高等数学教学教案§10 2二重积分的计算法_第1页
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1、六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel#167;10. 2 二重积分的计算法授课次序62教 学 基 本 指 标教学课题§10. 2 二重积分的计算法教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点二重积分的计算法教学难点积分区域的变化参考教材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学积分：integral；重积分：multiple integral ；二重积分：double integral； 三重积分：threefold integral；课堂教学目标1 熟练掌握二重

2、积分（直角坐标系）的计算方法2 掌握二重积分（极坐标系）的计算方法教学过程1复习二重积分（直角坐标系）的计算方法（25min）2二重积分（极坐标系）的计算方法（65min）教 学 基 本 内 容§10. 2 二重积分的计算法 二. 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量r 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分. 按二重积分的定义. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式. 以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域, 小闭区域的面积为:

3、 , 其中表示相邻两圆弧的半径的平均值. 在Dsi内取点, 设其直角坐标为(x i, h i), 则有 , . 于是 , 即 . 若积分区域可表示为j 1(q)£r£j 2(q), a£q£b, 则 . 讨论: 区域如下图, 如何确定积分限? . . 例5. 计算, 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系中, 闭区域D可表示为 0£r£a , 0£q £2p . 于是 . 注: 此处积分也常写成. 利用计算反常积分: 设D1=(x, y)|x2+y2£R2, x³

4、0, y³0, D2=(x, y)|x2+y2£2R2, x³0, y³0, S=(x, y)|0£x£R, 0£y£R. 显然D1ÌSÌD2. 由于, 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 . 因为 , 又应用上面已得的结果有, ,于是上面的不等式可写成. 令R®+¥, 上式两端趋于同一极限, 从而. 例6 求球体x2+y2+z2£4a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积. 解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. , 其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D可表示为 0

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