第5,6,7,8章 概率习题课2011[1]1219

1、1.设随机变量设随机变量X t(n),(n1), ,则则( )21XY (A) Y2(n)(B) Y2(n-1)(C) Y F(1,n)(D) Y F(n,1)2.对于正态总体对于正态总体X N( , 2),其中其中 2未知未知,样本容量样本容量 n和置信水平和置信水平1- - 均不变均不变.则对于不同的样本观则对于不同的样本观 察值察值,总体均值总体均值 的置信区间长度的置信区间长度L( )( (A) )变短变短( (B) ) 变长变长( (C) ) 不变不变( (D) ) 不能确定不能确定 3. 对于正态总体的对于正态总体的 进行假设检验进行假设检验,假如在假如在 = =0.05下接受下接

2、受H0: = = 0 0.那么在那么在 = =0.01时时,下列下列 结论中正确的是结论中正确的是( )(A) 必接受必接受H0(B) 可能接受也可能拒绝可能接受也可能拒绝H0(C) 必拒绝必拒绝H0(D) 不接受也不拒绝不接受也不拒绝H04.(04)4.(04)设随机变量设随机变量 对给定的对给定的 ，数，数 满足满足 ， 若若 ，则，则 等于等于 。 ),1 , 0( NX)10( u uXP xXPx(A)(A)(D)(D)(B)(B)(C)(C)2 u21 u21 u 1u5. 设设(X1,X2,Xn)是来自正态总体是来自正态总体N( , 2)的的样本样本, ,则则D(S2)=( )

3、21211 niiXXnS(A)n4 (B)n42 (C)14 n (D)124 n 6. 设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体X的样本的样本, E(X)= , D(X)= 2 , 为为 样本均值样本均值,S2为样本方差为样本方差,则则( )X(A)22S) 1n( 2(n-1)(B)X ),(2nN (C) S2与与X相互独立相互独立(D) S2是是 2的无偏估计量的无偏估计量7. 7. 在假设检验中，表示在假设检验中，表示 原假设，原假设， 表示备择表示备择假设，则犯第一类错误的情况为（假设，则犯第一类错误的情况为（ ）（A A） 真，接受真，接受 （B B） 不真，接受不真，接受 （

4、C C） 真，拒绝真，拒绝 （D D） 不真，拒绝不真，拒绝0H1H1H1H1H1H1H1H1H1H8.设随机变量设随机变量X X和和Y Y都服从标准正态分布，则都服从标准正态分布，则(A)X+Y服从正态分布服从正态分布 (B)X2+ Y2服从分布服从分布(C) X2和和Y Y2服从分布服从分布 (D) 服从服从F F分布分布2222YX9.设设 是来自标准正态总体的简单是来自标准正态总体的简单随机样本，随机样本， 和和 分别是样本均值和样本方差，分别是样本均值和样本方差，则（）则（）（）（） （）（）（）（） 服从服从t t分布（）分布（） 服从分布服从分布nXXX,21X2S)1 , 0(

5、 NX)1 , 0( NXnSX / niiX122 10. 是来自正态总体的简单是来自正态总体的简单随机样本，随机样本， ， 和和 分别是样本均分别是样本均值和样本方差，则（）值和样本方差，则（） () ) 服从自由度为服从自由度为v v的分布的分布（）（） 服从自由度为服从自由度为 的分布的分布（）（） 服从自由度为服从自由度为 的分布的分布（）（） 服从自由度为服从自由度为v v的分布的分布nXXX,211 nvX2S niiX122 22 nSn2 22 Sn2 22 vS2 11.设随机变量设随机变量 和和 ,并相互独并相互独立立, 则（）则（） () 服从分布服从分布 () 服从分

6、布服从分布 () 服从分布服从分布 () 服从分布服从分布 1 , 0 NX 2 , 0 NY223231YX 2 222121YX 2 231YX 2 221YX 2 12.设总体设总体X X服从正态分布服从正态分布 ， 是来自是来自X X的简单随机样本，的简单随机样本， 统计量统计量 （ ） 服从服从F F分布，则分布，则 等于（等于（ ） （A A）4 4 （B B）2 2 (C) 3 (D) 5 2, 0 N1021,XXX 210212214XXXXYii 101 ii13. 设设 是来自总体是来自总体 的样本，则的样本，则 的矩估计量为（）的矩估计量为（）（）（） （）（）（）（）

