（整理版）数列创新题的基本类型及求解策略

1、数列创新题的根本类型及求解策略高考创新题，向来是高考试题中最为亮丽的风景线。这类问题着重考查观察发现，类比转化以及运用数学知识，分析和解决数学问题的能力。当然数列创新题是高考创新题重点考查的一种类型。下举例谈谈数列创新题的根本类型及求解策略。一、 创新定义型例1、 数列满足：，定义使解：要使为正整数，可设评析：准确理解企盼数的定义是求解关键。解题时应将阅读信息与所学知识结合起来，侧重考查信息加工能力。二、 性质探求型例2、 数列满足： 。 解：由于是知。评析：此题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而到达化归转化解决问题的目的。其中性质探求是关键。三、 知识关联型例p21p1xyof

2、pi/pi3、设f是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点pii=1，2，3，使|fp1|，|fp2|，|fp3|，组成公差为d的等差数列，那么d的取值范围为 .解析：由椭圆第二定义知，这些线段长度的最小值为右焦点到右顶点的距离即|fp1|=，最大值为右焦点到左顶点的距离即|fp21|=，故假设公差d>0,那么同理 假设公差d<0,那么可求得。评析四、 类比联想型例4、 假设数列是等差数列，那么有数列 类比上述性质，相应地：假设数列是等比数列，且，那么有数列 解析：由“等差数列前n项的算术平均值是等差数列可类比联想“等比数列前n项的几何平均值也应该是等比数列不难得到评析：此题只

3、须由条件的特征从形式和结构上比照猜测不难挖掘问题的突破口。2122 23242526| |20 7 8 9 10 27| | | 19 6 1 2 11 | | | |18 5 4 3 12 | |1716 1514 13五、 规律发现型例5、将自然数不清，2，3，4排成数陈如右图，在2处转第一个弯，在3转第二个弯，在5转第三个弯，.，那么第个转弯处的数为_。解：观察由1起每一个转弯时递增的数字可发现为“1，1，2，2，3，3，4，4，。故在第个转弯处的数为：1+21+2+3+1002+1003=1006010。评析：此题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发现。具体解题时需要较强的观察能力

4、及快速探求规律的能力。因此，它在高考中具有较强的选拔功能。六、 图表信息型例6、下表给出一个“等差数阵：47 712 其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数。i写出的值；ii写出的计算公式；iii证明：正整数n在该等差数列阵中的充要条件是2n+1可以分解成两个不是1的正整数之积。 解：i详见第二问一般性结论。 ii该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列： ； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： ， ，第i行是首项为，公差为的等差数列，因此iii必要性：假设n在该等差数阵中，那么存在正整数i，j使得，从而 。 即正整数2n+1可以分解成两个不是1的正整数之积。 充分性

5、：假设2n+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2n+1是奇数，那么它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得， 从而可见n在该等差数阵中。 综上所述，正整数n在该等差数阵中的充要条件是2n+1可以分解成两个不是1的正整数之积。评析： 本小题主要考查等差数列、充要条件等根本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。求解关键是如何根据图表信息求出行列式中对应项的通项公式。图1图2图3图4七、 几何计数型例7、如图，第n个图形由第n+2 边形“扩展而来的。记第n个图形的顶点数为，那么= 。 解：由图易知：从而易知评析：求解几何计数问题通常采用“归纳猜测证明解题思路。此题也可直

6、接求解。第n个图形由第n+2边形“扩展而来的，这个图形共由n+3个n+2边形组成，而每个n+2边形共有n+2个顶点，故第n个图形的顶点数为。八、 “杨辉三角型例8、如图是一个类似“杨辉三角的图形，第n行共有n个数，且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第n1行与之相邻的两个数的和， 分别表示第n行的第一个数，第二个数，.第n 个数。求的通项式。 解：1由图易知从而知是一阶等差数列，即以上n-1个式相加即可得到：评析：“杨辉三角型数列创新题是近年高考创新题的热点问题。求解这类题目的关键是仔细观察各行项与行列式的对应关系，通常需转化成一阶或二阶等差数列结合求和方法来求解。有兴趣的同学不妨求出的通项式。九、 阅读理解型例9、电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：十进制123456.二进制11011100101110.观察二进制1位数，2位数，3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数能表示十进制中最大的数是 解：通过阅读，不难发现：于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的