模糊数学及其应用(7-9讲)

1、第三章第三章 模糊综合评价模糊综合评价在实际工作中，对一事物的评价（或评估），在实际工作中，对一事物的评价（或评估），常常涉及多个因素或多个指标，这时就要求根据这常常涉及多个因素或多个指标，这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价，而不能只从某一个多个因素对事物作出综合评价，而不能只从某一个因素的情况去评价事物，这就是综合评价。综合评因素的情况去评价事物，这就是综合评价。综合评价就是要对受多个因素影响的事物作出全面评价。价就是要对受多个因素影响的事物作出全面评价。然而，实际生活中的许多评价往往具有模糊性，如：然而，实际生活中的许多评价往往具有模糊性，如：评价一台电脑的性能评价一台电脑的性能“

2、好好”与与“坏坏”，评价一名学生是，评价一名学生是否否“优秀优秀”等等等等这就需要我们做出模糊综合评价。这就需要我们做出模糊综合评价。模糊数学为解决模糊综合评价问题提供了理论依据，模糊数学为解决模糊综合评价问题提供了理论依据，找到了一种简便而有效的评价与决策方法。找到了一种简便而有效的评价与决策方法。 模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法。评标方法。该综合评价法根据模糊数学的隶该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价属度理论把定性评价转化为定量评价，即用，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象模糊数学对受到多种因素制约的事

3、物或对象做出一个总体的评价。它具有结果清晰、系做出一个总体的评价。它具有结果清晰、系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。 4.2 模糊综合评价模型模糊综合评价模型 (1)影响评价对象的因素构成集合，称为因素集。影响评价对象的因素构成集合，称为因素集。记为记为F=f1,f2,fn如：如：花色，样式，价格花色，样式，价格(2)由由m个评价结果组成的评价集，记为个评价结果组成的评价集，记为C=c1,c2, cm 如：如：喜欢，一般，不喜欢喜欢，一般，不喜欢(3)对各因素分配的权重构

4、成权重向量：对各因素分配的权重构成权重向量： A=(a1,a2,an) (ai=1)(4)对第对第i个因素的模糊评价记为：个因素的模糊评价记为： Ri=(ri1,ri2,rim) (i=1,2,n) (5)于是构成模糊评价矩阵：于是构成模糊评价矩阵： 111212122212mmnnnmrrrrrrRrrr(6)则对评价对象的模糊综合评价为：则对评价对象的模糊综合评价为： 1112121222121212, ,mmnmnnnmrrrrrrBA Ra aab bbrrr 对教材进行评价，假如评价科学性对教材进行评价，假如评价科学性(f1)、实践性、实践性(f2) 、适应性适应性(f3) 、先进性

5、、先进性(f4) 、专业性、专业性(f5)等方面，则评价指标等方面，则评价指标因素集为因素集为12345 ,Ffffff1234 ,Cc c c c若将评价结果划分为若将评价结果划分为“很好很好” (c1) 、“好好” (c2) 、“一般一般” (c3) 、“差差” (c4)四个等级，则评价集为四个等级，则评价集为对科学性对科学性(f1)因素来评价，若采用调查问卷的方法，结因素来评价，若采用调查问卷的方法，结果果16%的人说的人说“很好很好”，42%的人说的人说“好好”， 39%的的人说人说“一般一般”， 3%的人说的人说“差差”，则评价结果可用记，则评价结果可用记为为向量形式向量形式：10.

6、16,0.42,0.39,0.03R 其余类似其余类似模糊综合评价的步骤：模糊综合评价的步骤：设定评价指标因素集设定评价指标因素集F；设定评价集设定评价集C；确定评价指标权重集确定评价指标权重集A；用民意测验方法请专家实施评价；用民意测验方法请专家实施评价；建立评价矩阵建立评价矩阵R；按数学模型进行综合评价；按数学模型进行综合评价；归一化处理，得出具有可比性的综合评价结果。归一化处理，得出具有可比性的综合评价结果。用于讲课质量的评估用于讲课质量的评估 F = 清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整洁清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整洁 C = 很好，较好，一般，不好很好，较好，一般，不好(0.

