线性方程组与向量的线性相关性

1、理学院数学科学系理学院数学科学系1第三章第三章 线性方程组与向量的线性相关性线性方程组与向量的线性相关性 线性方程组的理论是线性代数的主要内容，一般问题的线性方程组的理论是线性代数的主要内容，一般问题的最终解决归根结底是要考虑一个相关的线性方程组最终解决归根结底是要考虑一个相关的线性方程组. 线线性相关性的一些概念是线性代数中的基本概念之一性相关性的一些概念是线性代数中的基本概念之一. 本本先利用矩阵的秩讨论方程组的有解性，然后利用向量的先利用矩阵的秩讨论方程组的有解性，然后利用向量的线性相关性讨论方程组的解的一般表达式线性相关性讨论方程组的解的一般表达式.本章重点：本章重点：线性方程组的有解

2、性的条件线性方程组的有解性的条件向量的线性相关性的基本概念与基本结论向量的线性相关性的基本概念与基本结论线性方程组的解的结构理论线性方程组的解的结构理论向量空间的基本概念向量空间的基本概念(基，维数，坐标等基，维数，坐标等)(补充补充)理学院数学科学系理学院数学科学系23.1 消元法消元法对于一般形式的线性方程组，最基本且较简便的方法是对于一般形式的线性方程组，最基本且较简便的方法是消元法，在本节将介绍线性方程组的消元过程可以用矩消元法，在本节将介绍线性方程组的消元过程可以用矩阵的初等行变换来实现阵的初等行变换来实现.一、线性方程组的矩阵形式一、线性方程组的矩阵形式二、初等行变换解线性方程组二

3、、初等行变换解线性方程组理学院数学科学系理学院数学科学系3一、线性方程组的矩阵形式一、线性方程组的矩阵形式线性方程组的一般形式：线性方程组的一般形式：,21 nbbbb,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA,21 nxxxX .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa理学院数学科学系理学院数学科学系4线性方程组的矩阵形式：线性方程组的矩阵形式：. bAX A称为线性方程组的称为线性方程组的系数矩阵系数矩阵；若令；若令 ，则称，则称矩阵矩阵 为线性方程组的为线性方程组的增广矩阵增广矩阵.),(bAA A线性方程

4、组与它的增广矩阵是一一对应的线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的.理学院数学科学系理学院数学科学系5行对应方程，列行对应方程，列对应未知元对应未知元二、初等行变换解线性方程组二、初等行变换解线性方程组(以例说明以例说明) . 172, 4532, 1443143214321xxxxxxxxxxx 172014513214111),(bA122rr 17201231101411123110 13rr 相当于将第一、二相当于将第一、二方程中方程中 的消去了的消去了1x23rr 000002311014111理学院数学科学系理学院数学科学系6 000002311014111 . 00, 23, 14

5、4324321xxxxxxx未知元的个数多于方未知元的个数多于方程的个数，则存在不程的个数，则存在不受约束的未知元，称受约束的未知元，称为自由未知元为自由未知元.若选择若选择 作为自由未知元，则作为自由未知元，则 受受 的约束的约束 43, xx2x23432 xxx21rr 000002311017201 4321xxxx,1c 2c 21,cc( 为任意常数为任意常数).,3221cc ,72121cc 理学院数学科学系理学院数学科学系7 . 022, 22, 1, 125432542154324321xxxxxxxxxxxxxxxx例例1.1 解线性方程组解线性方程组(P78, Ex.2

6、(1)解：解： 011220221011111110101121),(bA13rr 01122012011011111010112123rr 231000242rr 231000 34rr 100000032rr 00000023100012011010112131rr 130121 212rr 110101 54321xxxxx,1c 2c ,322c ,2121cc ,121cc 21,cc( 为任意常数为任意常数).理学院数学科学系理学院数学科学系83.2 线性方程组的一般理论线性方程组的一般理论在本节将介绍线性方程组有解的条件，以及齐次线性方在本节将介绍线性方程组有解的条件，以及齐次线

