03静力学平衡问题解析

1、静力学平衡问题静力学平衡问题辽宁大学环境学院程志辉辽宁大学环境学院程志辉平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程根据平面任意力系向一点简化的理论，若力系平衡，必有主矢主矢FR=0，主矩主矩M0=0，反之亦然。因此，平面任意力系平衡的充分与必要条件为：平面任意力系的主矢和主矩同时为零平面任意力系的主矢和主矩同时为零主矢可用两个方向的分力表示主矢可用两个方向的分力表示平面任意力系平衡的解析条件平面任意力系平衡的解析条件力系中的各力在两个任选相交的坐标轴上投影代数和分别为零，各力对某点力矩代数和为零00RM，0,0,( )0oXYMF平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程一矩式一矩式 MO

2、(F)=0 ， X=0，Y=0二矩式（二矩式（式中式中A，B连线不能与连线不能与x轴垂直轴垂直） MA(F)=0，MB(F)=0 ，X=0 三矩式（式中三矩式（式中A、B、C三点不能共线）三点不能共线） MA(F)=0，MB(F)=0， MC(F)=0例：求图示例：求图示AB梁梁A端的支座反力。已知端的支座反力。已知q=5kN/m，F1=10kN， F2=8kN，l=2m，=450。解解： 取取AB梁为研究对象，作受力图，选坐标系梁为研究对象，作受力图，选坐标系 列平衡方程列平衡方程0cos02FFXAxkNFFAx66. 5707. 08cos20sin021FFqlFYAykNFFqlFA

3、y68.19707. 08102245sin0210245sin12/0021FFlqlmMAmkNFFlqlmA3 .25245sin12/021F1F2FAxFAymAyxF1F2l l/2/2l l例：求图示刚架支座例：求图示刚架支座A，B的反力。已知的反力。已知m=2.5kNm，P=5kN。解解： 取钢架整体为研究对象，作受力图，选坐标轴取钢架整体为研究对象，作受力图，选坐标轴 列平衡方程列平衡方程05/30PXXAkNXA305/40PYYYBA025/45 . 25/320mPPYmBA2.5m2mm43PADBCm43PADBCxyXAYAYBkNYB5 . 1kNYA5 . 2

4、w 若用方程mB(F)=0取代Y=0同样解得此时注意：AB两点连线不能与 x轴垂直05 . 25/320)(mPYFmABkNYA5 . 2w 若用方程mC(F)=0取代X=0同样解得此时注意：A，B，C三点不共线025 . 20)(mYXFmAACm43PADBCxyXAYAYBkNXA3例：图示结构，点例：图示结构，点D受一水平力作用，已知受一水平力作用，已知P=2kN，求支座，求支座A，B，C的约束反力的约束反力。解解： 取取T型杆型杆ABC为研究对象，作受力图为研究对象，作受力图，选坐标选坐标系系 分析分析若先列投影方程，则无论如何选取投影轴，若先列投影方程，则无论如何选取投影轴，方程

5、中至少含有两个未知数，因此应先列力方程中至少含有两个未知数，因此应先列力矩方程，矩心取在两个反力作用线交点处矩方程，矩心取在两个反力作用线交点处0)(FmE028PRCkNRC5 . 045ACB2m2m4mDyACBxRARCRBEFyACBxRARCRBEF0)(FmF068PRAkNRA5 . 10Y045sin0CBRRkNRB707. 0RA，RC计算结果为负值，说明支座计算结果为负值，说明支座A，C的反力与受的反力与受力图中的假设方向相反。力图中的假设方向相反。例：支架由杆例：支架由杆AB和和CD组成，尺寸如图，在水平杆组成，尺寸如图，在水平杆B端悬挂一端悬挂一重重P=2kN的重物

6、，不计杆重，求的重物，不计杆重，求CD杆受力和支座杆受力和支座A的约束的约束反力。反力。解：取杆和重物为分离体。取杆和重物为分离体。CD杆为二力杆，杆为二力杆，约束反力约束反力Sc沿杆轴线方向，与沿杆轴线方向，与P交于交于O点点分离体在三个力作用下平衡，因此支座分离体在三个力作用下平衡，因此支座A的约束反力的约束反力RA必汇交于必汇交于O点点PABCO)45sin(45sin)90sin(ooAocPRS043.18,31tg解得解得kNPRkNPSAc162. 3)45sin(45sin,242. 4)45sin()90sin(0000ScRA2m1mPABDC450yx例：图示简支梁，已知