7、5,0.2,0.2,0.1)A 2 . 05 . 02 . 01 . 01 . 06 . 02 . 01 . 001 . 03 . 06 . 001 . 05 . 04 . 0李R0.40.50.100.60.30.10(0.5,0.2,0.2,0.1)0.10.20.60.10.10.20.50.2(0.50.4)(0.20.6)(0.20.1)(0.10.1),(0.50.5)(0.20.3)(0.20.2)(0.10.2),(0.50.1)(0.20.1)(0.20.6)(0.10.BA R李5),(0.50)(0.20)(0.20.1)(0.10.2)(0.4,0.5,0.2,0.1)

8、08. 0 ,17. 0 ,42. 0 ,33. 0(李B则评价结果为：则评价结果为：较好较好目前，学校每学期都要对教师的教学质量进行评价，目前，学校每学期都要对教师的教学质量进行评价，但评价结果往往不能令人满意，请你结合实际，提出一但评价结果往往不能令人满意，请你结合实际，提出一种比较客观的评价方法，并通过实例说明。种比较客观的评价方法，并通过实例说明。问题分析：问题分析：由于对教师的评价结果往往是评价由于对教师的评价结果往往是评价“好、好、一般、不好一般、不好”等，这些概念都具有模糊性。而目前对等，这些概念都具有模糊性。而目前对教师的教学质量评价均使用打分制（这是教师的教学质量评价均使用打

9、分制（这是），因此评价结果往往不能令人满意。），因此评价结果往往不能令人满意。如：有些人认为如：有些人认为90分就是分就是“好好”，有些人认为，有些人认为85分就是分就是“好好”（参与评价的对象不一样）。（参与评价的对象不一样）。解：解：针对目前教师的教学质量评价结果往往不能令针对目前教师的教学质量评价结果往往不能令人满意的事实，我们提出基于模糊数学的综合评人满意的事实，我们提出基于模糊数学的综合评价方法如下：价方法如下：评价小组由教学专家、授课班级学生、管理人员评价小组由教学专家、授课班级学生、管理人员组成，共计组成，共计50人。人。评价因素（评价标准）如下：评价因素（评价标准）如下：评价因

10、素评价因素权重权重纪律纪律f1不迟到早退不迟到早退0.070.07f2上课不打手机上课不打手机0.030.03f3不减少课时不减少课时0.050.05态度态度f4严谨治学严谨治学0.100.10f5上课考勤上课考勤0.050.05f6备课认真备课认真0.100.10内容内容f7联系实际联系实际0.100.10f8讲解清楚讲解清楚0.100.10f9论证严密论证严密0.100.10效果效果f10课堂气氛课堂气氛0.100.10f11激发兴趣激发兴趣0.040.04基本功基本功f12为人师表为人师表0.050.05f13板书整齐板书整齐0.050.05f14语调生动语调生动0.060.061214

11、,.Ffff则因素集则因素集对应的权重向量：对应的权重向量： 0.07,0.03,0.05,0.10,0.05,0.10,0.10,0.10,0.10,0.10,0.04,0.05,0.05,0.06A确定评价集：确定评价集：C=优秀，良好，中等，合格，不合格优秀，良好，中等，合格，不合格 现由现由50人组成的评价小组对某一位老师的教学质量进行人组成的评价小组对某一位老师的教学质量进行评价见下表：评价见下表：1f2f3f4f5f6f7f8f9f10f11f12f13f14f评价因素评价因素优秀的人数优秀的人数良好的人数良好的人数中等的人数中等的人数合格的人数合格的人数不合格的人数不合格的人数f

12、1202025255 50 00 0f210101010202010100 0f310101010202010100 0f40 02020101010101010f50 01010101020201010f610102020101010100 0f710101010101020200 0f85 52020101010105 5f91010202010105 55 5f101010151515155 55 5f111515151515155 50 0f122020202010100 00 050 00 050 00 0从而，得到模糊评价矩阵：从

13、而，得到模糊评价矩阵：0 .40 .50 .1000 .20 .20 .40 .200 .20 .20 .40 .2000 .40 .20 .20 .200 .20 .20 .40 .20 .20 .40 .2000 .20 .20 .20 .400 .10 .40 .20 .20 .10 .20 .40 .20 .10 .10 .20 .30 .30 .10 .10 .30 .30 30 .100 .40 .40 .2000 .50 .40 .1000 .40 .50 .100R=这样，模糊综合评价向量：这样，模糊综合评价向量：0 .0 7 , 0 .0 3, 0 .0 5 , 0 .1 0

14、 , 0 .0 5 , 0 .1 0 , 0 .1 0 , 0 .1 0 , 0 .1 0 , 0 .1 0 , 0 .0 4 , 0 .0 5 , 0 .0 5 , 0 .0 60 .40 .50 .1000 .20 .20 .40 .200 .20 .20 .40 .2000 .40 .20 .20 .200 .20 .20 .40 .20 .20 .40 .2000 .20 .20 .20 .400 .10 .40 .20 .20 .10 .20 .40 .20 .10 .10 .20 .30BAR0 .2 1 5 , 0 .3 5 3, 0 .2 0 2 , 0 .1 7 , 0 .0