7、性方程组有非零解的条件程组有非零解的条件.一、非齐次线性方程组解的研究一、非齐次线性方程组解的研究二、齐次线性方程组解的研究二、齐次线性方程组解的研究理学院数学科学系理学院数学科学系9一、非齐次线性方程组解的研究一、非齐次线性方程组解的研究例例2.1 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx123rr 132rr 322122351311321),(bA 104501045011321解：解：23rr 200001045011321, 3),( bAR方程组无解方程组无解. 此时此时. 2)( AR一般地，对于

8、方程组一般地，对于方程组AX=b，若若R(A) ，则是不是则是不是方程组一定无解呢？方程组一定无解呢？),(bAR 理学院数学科学系理学院数学科学系10例例2.2 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 . 0322, 363, 22, 1321321321321xxxxxxxxxxxx(P78, 例例2)解：解： 0322361321211111),(bA 032236131210111112rr 133rr 0320142rr 2100 232rr 210021001210111134rr 0000)1(2 r)1(3 r1210 2100 322rr 31rr 000021003010

9、301121rr 6001 . 2, 3, 6321xxx, 3),( bAR. 3)( AR 一般地，对于一般地，对于n元方程组元方程组AX=b，若若R(A)=R(A,b)=n，则是不是方程组一定有唯一解？则是不是方程组一定有唯一解？理学院数学科学系理学院数学科学系11例例2.3 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 . 0895, 4433, 13432143214321xxxxxxxxxxxx123rr 13rr 089514431311311),(bA 176401764011311解：解：理学院数学科学系理学院数学科学系12)4(2 r23rr 21rr 176401764011

10、311 000001011311414723 000001001414723454323 ,414723,454323432431xxxxxx选择选择 作为自由未知数作为自由未知数,43,xx ,2413cxcx,452431231 ccx,412471232 ccx, 2),( bAR. 2)( AR 一般地，对于一般地，对于n元方程组元方程组AX=b，若若R(A)=R(A,b)=r n)n元向量必线性相关元向量必线性相关.(P95,例例4)理学院数学科学系理学院数学科学系45解解：根据根据Thm3.1，需要计算需要计算 和和 .),(321 R),(21 R),(321 12rr 13rr

11、 22 r235rr 751421201 550220201 000110201由此可见由此可见, 2),(321 R, 2),(21 R所以所以321, 线性相关；线性相关；线性无关线性无关.21, 例例3.2 已知已知 试讨论向量组试讨论向量组 及向量组及向量组 的线性相关性的线性相关性.321, 21, ,742,520,111321 理学院数学科学系理学院数学科学系46方程组方程组 与与 同解同解0 AX0 BX利用初等变换不仅可以判断向量组的线性相关性，而且利用初等变换不仅可以判断向量组的线性相关性，而且可以寻找向量之间的线性关系：可以寻找向量之间的线性关系：),(21mA Bmr

12、),(21 则则 中部分向量与中部分向量与 中对应的中对应的向量有相同的线性相关性和线性关系：向量有相同的线性相关性和线性关系：m ,21m ,21ssiiiiii ,2121与与r),(321 000110201),(321 显然有显然有,2213 所以也有所以也有.2213 理学院数学科学系理学院数学科学系473. 线性相关性与线性表示线性相关性与线性表示Thm3.4 向量组向量组 (m1)线性相关的充要条件线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.m ,21必要性：必要性：线性相关线性相关m ,2102211 mmkkk 的系数至

13、少有个可以不为零的系数至少有个可以不为零mimiiiiiiiikkkkkkkk 111111充分性：充分性：m ,21中有一个向量是其余向量的线性组合中有一个向量是其余向量的线性组合mmiiiiikkkk 11111101111111 mmiiiiikkkk 理学院数学科学系理学院数学科学系48Thm3.5 设向量组设向量组 线性无关，而向量组线性无关，而向量组 线性相关，则线性相关，则 必是必是 的线性组合，且线性表示式惟一的线性组合，且线性表示式惟一.m ,21 ,21mm ,21 依据线性表示的判定：依据线性表示的判定：mRm ),(21 1),(21 mRm ),(),(2121 mm