7、 （）（）nXXX,21 2, NX22 niiXXn121 niiXXn1211212XnXnii niiXn121设由来自正态总体设由来自正态总体X N( , 0.92),容量容量n=9的样的样 本计算得本计算得 =5 , 则未知参数则未知参数 的置信度为的置信度为 0.95的的 置信区间为置信区间为_.X(4.412 , 5.588) 2. 设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体 的随机样本的随机样本,其中其中 , 2未知未知,记记 , .则检验假设则检验假设 H0: =0用用_检验检验,使用统计量使用统计量_. niiXnX11212)(XXQnii ), 0 (2 Nt) 1( n

8、nQX3.设设X1,X2,X16是总体是总体N( , 2)的样本的样本, 是样本均值是样本均值, S2是样本方差是样本方差.若若 ,则则a=_. 当当c=_时时, 是是 2的无偏估计量的无偏估计量.X05. 0)( asXP 21511)( iiiXXc0.43751/304.设总体设总体X具有概率密度具有概率密度 其其它它,011,)(xxxfX1,X2,X50为取自为取自X的样本的样本, 是样本均值是样本均值,S2为样为样本方差本方差,则则 =_. =_.E(S2)=_.X)(XE)(XD01/1001/25. 设设X1,X2,X6为来自正态总体为来自正态总体N(0, 2)的随机样本的随机

9、样本, 而而Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2 , 试确定常数试确定常数c=_,使得随机变量使得随机变量cY2.1/(3 2) 6. 设设 X1,X2,Xn 为为 n 个独立同分布的随机变量个独立同分布的随机变量,且且 E(Xi)= , D(Xi)=8 (i=1,2,n) . 对于对于 ,用切用切 比雪夫不等式估计比雪夫不等式估计 _. niiXnX11 44 XP1- -(1/2n)X7.设总体设总体X服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 0为未知参数为未知参数, (X1,X2,Xn)为总体为总体X中抽出的一个样本中抽出的一个样本.则参数则参数 的的 矩估计量矩估计量

10、 =_. 8. 设随机变量设随机变量X1,X2,X1000独立同分布独立同分布,且且Xi (0-1),参参 数数 p=0.1, 则由中心极限定理有则由中心极限定理有iXP_.0.1461设总体设总体 , , 设总体设总体X X N(0,1), N(0,1), nXXX,21为总体为总体X X的一个样本的一个样本, , (,)Xb m pnXXX,21为总体为总体X X的一个样本的一个样本, , , ()D X 2,()E S 则则()E X 则则设总体设总体 , , ( )X nXXX,21为总体为总体X X的一个样本的一个样本, , 则则, ()D X 2,()E

11、S ()E X , ()D X 2,()E S ()E X 设总体设总体 , , 2()Xm nXXX,21为总体为总体X X的一个样本的一个样本, , 则则, ()D X 2,()E S ()E X . .设设 是来自总体是来自总体 nXXX,21),(2 N niiXX122/)( 11.11.设总体设总体X , , 为来自为来自X的一个样本的一个样本, ,设设 , ,则当则当a = = ， b= b= 时时Y 服从服从 分布，其自由度为分布，其自由度为 )2 , 0(2N4321,XXXX243221)43()2(XXbXXaY 2 的样本，则的样本，则)1(2 n 21/1001/20

12、1313 设设 是来自总体是来自总体 的样本，则的样本，则21, XX)2( , 1(2N408. 0)(221 XXP= =6255. 0)3194. 0(,102. 0)1(275. 0 1212 设总体设总体X , , 为来自为来自X的一个样本的一个样本, ,则则 服从服从 分布，参数为分布，参数为 )2 , 0(2N1521,XXX)(221521121021XXXXY 1414 设设X X1, X2,X20是来自总体是来自总体 的简单随机的简单随机 20112101)1(iiiiiXX), 0(2NX样本，则统计量样本，则统计量 服从服从_分布。分布。 (10,5)F0.25t(10

13、)1.1. 设设X X1, X2,Xn+1是正态总体是正态总体N( N( )的简单样本，的简单样本，2 , niiXnX11212)(1 niinXXnS2221)()(1( niiXXn 111 nnSXXnn试求试求和和 的分布，的分布， 的分布。的分布。2 2（0505） 设随机变量设随机变量 为来自总体为来自总体 的简单随机样本，的简单随机样本， 为样本均值，为样本均值， 记记)2(,21 nXXXnX求求(1) 的方差的方差niXXYii, 2 , 1, (2) 与与 的协方差的协方差iYniYDi, 2 , 1),( 1YnY),(1nYYCov)1 , 0(N 设总体设总体 服从