7、集中力例：图示简支梁，已知集中力P=10kN，=450。求。求A，B的约的约束反力。束反力。解解：取梁取梁AB为研究对象，根据三力汇交为研究对象，根据三力汇交定理画出支座定理画出支座AB的约束反力，方向的约束反力，方向假定；假定；取投影轴取投影轴x，y如图所示，列平衡方程如图所示，列平衡方程将将解得：解得：l ll lPPCABRBRAPPAB0sinsin, 00coscos, 0PRRYPRXBAAkNp10, 2/2sincos;5/1sin5/2cos；kNRkNRBA54. 3,91. 7例：图示简易起重装置，重物重例：图示简易起重装置，重物重P=2kN，杆，杆AB与与AC铰接，并铰

8、接，并以铰链以铰链B，C与墙相连。两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩与墙相连。两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时的擦和滑轮的大小，试求平衡时的AB和和BC所受的力。所受的力。解：解：取滑轮取滑轮A与重物为研究对象，受力如右图所示。与重物为研究对象，受力如右图所示。杆杆AB，AC为二力杆，约束反力沿杆方向。为二力杆，约束反力沿杆方向。绳拉力与重物重力大小相等，即绳拉力与重物重力大小相等，即T=P。不计滑。不计滑轮大小，可视作平面汇交力系。取坐标系如图轮大小，可视作平面汇交力系。取坐标系如图列平衡方程。列平衡方程。RAB为负值，表明为负值，表明RAB的实际指向与图示假设相反。的实

9、际指向与图示假设相反。PABC300450600PATRAByxRAC0X045sin30sin00ABRTPkNRAB4142. 00Y045cos30cos00TPRACkNRAC1460. 34m2m例：求图中力例：求图中力 P=100kN 对梁上对梁上 A 点的力矩。点的力矩。PP300ABCDFyFx)(8 .1263002 .17365 . 01002866. 0100630sin230cos)()()(00mkNPPFmFmFmyAxAA解：解：P的力臂求解困难，但其水平的力臂求解困难，但其水平和垂直分力的力臂已知，将力和垂直分力的力臂已知，将力沿沿AB，CD进行分解，根据合力进

10、行分解，根据合力矩定理矩定理例：求图示分布荷载对例：求图示分布荷载对A点的力矩点的力矩解：解：合力矩定理合力矩定理分力对某点力矩等于其合力对该店力矩分力对某点力矩等于其合力对该店力矩知识点：知识点：分布荷载合力分布荷载合力沿直线平行分布的线荷载，可以合成为一合力，合力大小沿直线平行分布的线荷载，可以合成为一合力，合力大小等于分布荷载面积，方向与分布荷载方向相同，作用线通等于分布荷载面积，方向与分布荷载方向相同，作用线通过分布荷载面积的重心。过分布荷载面积的重心。图中的分布荷载为梯形，中心位置确定困难，可将其分解为图中的分布荷载为梯形，中心位置确定困难，可将其分解为两部分两部分梯形分布荷载对梯形

11、分布荷载对A点的力矩点的力矩 = 矩形分布荷载对矩形分布荷载对A点力矩点力矩+三角三角形分布荷载对形分布荷载对A点力矩点力矩mkN /44m1mABCmkN /2mkNFmA33.33)2/5(52)3/5(525 . 0)(解：（思考：图示钢架结构所受外荷载仅为一个力：（思考：图示钢架结构所受外荷载仅为一个力偶矩为偶矩为m的力偶，根据力偶系平衡条件的力偶，根据力偶系平衡条件m=0以以及力偶仅能用力偶平衡的原理，可知：支座及力偶仅能用力偶平衡的原理，可知：支座A与与支座支座B的反力必然构成一力偶，与的反力必然构成一力偶，与m等大，反等大，反向。）向。）取整体为研究对象，画受力图取整体为研究对象

12、，画受力图由平面力偶系的平衡条件由平面力偶系的平衡条件m=0得得RAd-m=0Sin=4/5；d=6sin=4.8m，代入平衡方程代入平衡方程RA=RB=m/d=20.82kNmRARBd3m3m3m3mmABC4m4mABC例：图示三较钢架，杆例：图示三较钢架，杆BC上作用一矩上作用一矩m=100kNm的力偶，求的力偶，求支座支座A，B的约束反力。的约束反力。例：例：做出图示结构中杆做出图示结构中杆AB，BD的受力图。约束反力方向可的受力图。约束反力方向可确定者不得用两分力表示。确定者不得用两分力表示。解：（知识点：解：（知识点：力偶系平衡条件，力偶系平衡条件，三力汇交定理，作用力与反作用力