14、RR mRm ),(21 理学院数学科学系理学院数学科学系49Thm3.6 设向量组设向量组 可由向量组可由向量组 线性表示，若线性表示，若r s，则向量组则向量组 线性相关线性相关.r ,21s ,21r ,21多者能被少者表示，则多者必线性相关多者能被少者表示，则多者必线性相关.,),(),(2122221112112121 srssrrsrkkkkkkkkk BKA 0 AX0 BKX0 KXrsKR )(理学院数学科学系理学院数学科学系50推论推论1 设向量组设向量组 可由向量组可由向量组 线性表示，若线性表示，若 线性无关，则线性无关，则r ,21s ,21r ,21. sr 推论推

15、论2 任意两个等价的线性无关向量组，它们所含向量个任意两个等价的线性无关向量组，它们所含向量个数相等数相等.理学院数学科学系理学院数学科学系51四、向量组的秩和极大线性无关组四、向量组的秩和极大线性无关组在一个方程组中，可能有在一个方程组中，可能有“多余多余” 的方程的方程在一个向量组中，可能有在一个向量组中，可能有“多余多余” 的向量的向量这个这个“多余多余”的意思是什么呢？的意思是什么呢？可以删除多余的向量，从本质说，所给的向量组没有变可以删除多余的向量，从本质说，所给的向量组没有变化，因为被删除的向量可以用余下的向量组合出来化，因为被删除的向量可以用余下的向量组合出来. 就就像在方程组中

16、删除多余的方程，方程组的解是不会变化像在方程组中删除多余的方程，方程组的解是不会变化的的.Def3.6 设向量组设向量组 中有一部分向量组中有一部分向量组 ，该部分向量组满足以下条件，该部分向量组满足以下条件m ,21,21ii ri ,(1) 线性无关；线性无关；(2) 再加入原向量组中任意其它一个向量再加入原向量组中任意其它一个向量(如果有的话如果有的话)所所形成的新的部分向量组都线性相关，形成的新的部分向量组都线性相关，则称向量组则称向量组 为向量组为向量组 的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组.m ,21riii ,21Def3.7 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的

17、极大线性无关组所含向量的个数称为向向量组的秩量组的秩.理学院数学科学系理学院数学科学系52j 可以由向量组可以由向量组 出来出来riii ,21riii ,21线性无关线性无关jiiir ,21线性相关线性相关v向量组与其极大线性无关组等价向量组与其极大线性无关组等价. 这是极大线性无关组这是极大线性无关组的一个本质性质的一个本质性质.v一个向量组的极大线性无关组不惟一一个向量组的极大线性无关组不惟一.rkkiiii 0101理学院数学科学系理学院数学科学系53Thm3.7 一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价，一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价，且所含向量的个数相等且所含向量的个数

18、相等.m ,21riii ,21rjjj ,21Thm3.8 向量组向量组 的秩等于矩阵的秩等于矩阵 的秩，换句话说，矩阵的秩等于矩阵各列的秩，换句话说，矩阵的秩等于矩阵各列(行行)所构成向所构成向量组的秩量组的秩.m ,21),(21m 向量组向量组 的秩记为的秩记为m ,21).,(21mR 理学院数学科学系理学院数学科学系54m ,21证证：设向量组：设向量组 的秩的秩r，则存在部分组则存在部分组riii ,21线性无关，所以线性无关，所以),(21mR rRriii ),(21 再证再证 不会大于不会大于r：用反证法用反证法),(21mR 假设假设 ，则在矩阵，则在矩阵 中存中存在一个