15、 6.30 .10 .10 .30 .30 30 .100 .40 .40 .2000 .50 .40 .1000 .40 .50 .100从而认为该教师教学质量为从而认为该教师教学质量为“良好良好” 如果数量化评价集为如果数量化评价集为C=95,85,75,65,55(此处表示：此处表示：“优秀优秀”：85-95；“良好良好”：75-85；“中等中等”：65-75；“合格合格”：55-65；“不合不合格格”：55以下以下)则此位教师的评价得分为：则此位教师的评价得分为：BCT=(0.215,0.353,0.202,0.17,0.06)(95,85,75,65,55)T=79.93评价得分在评

16、价得分在75-85之间，故之间，故认为评价结果为认为评价结果为“良好良好” （模糊综合评价在农业经营决策中的应用）（模糊综合评价在农业经营决策中的应用）在农业生产过程中，实现同一目标往往有很多方案，通在农业生产过程中，实现同一目标往往有很多方案，通过对多种方案进行评价，对比选择，最后作出正确的决过对多种方案进行评价，对比选择，最后作出正确的决策，是农业经营管理中的一个重要研究课题。策，是农业经营管理中的一个重要研究课题。某产粮区进行耕作制度改革，制定了甲（三种三收）、某产粮区进行耕作制度改革，制定了甲（三种三收）、乙（两茬平作）、丙（二年三熟）乙（两茬平作）、丙（二年三熟）3个方案。个方案。“

17、三种三收三种三收”模式模式,就是先把地就是先把地膜覆盖早熟马铃薯种上膜覆盖早熟马铃薯种上,然后在然后在行间套种糯玉米行间套种糯玉米,等马铃薯和糯等马铃薯和糯玉米收获后玉米收获后,再种大白菜、白萝再种大白菜、白萝卜等卜等 小麦机收小麦机收秸秆处理秸秆处理玉米免耕玉米免耕施肥播种施肥播种玉米田间管理玉米田间管理玉米玉米收割收割秸秆粉碎秸秆粉碎小麦免耕施肥小麦免耕施肥播种播种小麦田间管理。小麦田间管理。主要评价因素有：粮食亩产量、农产品质量、主要评价因素有：粮食亩产量、农产品质量、每亩用工量、每亩纯收入、对生态平衡的影每亩用工量、每亩纯收入、对生态平衡的影响程度（共响程度（共5个指标）。个指标）。根

18、据当地实际情况，这根据当地实际情况，这5个因素的权重分别为：个因素的权重分别为：0.2,0.1,0.15,0.3,0.25其评价等级如下表（表其评价等级如下表（表4.1）所示：）所示：分数亩产量/kg产品质量/级亩用工量/(工日)亩纯收入/元对生态影响/级5550-600120以下130以上14500-550220-30110-13023450-500330-4090-11032400-450440-5070-9041350-400550-6050-7050350以下660以上50以下6表表4.1经过调查，甲、乙、丙经过调查，甲、乙、丙3种不同耕作制度改革方案的种不同耕作制度改革方案的5项指项

19、指标可达到表标可达到表4.2所列的数字：所列的数字：表4.2甲乙丙亩产量/kg592.5529412产品质量/级321亩用工量/(工日)553832亩纯收入/元7210585对生态影响/级532(1)设因素集设因素集F=f1,f2,f3,f4,f5,其中其中f1:亩产亩产量；量；f2:产品质量；产品质量；f3：亩用工量；：亩用工量；f4:亩纯亩纯收入；收入；f5:对生态平衡的影响程度。对生态平衡的影响程度。 这这5个因素的权重为个因素的权重为 A=(0.2,0.1,0.15,0.3,0.25)(2)评价集评价集C=c1,c2,c3,其中其中c1:甲种方案；甲种方案；c2:乙种方案；乙种方案；

20、c3:丙种方案。丙种方案。(3)建立模糊评价矩阵建立模糊评价矩阵.因素与方案之间的关系可因素与方案之间的关系可以通过建立隶属函数，用模糊矩阵以通过建立隶属函数，用模糊矩阵R=(rij)53 3表示。表示。由由表表4.14.1，可以构造各指标的隶属函数如下：，可以构造各指标的隶属函数如下：亩产量的隶属函数为：亩产量的隶属函数为：600, 1600350,350600350350, 0)(11111xxxxxC产品质量的隶属函数为：产品质量的隶属函数为：6,061 ,16111, 1)(22222xxxxxC亩用工量的隶属函数为：亩用工量的隶属函数为：60,06020,206020120, 1)(