13、公理）三力汇交定理，作用力与反作用力公理）取取AB杆为研究对象，做受力图杆为研究对象，做受力图取取DE杆为研究对象，做受力图杆为研究对象，做受力图取取BD杆为研究对象，做受力图杆为研究对象，做受力图RDRERBRAmABCEDmABEDBCDRBRDORC二力杆二力杆受力分析顺序受力分析顺序从附属从附属到主体，从主动到被动。到主体，从主动到被动。受受力力分分析析图图例例:图示某刹车拉杆机构图示某刹车拉杆机构,求支座求支座A的约束反力。的约束反力。FFaFaFRAYRAY2063FFFaaFFRAYRAXRAYRAX212/16/3/解：选取三力构件，所有力对解：选取三力构件，所有力对D点的力矩

14、为：点的力矩为：又根据三力平衡必汇交定理：又根据三力平衡必汇交定理：例：起重机重例：起重机重P1=10kN，重物，重物P2=40kN，求在止推轴承，求在止推轴承A和轴承和轴承B处的反作用力。处的反作用力。解：起重机为研究对象X=0 FAXFB=0Y=0 FA P1P2=0MA=0 FB P1 .5 P2 3.5=0 FA=50kN FB =31kN FAX =31kN例：外伸梁的尺寸及载荷如图，试求铰支座例：外伸梁的尺寸及载荷如图，试求铰支座A及辊及辊轴支座轴支座B的约束力。的约束力。解：取解：取AB梁为研究对象梁为研究对象 X=0 FAX1.5cos60=0 FAX =0.75kN MA=0

15、 FB2.51.221.51.5sin60(2.5+1.5)=0 FB =3.75kN Y=0 FAy FB 21.5sin60=0 FAy =0.45kN 校核校核 ： MB (F) =0 例例 ：直角刚架：直角刚架ABC承受插入端约束。在刚架的承受插入端约束。在刚架的A端作用集中端作用集中力力F与集中力偶与集中力偶M，其尺寸，其尺寸a、b均已知。试求固定端约束的均已知。试求固定端约束的全部约束力。全部约束力。 平面平行力系平面平行力系力系中各力的作用线都位于同一平面且相互平行平面任意力系的特殊情形平衡方程形式二矩式注意：AB两点连线不能平行各力作用线0)(00FmY0)(0)(FmFmBA

16、yx例：如图所示，移动式起重机自重（不包括平衡锤重量）例：如图所示，移动式起重机自重（不包括平衡锤重量）G=500kN ，其重心，其重心O离右轨离右轨1.5m，悬臂最大长度为，悬臂最大长度为10m，最，最大起重量大起重量G1=250kN。欲使跑车满载或空载时起重机均不。欲使跑车满载或空载时起重机均不致翻倒，求平衡锤的最小重量以及平衡锤到左轨的最大距致翻倒，求平衡锤的最小重量以及平衡锤到左轨的最大距离离x。跑车自重可忽略不计。跑车自重可忽略不计。OG1.5m10m1G3mx0GBA解：解：取整体为研究对象，作受力图取整体为研究对象，作受力图各力组成平面平行力系各力组成平面平行力系吊车满载时，吊车

17、满载时，G1=250kN故故起重机不向右侧翻的条件是起重机不向右侧翻的条件是OG1.5m10m1G3mx0GBA0)(FmB105 . 13)3(10GGRxGA3/ )105 . 1)3(10GGxGRA10105 . 1)3(GGxGRARB（a）空载时，G1=0由起重机不向左侧翻的条件是RB0即（a）-（b），并代入已知条件故OG1.5m10m1G3mx0GBA0)(FmA5 . 430GxGRBRARB3/ )5 . 4(0 xGGRB5 . 40GxG（b）kNG3/10000kNG3/1000min0将代入（b）式因此注意：此处，G0min与xmax均为临界值，设计时应适当选取。并

18、验证（a），（b）两个不等式成立。OG1.5m10m1G3mx0GBARARBkNG3/1000min0)(75. 6310002250mGx)(75. 6maxmxmaxmin00,xxGG超静定问题的基本概念超静定问题的基本概念结构的几何构成分析结构的几何构成分析几何不变体系几何不变体系：体系受到任意荷载作用后，若不考虑材料的应变，而能保持其几何形状不变，位置不变。几何不变体系的组成规律：几何不变体系的组成规律：三刚片规则三刚片规则：三刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，则组成几何不变体系，且无多余约束。二刚片规则二刚片规则：两刚片用三根不汇交也不平行的链杆联接，则组成几何不变体系，且