19、在一个r+1阶非零子式阶非零子式D，1),(21 rRm ),(21m 不妨设不妨设D取自矩阵取自矩阵 的第的第 列，则列，则),(21m 111, rjjj, 1),(121 rRrjjj 121, rjjj 线性无关，线性无关，这与向量组这与向量组 的秩为的秩为r矛盾！矛盾！m ,21理学院数学科学系理学院数学科学系55例例3.3 设矩阵设矩阵,97963422644121121112 A求矩阵求矩阵A的各列构成的向量组的一个极大线性无关组，并的各列构成的向量组的一个极大线性无关组，并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示出

20、来表示出来.解：解： 3433004440613304121121rr 232rr 122rr 143rr 97963422644121121112),(54321 A理学院数学科学系理学院数学科学系56 31000620000111041211)4(3 r32rr 233rr 0000031000011104121123 r34rr , 3),(54321 R A的列向量组的极大线性无关组的列向量组的极大线性无关组含有三个向量，由最后一个矩阵易知含有三个向量，由最后一个矩阵易知 是一个极是一个极大线性无关组大线性无关组.421, 21rr 32rr 00000310003011040101,

21、04213 .3344215 理学院数学科学系理学院数学科学系57例例3.4 求证求证 (教材教材P100，例例6).()(ARABR 证：证：,ABC 记记 ,21nC ,21sA n ,21 s ,21 snssnnbbbbbbbbb212222111211n ,21s ,21可以由可以由 线性表示，线性表示，n ,21的极大线性无关组可由的极大线性无关组可由 线性表示线性表示s ,21n ,21s ,21 的极大线性无关组可由的极大线性无关组可由 的极大线的极大线性无关组线性表示，性无关组线性表示， nR ,21 .,21sR 理学院数学科学系理学院数学科学系58第三章第三章 线性方程组

22、与向量的线性相关性线性方程组与向量的线性相关性 线性方程组的理论是线性代数的主要内容，一般问题的线性方程组的理论是线性代数的主要内容，一般问题的最终解决归根结底是要考虑一个相关的线性方程组最终解决归根结底是要考虑一个相关的线性方程组. 线线性相关性的一些概念是线性代数中的基本概念之一性相关性的一些概念是线性代数中的基本概念之一. 本本先利用矩阵的秩讨论方程组的有解性，然后利用向量的先利用矩阵的秩讨论方程组的有解性，然后利用向量的线性相关性讨论方程组的解的一般表达式线性相关性讨论方程组的解的一般表达式.本章重点：本章重点：线性方程组的有解性的条件线性方程组的有解性的条件向量的线性相关性的基本概念

23、与基本结论向量的线性相关性的基本概念与基本结论线性方程组的解的结构理论线性方程组的解的结构理论向量空间的基本概念向量空间的基本概念(基，维数，坐标等基，维数，坐标等)(补充补充)理学院数学科学系理学院数学科学系593.4 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 在前面我们已经讨论了线性方程组的相容性理论在前面我们已经讨论了线性方程组的相容性理论，又介又介绍向量的线性相关性理论，接下来要研究线性方程组的绍向量的线性相关性理论，接下来要研究线性方程组的解的结构，也就是线性方程组的通解表达式有什么特征解的结构，也就是线性方程组的通解表达式有什么特征.一、齐次线性方程组的基础解系一、齐次线性方程组的

24、基础解系二、齐次线性方程组的解的结构二、齐次线性方程组的解的结构三、非齐次线性方程组的解的结构三、非齐次线性方程组的解的结构四、应用举例四、应用举例理学院数学科学系理学院数学科学系60一、齐次线性方程组的基础解系一、齐次线性方程组的基础解系 , 0, 0, 0221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(1), 0 AX(2),2211nnkxkxkx 是是(1)的解，的解， nkkk21是是(2)的解，的解，(1)与与(2)都是线性方程组，因此线都是线性方程组，因此线性方程组的解可以写成一个向量，性方程组的解可以写成一个向量，称为称为解向量解向量