21、33333xxxxxC亩纯收入的隶属函数为：亩纯收入的隶属函数为：130, 113050,501305050, 0)(44444xxxxxC对生态影响程度的隶属函数为：对生态影响程度的隶属函数为：6,061 ,16111, 1)(55555xxxxxC将方案中调查的数据（表将方案中调查的数据（表4.2）代入各隶属函数）代入各隶属函数公式中，算出相应的隶属度。公式中，算出相应的隶属度。如：如：甲方案：亩产量为甲方案：亩产量为592.5kg，隶属度为，隶属度为 r11=C(x1) =(592.5-350)/(600-350)=0.97产品质量为产品质量为3级，则级，则r21=C(x2)=1-(3-

22、1)/(6-1)=0.6亩用工量为亩用工量为55，则，则r31=C(x3)=1-(55-20)/(60-20)=0.125亩纯收入为亩纯收入为72元，则元，则 r41=C(x4)=(72-50)/(130-50)=0.275对生态影响程度为对生态影响程度为5级，则级，则 r51=C(x5)=1-(5-1)/(6-1)=0.2 类似地，可算出乙种、丙种方案的各项指标的类似地，可算出乙种、丙种方案的各项指标的隶属度，得到模糊评价矩阵为：隶属度，得到模糊评价矩阵为：模糊评价矩阵：模糊评价矩阵：8 . 06 . 02 . 04375. 06875. 0275. 07 . 055. 0125. 018

23、. 06 . 0248. 0716. 097. 0R(4)综合评价综合评价.用模型用模型M(,+)计算得计算得 B=AR=(0.405,0.662,0.586)进行归一化处理，得进行归一化处理，得B=(0.245,0.400,0.355) 按最大隶属原则知：乙方案最优，丙方案次按最大隶属原则知：乙方案最优，丙方案次之，甲方案最差。之，甲方案最差。当权重当权重ai相对于相对于rij太小或太小或太大时，模型太大时，模型M(,)有时存在一些有时存在一些缺陷，还可以采用缺陷，还可以采用M(,)与与M(,+,+)利用模糊综合评价对利用模糊综合评价对20家制药厂经济效益的家制药厂经济效益的好坏进行排序）好

24、坏进行排序）(1)设因素集设因素集F=f1,f2,f3,f4为反映企业经济效益为反映企业经济效益的主要指标。其中，的主要指标。其中，f1:总产值总产值/消耗；消耗；f2：净产：净产值；值；f3：盈利：盈利/资金占有；资金占有；f4：销售收入：销售收入/成本。成本。(2)评价集评价集C=c1,c2,c20为为20家制药厂。家制药厂。20家制药厂的家制药厂的4项经济指标如下表所示：项经济指标如下表所示：制药厂f1f2f3f411.61110.590.691.6721.4299.440.611.5031.4475.970.241.2541.57210.780.751.7151.48310.990.7

25、51.4461.3716.460.411.3171.66510.510.531.5281.4036.110.171.3292.62021.511.402.59102.03324.151.801.89制药厂f1f2f3f4112.01526.861.932.02121.5019.740.871.48131.57814.521.121.47141.73514.641.211.91151.45312.880.871.52161.76517.940.891.40171.53229.422.521.80181.4889.230.811.45192.58616.070.821.83201.99221.63

26、1.011.89(3)建立模糊评价矩阵建立模糊评价矩阵.令令)20, 2 , 1; 4 , 3 , 2 , 1(201jixxrjijijijrij表示第表示第j个制药厂的第个制药厂的第i个因素的值在个因素的值在20家制药厂的同一家制药厂的同一因素值的总和中所占的比例因素值的总和中所占的比例. 如：如：121220111.4290.0471.6111.429.1.992jjxrx这样可得模糊评价矩阵这样可得模糊评价矩阵R=(rij)420如下：如下：057. 0055. 0044. 0054. 0042. 0046. 0058. 0045. 0045. 0061. 0057. 0079. 00

27、40. 0046. 0039. 0044. 0052. 0038. 0046. 0051. 0052. 0042. 0042. 0129. 0046. 0045. 0062. 0058. 0045. 0099. 0093. 0072. 0009. 0027. 0021. 0039. 0039. 0012. 0031. 0037. 0075. 0055. 0032. 0102. 0062. 0045. 0051. 0050. 0034. 0093. 0083. 0074. 0021. 0036. 0022. 0038. 0037. 0021. 0033. 0037. 0058. 0075. 00