14、（服从（a，b）上的均匀分布，）上的均匀分布， a，b均未知，又均未知，又设设 是一个样本，试求是一个样本，试求a，b的矩估计量的矩估计量nXXX,21 X4)(12)()()()( 2)(222221baabXEXDXEbaXE解解由矩估计法令由矩估计法令22214)(12)(2AbaabAba解方程组，得解方程组，得 a 和和 b 的矩估计量分别为的矩估计量分别为niiniiXXnXbXXnXa1212)(3)(3011),()(dxxedxxxfXEx解解因为因为由矩估计法令由矩估计法令XA 11所以所以 矩估计量为矩估计量为X故故 的矩估计值为的矩估计值为x 设总体设总体 的概率密度为

15、的概率密度为样本为样本为 ，试用矩估计法求，试用矩估计法求 的估计值的估计值0 00 1);(xxexfxnXXX,21 未知0X设总体设总体 的数学期望的数学期望 及方差及方差 都存在，且有都存在，且有 但但 , , 均未知，又设均未知，又设 是一个样本，试是一个样本，试求求 , , 的矩估计量的矩估计量X2022nXXX,21 2222221)()()( )(XEXDXEXE解解2221 AA由矩估计法令由矩估计法令解方程组，得解方程组，得 和和 的矩估计量分别为的矩估计量分别为2XA 1niiniiXXnXXnAA122122122)(11 上述结果表明，总体均值与方差的矩估计量的表达式

16、不上述结果表明，总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而不同因不同的总体分布而不同 设总体设总体 的概率密度为的概率密度为样本为样本为 ，求，求(1) (1) 的矩估计量的矩估计量 (2)(2)其它 00 )(6);(3xxxxfnXXX,21 X)(D 设某种元件的使用寿命设某种元件的使用寿命 的概率密度为的概率密度为又设又设 是是 的一组样本观察值，求参数的一组样本观察值，求参数 的最的最大似然估计值大似然估计值xxexfx 0 2);()(2nxxx,21 未知0XX 已知已知X的分布律为的分布律为 求求 的矩估计及极大似然估计量的矩估计及极大似然估计量, 2 , 1,)1

17、(1kppkXPkp 设总体设总体 , , 均未知，又设均未知，又设 为为X的一组样本观测值，试求的一组样本观测值，试求 的极大似然估计值量的极大似然估计值量),(2NX2,),(21nxxx 2, 设总体设总体X服从（服从（a，b）上的均匀分布，）上的均匀分布， a，b均未知，又设均未知，又设 为为X的一组样本观测值，试求的一组样本观测值，试求a，b的极大似然估计值量的极大似然估计值量. .),(21nxxx 11 11 设设 未知，未知， 是是X 的一个的一个 样本，样本， 为为X 的一组样本观测值，试求参数的一组样本观测值，试求参数 的极大似然估计值量的极大似然估计值量. .ppbX),

18、 1 (nXXX,21 p为总体为总体X 的样本，的样本，nXXX,21 为总体为总体X 的样本，的样本，nXXX,21 ),(21nxxx 例例 设总体设总体X的概率分布为的概率分布为 ，其中其中 是未知参数，利用总体是未知参数，利用总体X的如下样品值的如下样品值3，1，3，0，3，1，2，3，求未知参数，求未知参数 的矩估计值和最大的矩估计值和最大似然估计值。似然估计值。 21)1(2321022X)2/10( 12 设设 是参数是参数 的无偏估计的无偏估计, , 且有且有 , ,则则 是是 的无偏估计的无偏估计0)(D22)(213 设设 是参数是参数 的无偏估计的无偏估计, , 且有且

19、有 , ,则则 不是不是 的无偏估计的无偏估计0)(D22)(214 设总体设总体 , 是来自是来自X的样本的样本, 适当选择常数适当选择常数c, 使使 为为 的无偏估计的无偏估计 . 2),(2NXnXXX,211121)(niiixxc由定义知由定义知 较较 有效有效)()(21DD12所以所以 , , 均为均为 的的)(,)(21EE又因为又因为22121121)(41)(41)2121()()(XDXDXXDXDD22121285)(169)(161)4341()(XDXDXXDD因为因为所以所以无偏估计，无偏估计，122设总体设总体X 的数学期望的数学期望 ，方差，方差 存在，存在，

20、 是是X的样的样本，证明估计本，证明估计 时时, , 与与 都是都是 的无偏估计的无偏估计, ,但但 比比 更有效更有效21,XX2112121XX 2124341XX 1216. 设总体设总体X服从服从0, 上的均匀分布上的均匀分布, X1, X2,Xn是来自是来自X的样本的样本. 求求 的矩的矩 估计量及最大似然估计量估计量及最大似然估计量,并判断它们并判断它们 是否是是否是 的无偏估计量的无偏估计量. .解答解答X2 矩矩 ininXX 1max最最大大 是无偏估计量是无偏估计量, , 不是无偏估计量不是无偏估计量. .矩矩 最最大大 有一大批糖果，现从中随机地取有一大批糖果，现从中随机