25、. 线性方程组的所有解线性方程组的所有解构成一个向量组构成一个向量组.理学院数学科学系理学院数学科学系61Thm3.9 设设 都是齐次线性方程组都是齐次线性方程组 的解，的解，则则 也是齐次线性方程组也是齐次线性方程组 的解的解.s ,210 AXsskkk 22110 AX, 0, 0, 021 sAAA 齐次线性方程组的解的线性组合仍是齐次线性方程组的解齐次线性方程组的解的线性组合仍是齐次线性方程组的解)(2211sskkkA ssAkAkAk 2211. 0 齐次线性方程组的解构成一个向量组，向量组中向量可以齐次线性方程组的解构成一个向量组，向量组中向量可以由其极大线性无关表示，再由由其

26、极大线性无关表示，再由Thm3.9可知可知, 齐次线性方程齐次线性方程组的任一解可以由部分解表示出来组的任一解可以由部分解表示出来.理学院数学科学系理学院数学科学系62Def3.8 设设 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 的一组解，的一组解，若它满足以下条件：若它满足以下条件：t ,210 AX(1) 线性无关；线性无关；(2) 齐次线性方程组的任一解都能表示为的齐次线性方程组的任一解都能表示为的 线线性组合，性组合，t ,21则称则称 是齐次线性方程组的是齐次线性方程组的基础解系基础解系.t ,21齐次线性方程组的解构成的向量组齐次线性方程组的解构成的向量组(解集解集)的一个极大线性的一个极

27、大线性无关组，就是齐次线性方程组的一个基础解系无关组，就是齐次线性方程组的一个基础解系.当齐次线性方程组只有零解时，没有基础解系当齐次线性方程组只有零解时，没有基础解系.当齐次线性方程组有非零解时当齐次线性方程组有非零解时,基础解系中含有几个向量基础解系中含有几个向量?理学院数学科学系理学院数学科学系63Thm3.10 齐次线性方程组有非零解时，一定有基础解系，齐次线性方程组有非零解时，一定有基础解系，且基础解系含有且基础解系含有n-r个向量，其中个向量，其中n是未知量的个数，是未知量的个数，r是是系数矩阵的秩系数矩阵的秩.证：证：设设n个未知数的方程组个未知数的方程组AX=0的系数矩阵的系数

28、矩阵A的秩为的秩为r，不妨设不妨设A的前的前r个列向量线性无关，则个列向量线性无关，则A经行变换可化为：经行变换可化为： 000000001001,1, 111rnrrrnrbbbbA理学院数学科学系理学院数学科学系64 .,2211,2211, 22221212, 12121111rnnrrrnrnrrrrrnrnrnrncxcxcxcbcbcbxcbcbcbxcbcbcbx得齐次线性方程组的通解，得齐次线性方程组的通解，理学院数学科学系理学院数学科学系65 nrrrxxxxxx2121 001121111rbbbc 010222122rbbbc .100,2, 1 rnrrnrnrnbbb

29、c记作记作.2211rnrncccx 改写成向量形式，改写成向量形式，理学院数学科学系理学院数学科学系66令任意常数一个为令任意常数一个为1，其余为零：，其余为零： 0, 0, 121rnccc得到得到n-r个解，个解，,1 0, 1, 021rnccc,2 , . 1, 0, 021rnccc,rn 100010001,21,222221, 11211rnrrrrnrnbbbbbbbbb 线性无关，而且齐次线性方程线性无关，而且齐次线性方程AX=0的任一的任一解都可由它线性表示，所以它是齐次线性方程组解都可由它线性表示，所以它是齐次线性方程组AX=0的的基础解系，且含有基础解系，且含有n-r

30、个向量个向量.rn ,21理学院数学科学系理学院数学科学系67基础解系的求法：基础解系的求法：(1) 求齐次线性方程组的通解，求齐次线性方程组的通解，(2) 再分别令再分别令n-r 个任意常数一个为个任意常数一个为1，其余为零，就可得，其余为零，就可得到到n-r 个解，这就是所求的基础解系个解，这就是所求的基础解系.其实，任意常数取值可以是其他数组，只要所取的其实，任意常数取值可以是其他数组，只要所取的n-r 组组数线性无关就可以了数线性无关就可以了.令通解中任意常数为某一组数令通解中任意常数为某一组数, 实际上就是令线性方程组实际上就是令线性方程组的自由未知量为某一组数，因此的自由未知量为某

