带电粒子在磁场中运动的多解问题

1、带电粒子在磁场中运动的多解问题揭东第一中学 谢炎明带电粒子在只受洛仑兹作用下的圆周运动考查的重点都集中在粒子在有边界的磁场中做不完整的圆周运动的情况，由于题设中隐含条件的存在，就会出现多解问题，下面通过实例对此类问题进行分析。一、带电粒子电性不确定形成多解例1. 如图所示，第一象限范围内有垂直于xOy平面向里匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m，电量大小为q的带电粒子在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角= 600 ，（重力忽略不计）试分析计算：（1）穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？带电粒子从何处离开磁场？（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？【分析】若带电粒子带负电，进入磁场

2、后做匀速圆周运动，圆心为O1，粒子向x轴偏转，并从A点离开磁场。若带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O2，粒子向y轴偏转，并从B点离开磁场。粒子速率一定，所以不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径一定。只要确定粒子的运动轨迹，即可求解。解：不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径均为R带电粒子在磁场做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，则有解得：带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为：（1）若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角。A点与O点相距x由几何关系得： 解得：若粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角B点与O点相距（2）若粒子带负电，它从O到

3、A所用的时间为若粒子带正电，它从O到B所用的时间为【点评】受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。二、磁感应强度方向不确定形成多解【变式1】如图所示，第一象限范围内有垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m，电荷量为+q的带电粒子在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角= 600 ，（重力忽略不计）试分析计算：（1）穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？带电粒子从何处离开磁场？（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？【分析】本题中，只说明磁场方向xOy平面，那么可能的磁场方向就有两种，若磁场方向x

4、Oy平面向外，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O1，粒子向x轴偏转，并从A点离开磁场。若磁场方向xOy平面向里，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O2，粒子向y轴偏转，并从B点离开磁场。解得结果和上例一样。【点评】磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。三、运动的临界状态不唯一形成多解【变式2】一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的下边界ac宽为2L，现从ac中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v0 ，方向与ac边夹角为60°，如图所示。已知粒子的电荷量为+q，质量

5、为m（重力不计）。求能使粒子从ab边射出磁场的v0取值范围。解：带电粒子在磁场做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，则有得： 当最小时圆心为O1，由几何关系得： 得： 则： 当最大时圆心为O2，由几何关系得： 得： 则： 能使粒子从ab边射出磁场的v0取值范围为： 【点评】带电粒子运动过程中，有时候临界条件并非唯一确定。比如在有边界的场中运动时，从哪个边界射出并不唯一确定；或者运动过程中临界状态并不唯一确定，此时常常出现多解，需就所有可能展开讨论。四、带电粒子运动方向的不确定形成多解【变式3】如图所示，在y0的区域中有垂直于xOy平面向里匀强磁场，磁感应强度为B，有一个粒子源O，能在图示纸面上36

6、0°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电量为-q的带电粒子；若带电粒子的发射速率为，从点O射出后要击中相距L的c点，则从O到点c的时间多少？（重力忽略不计）解：带电粒子在磁场做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，则有解得： 带电粒子在磁场做圆周运动的周期为： 由于则 当带电粒子从点O以的速度发射时，从O到点c的时间为： 当带电粒子从点O以的速度发射时，从O到点c的时间为： 【点评】带电粒子从某粒子源以一定速率射出时，速度方向往往是不确定的，在磁场中运动时形成不同的运动轨迹，从而形成多解。五、带电粒子运动的周期性形成多解【变式4】如图所示，在y0的区域中有垂直于xOy平面向里匀强磁

7、场，磁感应强度为B，在x轴上方有一匀强电场，场强为E，方向竖直向下。在x轴上有一点c，离原点的距离为L。现有一带电量-q的粒子，质量为m，从原点O以沿y轴正方向的初速度v射入磁场中，要使粒子能经过c点，其初速度v应满足什么条件？（重力忽略不计） 解：带电粒子在磁场做半径为R的匀速圆周运动，由于粒子可能偏转一个、二个半圆到达c点，故： （n=1,2，）得：带电粒子在磁场做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，则有解得： （n=1,2，）【点评】带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。【应用】如图所示，在x0与x0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强

8、磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1B2。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？分析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v，交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为r1和r2，由有：r1 r2现分析粒子运动的轨迹。如图所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2 r1的A点，接着沿半径为2 r2的半圆D1运动至y轴的O1点，O1O距离d2（r2r1）此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y轴出发沿半

9、径r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方y轴），粒子y坐标就减小d。设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点。若OOn即nd满足nd2r1 则粒子再经过半圆Cn+1就能够经过原点，式中n1，2，3，为回旋次数。由式解得由式可得B1、B2应满足的条件n1，2，3，而学生在解题过程中容易忽视运动的周期性，按照图解，从而得到的不完整的结论。在例题1中如果去掉第一次经过L2的条件，则也需要考虑这种运动的周期性。【点评】带电粒子在复合场中运动时，或与碰撞相结合时，其运动往往具有周期性，常常形成与自然数相关的多解。【针对训练1】一质量为m、带正电q的粒子（不计重力）从O点处沿+y方向以初速0射入一个边界为矩

10、形的匀强磁场中，磁场方向垂直于xoy平面向里，它的边界分别为y=0、ya、x= -1.5a，x=1.5a如图所示,改变磁感应强度B的大小，粒子可从磁场的不同边界面射出、并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度会随之改变。试讨论粒子可以从哪几个边界面射出，从这几个边界面射出时磁感应强度B的大小及偏转角度各在什么范围内？解：带电粒子在磁场做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，则有得粒子做圆周运动的半径：（1）当R>a时，粒子将从上边界射出，此时B,(2)当a>R>时粒子将从左边界射出，此时,(3)当时，粒子将从下边界射出，此时，=.【针对训练2】如图，一质量为m的带正电q的小球穿在一足够

11、长的固定粗糙水平杆上，整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁感应强度方向如图，现给小球以向右的初速度，则当小球达到稳定状态时小球克服摩擦所做的功为多少？分析：（1）当BqV>mg时，杆给小球的支持力向下，球在摩擦作用下减速，洛仑兹力减小，则支持力也减小，摩擦力减小，小球做加速度越来越小的减速运动，当小球速度减为v末时，洛仑兹力等于重力，支持力为零，此后小球以v末匀速运动，故克服摩擦力所做功为（2）当Bqvmg时，小球一开始所受支持力为零，摩擦力也为零，故一直以v匀速，小球克服摩擦所做功为零（3）当Bqv<mg时, 杆给球的支持力向上，球在摩擦作用下减速，洛仑兹力减小，则支持力增大，摩擦力也增大，球做加速度越来越大的减速运动，最后小球速度减为零，故克服摩擦力所做功为v+【针对训练3】如图所示，一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图中箭头所示。现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（ ）A、若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T0B、若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将小于T0C、若磁场方向指向纸外，质点运动的