21、地取16袋，称得重量（以克计）袋，称得重量（以克计）如下：如下：506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 ，设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值试求总体均值 的置信度为的置信度为0.95的置信区间。的置信区间。解：解：这里这里 =0.95, 由已知的数据算得由已知的数据算得 11315. 2)15(,151,025. 02025. 0tn2022. 6,75.503sx1315. 2162022. 675.503 未知未知, 由公式由公式(2)得均值得均值 的置

22、信度为的置信度为0.95的置信区间为的置信区间为 即（即（500.4, 507.1）2这就是说估计袋装糖果重量的均值在这就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4与与507.1之间，这个估之间，这个估计的可信程度为计的可信程度为95%。若以此区间内任一值作为。若以此区间内任一值作为 的近似值，其的近似值，其误差不大于误差不大于 （克），这个误差估计（克），这个误差估计的可信程度为的可信程度为95%。61. 621315. 2162022. 6 有一大批糖果，现从中随机地取有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量（以克计）袋，称得重量（以克计）如下：如下：506 508 499 503 504

23、 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 ，设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体标准差试求总体标准差 的置信度为的置信度为0.95的置信区间。的置信区间。解：解：现在现在查表得查表得又又 s =6.2022 ， 151,975. 021 ,025. 02n262. 6)15(,488.27)15(2975. 02025. 0(4.58, 9.60)得所求的标准差得所求的标准差 的置信区间为的置信区间为 ) 1(1,) 1(122122nSnnSn由由(4)式式19. 设某次考试的学生成绩服从正态分布设某

24、次考试的学生成绩服从正态分布, ,从从 中随机地抽取中随机地抽取36名考生的成绩名考生的成绩, ,算得平均成算得平均成绩为绩为66.5 , ,标准差为标准差为15分分. .(1)问在显著水平问在显著水平 =0.05=0.05下下, ,是否可以认为这次考试全体考生是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为的平均成绩为70分分?(2)?(2)在显著水平在显著水平 =0.05下下是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为162? ?答答: : (1)认为这次考试的平均成绩为认为这次考试的平均成绩为70分分 (2)认为这次考试的成绩方差为认为这次考试的成绩方差为1622

25、0.20.某厂用自动包装机包装化肥，每包额定重量为某厂用自动包装机包装化肥，每包额定重量为100100千克，千克，设每包实际重量服从正态分布，且由以往经验知设每包实际重量服从正态分布，且由以往经验知 为检查包装机工作是否正常，某日开工后，随机抽取为检查包装机工作是否正常，某日开工后，随机抽取1010包包 称得重量（千克）为：称得重量（千克）为： 99.3 98.9 101.5 101.0 99.6 98.7 99.3 98.9 101.5 101.0 99.6 98.7 102.2 100.8 99.8 100.9 102.2 100.8 99.8 100.9 问该日包装机工作是否正常？问该日

26、包装机工作是否正常？2281. 2)10(,8125. 1)10(2622. 2)9(,8331. 1)9(96. 1,645. 1,05. 005. 005. 005. 005. 0025. 005. 0 ttttZZ 15. 1 22.22. 某厂用自动包装机包装化肥，每包额定重量为某厂用自动包装机包装化肥，每包额定重量为100100千克，千克，设每包实际重量服从正态分布，为检查包装机工作是否正常，设每包实际重量服从正态分布，为检查包装机工作是否正常，某日开工后，随机抽取某日开工后，随机抽取1010包，称得重量（千克）为：包，称得重量（千克）为：99.3 98.9 101.5 101.0

27、99.6 98.7 102.2 99.3 98.9 101.5 101.0 99.6 98.7 102.2 100.8 99.8 100.9100.8 99.8 100.9问该日包装机工作是否正常？问该日包装机工作是否正常？2281. 2)10(,8125. 1)10(2622. 2)9(,8331. 1)9(96. 1,645. 1,05. 005. 005. 005. 005. 0025. 005. 0 ttttZZ 2323设某厂生产的某种型号的灯泡，其寿命服从正态分布设某厂生产的某种型号的灯泡，其寿命服从正态分布 由以往经验知道灯泡的平均寿命由以往经验知道灯泡的平均寿命 小时，为了提高