31、一组数，因此, 我们可以直接由化简后我们可以直接由化简后的方程组，分别令自由未知量一个为的方程组，分别令自由未知量一个为1，其余为，其余为0, 代入方代入方程组，就可得基础解系，不需要先写出通解程组，就可得基础解系，不需要先写出通解.理学院数学科学系理学院数学科学系68例例4.1 求下求下 面齐次线性方程组的基础解系面齐次线性方程组的基础解系(P104,例例1) . 042, 03, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解: : 421131111111A12rr 13rr 330022001111)2(2 r233rr 00001100111121rr 00001100201

32、1 4321xxxx1c2c212cc 2c 00111c,11022 c基础解系为基础解系为,00111 11022 选择选择 为自由未知量，令为自由未知量，令42, xx0, 142 xx, 1, 042 xx和和,00111 11022 理学院数学科学系理学院数学科学系69二、齐次线性方程组的解的结构二、齐次线性方程组的解的结构n元齐次线性方程组元齐次线性方程组AX=0，若若R(A)=r， 基础基础解系，则该方程组的通解为解系，则该方程组的通解为rn ,21).,( ,212211为为任任意意常常数数rnrnrnccccccX 理学院数学科学系理学院数学科学系70三、非齐次线性方程组的解

33、的结构三、非齐次线性方程组的解的结构Thm3.11 若若 是方程组是方程组AX=b的一个特定的解的一个特定的解(一般称为一般称为特解特解)， 是其对应的齐次线性方程组是其对应的齐次线性方程组AX=0 的的基础解系，则非齐次线性方程组基础解系，则非齐次线性方程组 AX=b 的通解为的通解为* rn ,21,2211*rnrncccX ).,(21为为任任意意常常数数rnccc 证：证：先证任意线性组合先证任意线性组合 都是都是AX=b的解，的解，rnrnccc 2211*)(2211*rnrncccA rnrnAcAcAcA 2211*000 bb 理学院数学科学系理学院数学科学系71再证再证A

34、X=b的任一解都可以表成线性组合的任一解都可以表成线性组合.2211*rnrnccc 设设 是是AX=b的任一解，的任一解， )(* *)( AAA 0 bb* rnrnccc 2211.2211*rnrnccc AX=b的两个解的差是的两个解的差是AX= 0的解；的解；AX=b的解与的解与AX= 0的的解之和是解之和是AX=b的解的解.理学院数学科学系理学院数学科学系72线性方程组线性方程组AX=b的求解步骤：的求解步骤：(1) 写出方程组对应的增广矩阵写出方程组对应的增广矩阵(A,b)，(2) 对增广矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，对增广矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，(3)

35、判断方程组是否有解，若有解，继续对增广矩阵施行判断方程组是否有解，若有解，继续对增广矩阵施行初等行变换，化为行最简形矩阵，初等行变换，化为行最简形矩阵，(4) 令自由未知量全部为零，可得特解令自由未知量全部为零，可得特解, (5) 令自由未知量一个为令自由未知量一个为1, 其余为零，可得对应的齐次方其余为零，可得对应的齐次方程组的基础解系，程组的基础解系，(6) 写出通解写出通解.理学院数学科学系理学院数学科学系73例例4.2 求下面非齐次线性方程组的解：求下面非齐次线性方程组的解：(P106, 例例2) . 533, 2, 322, 1242143143214321xxxxxxxxxxxxx

36、x解解: : 对增广矩阵施行初等行变换对增广矩阵施行初等行变换 53013211013211211211),(bA122rr 13rr 143rr 20620103101031011211理学院数学科学系理学院数学科学系74 2062010310103101121123rr 242rr 0000000000103101121121rr 00000000001031021101选择选择 作为自由未知量，作为自由未知量，43, xx, 0, 043 xx令令 得方程组的特解得方程组的特解,0012 , 1, 043 xx令令 和和 得对应齐次方程组的基础解系得对应齐次方程组的基础解系0, 143

