椭圆双曲线的离心率问题

1、椭圆、双曲线的离心率问题丁益祥特级工作室张留杰教学目标1复习巩固椭圆、双曲线的第二定义、离心率的定义及求离心率的基本方法；2 从数和形两方面分析椭圆、双曲线的离心率与基本量a、b、c之间的关系，提高学生分析问题、解决问题的能力；强化数形结合思想、方程思想在解题中的应用；3通过对各区一模部分试题的分析，培养同学们良好的发散思维品质，增强学习解析几何的兴趣和信心，感受几何图形的美；4通过试题变式的训练，提高学生的解题能力，增强研究高考试题的意识，帮助学生树立“通过现象看问题的本质”这一辨证唯物主义观点.教学重点离心率的求法教学难点快捷地寻找出椭圆、双曲线的基本量之间的相等与不等关系，进而准确地求出

2、离心率或其范围是本节的难点.教学方法讲授与启发相结合教学过程2 2一回忆：（朝阳0804）已知双曲线 :笃-当-1 （a 0,b 0）的左、右焦点分别为 F1、a bF2，抛物线C2的顶点在原点，准线与双曲线Ci的左准线重合，若双曲线 Ci与抛物线C2的A.2交点P满足PF2 一 F1F2,则双曲线C1的离心率为D. 2、2解：由已知可得抛物线的准线为直线2方程为y4ab2b2由双曲线可知P(c, ) , (二) aa2 24a22 bc, b = 2a =ca本题所涉及的知识与方法， 使同学们明确设计此复习专=e2 -1 .e2 -1 = 2 , e =3 .（教师结合离心率在考纲中的要求、

3、 题的必要性和重要性.）引出课题. 二.知识方法复习 1. e = C ,（数量关系方面）ab2b2椭圆中二=1 -e2,双曲线中丐aa2与椭圆、双曲线的图形结合在一起，离心率又如何体现呢？（展示几何动画）（1）曲线的第二定义体现离心率的几何意义，特征角的三角形函数值；（2 ）离心率的变化与图形形状之间的内在联系：椭圆越圆，离心率越小；椭圆越扁，离心率越大；双曲线开口越大（阔），离心率越大； 开口越小（窄），离心率越小. 三典型试题分析设计意图：考查双曲线的标准方程及b 22 =e -1的应用.a例1.（西城0804）若双曲线2 , 2x ky二1的离心率是2，则实数k的值是（B ）A.-3B

4、.1C. 31D.-"33解析：先将方程化成标准形式，然后确定b2a2、b2，再根据=a2:e -1求出k的值请同学们思考：1变式：若椭圆x2 ky2 =1的离心率是一，则实数k的值是2设计意图：通过类似分析求解， 让同学们理解和掌握 “已知离心率时如何迅速求出方程中所 含有的参数的值或参数之间的关系”，同时还训练了同学们的举一反三能力.2 2xy例2 椭圆2 -1（ a b 0）的两个焦点分别为F、F2，以F1、F?为边作正三角ab形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e为（B ）B. .3-1 C. 4(2 - .3)2ce 二2a|旺|I PF1 | | PF21=-

5、.3 -1，故选 B 3 1解析：设点P为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，由平面几何知识可得|PF2 |:|PF1 |:|F1F2 1- 3:2 , 所以由椭圆的定义及 e=£得:a设计意图：充分利用平面几何中特殊图形的性质， 考查椭圆第一定义及离心率 e的基本求法, 突出了离心率的大小只和 c与a的比值有关，而与其大小分别是多少无关， 进一步揭示离心 率是体现椭圆扁圆程度的基本量.变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率2 2例3.(东城0804)已知双曲线 笃-爲=1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 FF2，若 a b(答案:1：e_2)在双曲线的右支

6、上存在一点P，使得PF, =：3PF2|PF | -|PF2| = 2a，得:IPFja，|PF2a，又 IFIc .解析：方法一：由 PR =3PF2及双曲线第一定义式因为点P在右支上运动，所以I PF, I I PF2 M F,F2 I ,c得4a 一 2c，即 2，又e 1，故填1 ：e乞2.a方法反思：若改变两个焦半径 PF,、PF2的倍分关系，同理也可得出相应的离心率的范围.方法二：若思考满足 PF, =3PF2的动点P的几何意义，将会体现出本试题更大的价值！(引导学生思考：到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么？同时启动几何画板.)P应在以AB为直径的圆上，其中因Fi(-c,0

7、) , F2(c,0),根据阿氏圆的定义可得：点A(|,0)为有向线段F1F2的内分点，B(2c, 0)为有向线段F1F2的外分点.所以双曲线上若存c在点P满足题意，必有a ，所以e2 .2故 1 ： e _ 2.方法反思：通过对条件 PF1 =3PF2的转化,揭示了本题中动点 P的本质属性，从而转化为圆心在 x轴上的圆和双曲线有公共点的问题,体现了模拟试题的综合性，同时也提高了同学们分析问题和解决问题的能力.2 2例4.(密云0804)已知双曲线 务-每=1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2, P a b是准线上一点，且 P& PF2, I PF1 I I PF2 I

8、= 4ab，则双曲线的离心率是(A )A. 3B. 、2C. 3D. 2引导同学们思考问题 变式：若将“准线”改为“双曲线”、“渐近线”呢?2 2思考作业（04全国3）双曲线 爲-爲-1 （a 1, b 0）的焦距为2c，直线I过点（a, 0 ）a b4和（0, b），且点（1, 0 ）到直线I的距离与点（-1, 0 ）到直线I的距离之和s _二c .求双曲线5的离心率e的取值范围.解：直线I的方程为x = 1，即 bxay- ab0 .a bb(a 1)由点到直线的距离公式，且a 1，得到点（1, 0）到直线I的距离d1 b（a 一1）同理得到点（一1, 0）到直线|的距离d2為2+b22aba2b2 c2ab 丄 4 2ab 4由 s c,得> -c,5 c 55a “ c2 - a2 _ 2c2.于是得 5. e2 -1 _ 2e2，即 4e4 - 25e2 25 _ 0 .解不等式，得_ e2 - 5.由于e 1 0,所以e的取值范围是 -5 .424（或