28、灯泡的寿命，对生产工艺进行了改革，现从小时，为了提高灯泡的寿命，对生产工艺进行了改革，现从新工艺生产的灯泡中抽取了新工艺生产的灯泡中抽取了2525只，测得平均寿命为只，测得平均寿命为16751675小时，小时，问采用新工艺后，灯泡寿命是否有显著提高？（问采用新工艺后，灯泡寿命是否有显著提高？（ ） 05. 0 )40000,( N15000 2424设某厂生产的某种型号的灯泡，其寿命服从正态分布设某厂生产的某种型号的灯泡，其寿命服从正态分布 由以往经验知道灯泡的平均寿命由以往经验知道灯泡的平均寿命 小小时，为了提高灯泡的寿命，对生产工艺进行了改革，现从新时，为了提高灯泡的寿命，对生产工艺进行了

29、改革，现从新工艺生产的灯泡中抽取了工艺生产的灯泡中抽取了2525只，测得平均寿命为只，测得平均寿命为16751675小时，小时， 问采用新工艺后，灯泡寿命是否有显著提高？问采用新工艺后，灯泡寿命是否有显著提高？（ ）05. 0 ),(2 N15000 198 s2525已知某种元件的寿命服从正态分布，要求该元件的平已知某种元件的寿命服从正态分布，要求该元件的平均寿命不低于均寿命不低于10001000小时。现从这批元件中随机抽取小时。现从这批元件中随机抽取2525只，只，测得样本平均寿命测得样本平均寿命 小时，标准差小时，标准差 小小时，试在水平时，试在水平 下，确定这批元件是否合格？下，确定这

30、批元件是否合格？ 980 x65 s05. 0 2626某厂生产的某种电池，其寿命长期以来服从方差某厂生产的某种电池，其寿命长期以来服从方差小时的正态分布，今有一批这种电池，为判断其寿命的波动性小时的正态分布，今有一批这种电池，为判断其寿命的波动性是否较以往有所变化，随机抽取了一个容量是否较以往有所变化，随机抽取了一个容量 的样本，的样本，测得其寿命的方差为测得其寿命的方差为 小时小时2 2，试问，在检验水平，试问，在检验水平 下，这批电池寿命的波动性较以往是否显著变大？下，这批电池寿命的波动性较以往是否显著变大？ 05. 0 72002 s26 n500020 2727某种导线，要求其电阻的

31、标准差不得超过某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.0050.005（欧姆），（欧姆），今在生产的一批导线中抽样品今在生产的一批导线中抽样品9 9根，测得根，测得 （欧姆），设总体为正态分布，问在水平（欧姆），设总体为正态分布，问在水平 下能否认为这批导线的标准差显著地偏大？下能否认为这批导线的标准差显著地偏大？05. 0 007. 0 s2828测定某种溶液中的水份，它的测定某种溶液中的水份，它的1010个测定值给出个测定值给出 % %，设测定值总体为正态分布，设测定值总体为正态分布， 为总体方差，试为总体方差，试在水平在水平 下检验假设下检验假设037. 0 s2 05. 0 %04.

32、0:%;04. 0:10 HH2929某机床上加工的一种零件的内径尺寸，据以往经验知服从某机床上加工的一种零件的内径尺寸，据以往经验知服从正态分布，标准差为正态分布，标准差为 ，某日开工后，抽取，某日开工后，抽取1515个零个零 件测量内径，样本标准差件测量内径，样本标准差 ，问这天加工的零，问这天加工的零件的方差与以往有无显著差异？（件的方差与以往有无显著差异？（ ）033. 0 050. 0 s10. 0 3030某化纤厂生产的维尼纶，在正常情况下，其纤度服某化纤厂生产的维尼纶，在正常情况下，其纤度服从正态分布，方差为从正态分布，方差为 ，现换了一批原料进行生产，现换了一批原料进行生产，抽

33、取抽取6 6根进行纤度检测，结果为：根进行纤度检测，结果为：1.35 1.54 1.40 1.35 1.54 1.40 1.55 1.45 1.391.55 1.45 1.39，问按新的原料生产，纤度的方差有，问按新的原料生产，纤度的方差有无显著变化？无显著变化？ 205. 010. 0 主要类型题主要类型题1 1）利用事件间的关系与运算、概率及条件概率的基）利用事件间的关系与运算、概率及条件概率的基本性质；和、本性质；和、差差公式，公式，逆逆事件公式进行计算；事件公式进行计算；2 2）互斥、独立、子事件的概念；条件概率与独立性）互斥、独立、子事件的概念；条件概率与独立性的联系；独立的性质定理；的联系；独立的性质定理；3 3）古典概型的概率计算；）古典概型的概率计算；4 4）乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式）乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式;