37、xx,01311 ,10012 通解为通解为,2211 ccX ).,(21为任意常数为任意常数cc理学院数学科学系理学院数学科学系75例例4.3 求解方程组求解方程组 .32, 13, 021432143214321xxxxxxxxxxxx解解: : 对增广矩阵施行初等行变换：对增广矩阵施行初等行变换：12rr 13rr 22 r23rr 21rr 2132111311101111),( bA 2121001420001111 0000021000111121 00000210010112121,00 2121,011 01,102 21通解为通解为,2211 ccX ).,(21为任意常数

38、为任意常数cc理学院数学科学系理学院数学科学系76四、应用举例四、应用举例例例4.4 设设A为为 矩阵，且矩阵，且R(A)=r，求证：必存在一个求证：必存在一个秩为秩为n-r的的 矩阵矩阵B，使得使得AB=0.nm )(rnn 0 AB0),(21 sA 0),(21 sAAA , 0, 0, 021 sAAA 证：证：考虑齐次线性方程组考虑齐次线性方程组AX= 0，由于由于R(A)=rn，由由Thm3.10，AX=0必存在基础解系，且必存在基础解系，且含有含有n-r个向量，设个向量，设AX= 0的基础解系为的基础解系为rn ,21),(21rnB 令令显然满足显然满足B是是 矩阵，秩为矩阵，

39、秩为 ，且，且)(rnn rnBR )(),(21rnAAB . 0),(21 rnAAA 理学院数学科学系理学院数学科学系77例例4.5 设设A为为 矩阵，矩阵，B为为 矩阵，且矩阵，且AB=0，证明证明nm sn .)()(nBRAR 证：证：对矩阵对矩阵B按列分块按列分块，0 AB0),(21 sA 0),(21 sAAA , 0, 0, 021 sAAA ),(21sB 所以，所以， 是齐次线性方程组是齐次线性方程组AX= 0的解，因此的解，因此s ,21 的极大线性无关组中向量的个数不超过的极大线性无关组中向量的个数不超过AX= 0的基础解系中向量的个数，即有的基础解系中向量的个数，

40、即有s ,21),()(ARnBR .)()(nBRAR 理学院数学科学系理学院数学科学系78例例4.6 设设AX=b是一个是一个4元非齐次线性方程组，元非齐次线性方程组，R(A)=3， 是它的三个解，且是它的三个解，且321, ,432121 ,11113 求求AX=b的通解的通解.解解: : 因为因为R(A)=3， AX= 0的基础解系只含有一个向量，的基础解系只含有一个向量，31 32 +,2101 .,3RccX 理学院数学科学系理学院数学科学系79例例4.7 证明证明).()(ARAART 证证: : 下面证方程组下面证方程组 与与 同解：同解：0 Ax0)( xAAT若若 满足满足

41、 ，则有，则有 ，x0 Ax0)( AxAT即即. 0)( xAAT设设A为为 矩阵，矩阵， 为为 维列向量维列向量.nm nx若若 满足满足 ，则有，则有0)( xAATx, 0)( xAAxTT即即,0)()( AxAxT从而推知从而推知. 0 Ax由以上可知由以上可知 与与 同解，因此同解，因此0 Ax0)( xAAT).()(ARAART 理学院数学科学系理学院数学科学系80第三章第三章 线性方程组与向量的线性相关性线性方程组与向量的线性相关性 线性方程组的理论是线性代数的主要内容，一般问题的线性方程组的理论是线性代数的主要内容，一般问题的最终解决归根结底是要考虑一个相关的线性方程组最

