例 1】若奇函数若奇函数( )()f xxR，满足，满足(2) 1,(2)( )(2)ff xf xf，则，则(1)f等于（等于（ ） A0 B1 C12 D12 .(1)(1)令令x=,-

29、2,-1,0,1,2,x=,-2,-1,0,1,2,等特殊值求等特殊值求抽象函数的函数值；抽象函数的函数值；(3)(3)令令y=-x,y=-x,判断抽象函数的奇偶性；判断抽象函数的奇偶性；(4)(4)换换x x为为x+T,x+T,确定抽象函数的周期；确定抽象函数的周期；(2)(2)令令x=xx=x2 2,y=x,y=x1 1或或y= ,y= ,且且x x1 1x0且且 ）y=logax(a0且且 ）同上同上1a1a.一、一次一、一次函数模型函数模型:f(x+y)=f(x)+f(y) 解：解：xy令)()()0(,xfxff则0 yx又令0)0(f得 fxf x()( )2)1()1(ff故，f

30、f()() 221424 12)(，上的值域为：，在xf)()()(yfyxfxf得，由)()()(yfxfyxf2121,xxxx且任取)()()()()()(2121yfyxfyfyxfxfxf则)()()(2121xxfyxfyxf21xx 021xx0)(21 xxf则根据题意有为增函数在函数Rxxf)(12)(2)1(0)(，在求，xffxf都有对任意的实数已知函数yxxf,)(时且当0)()()(xyfxfyxf例例1:1:上的值域.解法解法2：0)(12xxfRxxxx2121，且设012 xx则, 0)(0 xfx时，由条件知当，)()(1122xxxfxf又 的增函数。为Rxxf)()()()(1112xfxfxxf.54)1(32)1()2()12()3(fffff又)1()22(2faaf则的解集。求不等式时，当有对任意已知函数3)22(, 5)3(2)(0),(2)()(,)(2aaffxfxyxfyfxfRyxxf例例2： 解解： 31|3)22(2aaaaf的解集为：因此不等式 2)()()(yfyxfxf得，由2)()()(yxfyfxf2121,xxxx且任取2)()(2)()()()(2121yfyxfyfyxfxfxf则)()()(2121xxfy