19、无多余约束。几何瞬变结构几何瞬变结构二元体规则二元体规则：一个刚片与一个结点用两根链杆直连（三个铰不在一直线上），则组成几何不变体系，且无多余约束。二元体二元体：两根不共线链杆联结一个结点的装置推论推论：在一个体系上增加一个二元体或拆除一个二元体，不会改变原有体系的几何构造性质 二元体二元体超静定的基本概念超静定的基本概念静定基静定基：结构为几何不变体系，但无多余约束。超静定问题的特征超静定问题的特征：结构：静定基+多余约束力系：未知力数超过独立平衡方程数多余约束多余约束简单的刚体系统平衡问题简单的刚体系统平衡问题刚体系统（物体系统）刚体系统（物体系统）实际工程中，由若干个构件通过一定的约束组

20、合而成的结构和机构系统处于平衡状态时，该系统中每一个物体必定处于平衡状态在平面任意力系作用下，系统中的每个构件可写出三个独立的平衡方程，刚体系统由n个刚体组成则可写出3n个独立的平衡方程，求解3n个未知量刚体系统受到平面汇交力系或者平面平行力系时，独立平衡方程的数量相应减少。内力与外力内力与外力内力：系统内部物体之间的相互作用力外力：系统以外的物体作用在这个系统上的力内力与外力是相对的概念，研究对象不同时，可以相互转化画系统受力图时，只画外力，不画内力APBDCRDRAPBDCAAPBCRCRA物体系统平衡解法物体系统平衡解法分离体的选取有多种方法，必须有一个恰当恰当的选取分离体的顺序，并且对

21、每个分离体又能够恰当恰当的应用平衡方程。做到两个“恰当恰当”必须首先了解整体和构件的受力情形，画出受力图，根据已知量与待求未知量之间的联系，确定解题的思路。例：水平梁由AC和CD两部分组成，已知P=2kN，Q=1kN，q=0.5kN/m。qB=0.6kN/m。求支座A，B的约束反力。思路解题中第一个分离体的选取有三种方法整体；梁AC；梁CD欲建立正确的选取顺序，首先应对整体和各部分进行受力分析，画出受力图，看未知量的数目0.510.51PqQqBACBDmAPqQqBACBDYAXARBXAXCCPqAmAYAYCQqBBDYCXCRBC平面任意力系平衡方程最多可求解三个未知数取整体研究四个未

22、知量取AC梁研究五个未知量取CD梁研究三个未知量mAPqQqBACBDYAXARBXAXCCPqAmAYAYCQqBBDYCXCRB不可解不可解不可解不可解可解可解解：取梁CD为分离体，作受力图列平衡方程取系统作分离体，列平衡方程QqBBDYCXCRB0)(Fmc01215 . 01BBqQRkNRB9 . 0mAPqQqBACBDYAXARB00AXX，012110BBAqqQPNYY，kNYA9 . 20)(FmAmkNmA55. 203101212315 . 25 . 03BBAqqQPNm例：支架由滑轮D，杆AB和CBD构成，绳绕过滑轮，一端挂重为G的物块，另一端系在杆AB的E处，尺寸

23、如图。求A，B，C处约束反力思路：根据题中的已知条件，第一个 分离体有三种选择整体；杆AB；杆CD，滑轮和重物BACEDlllXAYAXCYCEBATEXBYBYAXAXBBCDXCYCTEYBr以上三个分离体均有四个未知量，无法解？ 解：取杆CD、滑轮、重物为分离体，作受力图列平衡方程取整体为分离体，做出受力图，列平衡方程0)(FmB0)(rlGlYrTCEGYcXBBCDXCYCTEYBBACEDlllXAYAXCYC0)(FmA0)2(rlGlXCGlrXC)2( 再取杆CD、滑轮、重物为分离体从本例可知：利用两铰位于同一水平线或同一铅垂线，从本例可知：利用两铰位于同一水平线或同一铅垂线，应用力矩方程，直接求出一个未知量，减少某些刚体的应用力矩方程，直接求出一个未知量，减少某些刚体的未知量，这是经常使用的方法，必须予以重视。未知量，这是经常使用的方法，必须予以重视。XBBCDXCYCTEYB0X0EBCTXXGlrXB)1 ( 0Y0GYYCBGYC2例：图示三铰拱。已知P=6