42、终解决归根结底是要考虑一个相关的线性方程组. 线线性相关性的一些概念是线性代数中的基本概念之一性相关性的一些概念是线性代数中的基本概念之一. 本本先利用矩阵的秩讨论方程组的有解性，然后利用向量的先利用矩阵的秩讨论方程组的有解性，然后利用向量的线性相关性讨论方程组的解的一般表达式线性相关性讨论方程组的解的一般表达式.本章重点：本章重点：线性方程组的有解性的条件线性方程组的有解性的条件向量的线性相关性的基本概念与基本结论向量的线性相关性的基本概念与基本结论线性方程组的解的结构理论线性方程组的解的结构理论向量空间的基本概念向量空间的基本概念(基，维数，坐标等基，维数，坐标等)(补充补充)理学院数学科

43、学系理学院数学科学系81补充：补充： 向量空间的基本概念向量空间的基本概念 线性空间是线性代数中又一个基本概念，线性模型都是线性空间是线性代数中又一个基本概念，线性模型都是定义在某个线性空间上定义在某个线性空间上. 向量空间是最简单，具有直观向量空间是最简单，具有直观性的线性空间性的线性空间.在这部分中，只介绍向量空间的基本概念：向量空间、在这部分中，只介绍向量空间的基本概念：向量空间、基、维数、坐标等基、维数、坐标等.理学院数学科学系理学院数学科学系82Def01 设设V为为n维向量的集合，满足以下三个条件维向量的集合，满足以下三个条件 V 不是空集不是空集； 若若 ，则，则 ；V ,V （

44、V对于向量加法封闭）对于向量加法封闭） 若若 ，则，则 ，RkV , Vk （V对于向量与数的乘法封闭）对于向量与数的乘法封闭）那么称集合那么称集合V为为向量空间向量空间.理学院数学科学系理学院数学科学系83 3维向量的全体维向量的全体 ，就是一个向量空间，就是一个向量空间.3R因为因为3维向量的和仍然是维向量的和仍然是3维向量，数乘维向量，数乘3维向量仍然维向量仍然是是3维向量，另外，维向量，另外， 显然非空显然非空.3R一般地，一般地，n维向量的全体维向量的全体 也是一个向量空间也是一个向量空间.nR(2) 设设 是两个已知的是两个已知的n维向量，集合维向量，集合 ,|RlklkxL 是一

45、个向量空间是一个向量空间. 线性组合的全体线性组合的全体由由 所生成的向量空所生成的向量空间间 , ,(3) 齐次线性方程组齐次线性方程组AX= 0的解的全体就构成了一个向的解的全体就构成了一个向量空间，称为量空间，称为解空间解空间.理学院数学科学系理学院数学科学系84Def02 设设V为向量空间为向量空间， r个向量个向量 ，Vr ,21若满足若满足 线性无关；线性无关；r ,21V中任一向量都可由中任一向量都可由 线性表示，线性表示，r ,21只含零向量的向量空间没有基，规定它的维数为只含零向量的向量空间没有基，规定它的维数为0. 这样的向量空间称为这样的向量空间称为零空间零空间或或0维向

46、量空间维向量空间.那么向量组那么向量组 称为向量空间称为向量空间V的的一个基；一个基； r 称为向量空间称为向量空间V 的的维数维数，记作，记作 并称并称V 为为 r 维向维向量空间量空间.r ,21;dimV理学院数学科学系理学院数学科学系85向量空间向量空间V 可以看作是一个向量组可以看作是一个向量组(但是向量组不一定但是向量组不一定 是向量空间是向量空间)，根据极大线性无关组的等价定义知：，根据极大线性无关组的等价定义知：V 的维数就是向量组的秩的维数就是向量组的秩.V 的基就是向量组的极大线性无关组，的基就是向量组的极大线性无关组，向量空间的基也是不唯一的向量空间的基也是不唯一的.理学院数学科学系理学院数学科学系86关于基和维数的有关结论：关于基和维数的有关结论： 若向量空间若向量空间 ，则，则V 的维数不超过的维数不超过n .nRV 若向量空间若向量空间 , 且且 则则 nRV ,d