28、43. 0045. 0052. 0042. 0051. 0046. 0044. 0059. 0059. 0077. 0041. 0049. 0040. 0043. 0046. 0042. 0042. 0047. 0R(4)综合评价综合评价. 设各因素的权重为设各因素的权重为A=(0.15,0.15,0.20,0.50)利用模型利用模型M(,)计算，得：计算，得：B=A*R=(0.0253,0.0227,0.019,0.0259,0.0218,0.0199,0.0231,0.02,0.0393,0.0287,0.0306,0.0224,0.0223,0.0290,0.0231,0.0212,0.

29、0273,0.022,0.0278,0.0287)从而按经济效益好坏，得到从而按经济效益好坏，得到20家制药厂的排序为：家制药厂的排序为：9,11,14,10,20,19,17,4,1,15,7,2,12,13,18,5,16,8,6,3例例6 海水环境质量的模糊综合评价海水环境质量的模糊综合评价o 海水环境质量评价作为海洋环境质量评价的一海水环境质量评价作为海洋环境质量评价的一项重要的基础性内容，是进行海洋环境保护和项重要的基础性内容，是进行海洋环境保护和海洋综合管理工作的重要组成部分，其评价结海洋综合管理工作的重要组成部分，其评价结论可为海洋环保和综合管理提供决策性科学依论可为海洋环保和综

30、合管理提供决策性科学依据。据。 渤海湾生态监控区作为我国重渤海湾生态监控区作为我国重要的海湾，周边有天津滨海新要的海湾，周边有天津滨海新区、河北省曹妃甸循环经济区区、河北省曹妃甸循环经济区和沧州渤海新区等已被列入国和沧州渤海新区等已被列入国家发展战略的重大开发区域，家发展战略的重大开发区域，其水质评价对于掌握监控区水其水质评价对于掌握监控区水质污染状况及变化趋势，改善质污染状况及变化趋势，改善生态监控区环境，保护监控区生态监控区环境，保护监控区内典型的生态系统具有重要作内典型的生态系统具有重要作用。用。o 选取水质评价指标为DO（溶解氧）、磷酸盐、无机氮以及石油类4项重要因子。即因素集F=f1

31、,f2,f3,f4,其中：f1:DO，f2:磷酸盐,f3:无机氮,f4:石油类.o 评价等级采用国家海水水质标准（GB 3097-1997）中对海水水质的分级标准（类）。评价指标标准值见下表：类类类类DO6543磷酸盐0.0150.0300.0300.045无机盐0.20.30.40.5石油类0.050.050.30.5表表3-11 海水水质评价指标标准值（单位：海水水质评价指标标准值（单位：mg/L）海水水质评价指标标准值（单位：海水水质评价指标标准值（单位：mg/L） 建立评价集为建立评价集为C=c1,c2,c3,c4,其中：其中：c1:类类,c2:类类,c3:类类,c4:类类.o 关于隶

32、属函数的建立，通常有两种不同的指标关于隶属函数的建立，通常有两种不同的指标类型：类型：o 评价指标标准值随级别的增大而增大；评价指标标准值随级别的增大而增大；o 评价指标标准值随级别的增大而减小。评价指标标准值随级别的增大而减小。o 渤海湾生态监控区水质评价的评价指标中渤海湾生态监控区水质评价的评价指标中DO属于第属于第种情况，其余各项因子均属于第种种情况，其余各项因子均属于第种情况。情况。o 第种情况的评价指标对应的隶属函数如下所第种情况的评价指标对应的隶属函数如下所列。列。o 因子对因子对类海水水质的隶属函数类海水水质的隶属函数为：为：121122120,1,iiiiiiiiiiiixvvxvxvvvxvo 因子对因子对类海水水质的隶属函数为：类海水水质的隶属函数为：11122123233230 ,0 ,iiiiiiiiiiiiiiiiiiixvxvvxvvvvxvxvvvxvo 因子对因子对类海水水质的隶属函数与对类海水水质的隶属函数与对类海水类海水水质的隶属函数水质的隶属函数的确定类似。的确定类似。o 因子对因子对类海水水质的隶属函数类海水水质的隶属函数为：为：334344340,1,iiiiiiiiiiiixvxvvxvvvxv因子因子DODO的隶属函数与上述函数相反，不再详述的隶属函数与上述函数相反，不再详述。2006年年-2008年渤海湾