3-(3-4)力矩-转动定律解析

1、1力力的的累积累积效应效应力对力对空间空间积累效应积累效应力对力对时间时间积累效应积累效应物体运动状态的改变物体运动状态的改变功功-W动能动能-Ek冲量冲量-I动量动量-P物体运动状态的改变物体运动状态的改变转动时，力在时间、空间积累效应又如何呢？转动时，力在时间、空间积累效应又如何呢？23-3 3-3 力矩力矩 转动定律转动定律竿子长些还是短些竿子长些还是短些较安全？较安全？3- 力臂力臂d刚体绕刚体绕 OZ 轴旋转，力轴旋转，力 作用在刚作用在刚体上点体上点P，且在，且在转动平面转动平面内，内， 为由点为由点O到力的作用点到力的作用点P的位矢。的位矢。 FrFrM 对转轴对转轴 Z 的力矩

2、的力矩 F一一 力矩力矩PzOMFrdM FdFrM sin大小大小单位单位米米牛顿牛顿方向方向Fr 40 iFFF 0 iMFF FrM FdFrM sin大小大小方向方向Fr 0 iM? iM5讨论讨论 FFFz FrkM sin rFM(1) 若力若力 不在转动平面内，把不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量的两个分量 F合力矩合力矩等于各等于各分力矩分力矩的的矢量和矢量和。 321MMMM对转轴的力矩对转轴的力矩zFzOMFzF F r转轴转轴F对转轴的力矩对转轴的力矩:？为零为零6(2) 若刚体受若刚体受N个外力作用时的力矩，个外力作用时

3、的力矩，NFFF,21 iiiiFrM合合力是连续的力是连续的 FdrM合合 iiMM合合 iiiFrNNFrFrFr 2211力不连续力不连续 iiiFrM7向心力的力矩为零向心力的力矩为零0 F(3) 当当 时，时，FB）力的方向与矢径的方向在同一直线上。力的方向与矢径的方向在同一直线上。0sin A）0 rC）力的方向与转轴平行力的方向与转轴平行FFrM FdFrM sin大小：大小：方向：方向：Fr 投影为零投影为零以上情况力矩以上情况力矩M=08 例例1 长为长为L均匀细杆，质量为均匀细杆，质量为m，在平面内以角速度，在平面内以角速度转动，转动， 求求M摩擦力摩擦力。Xx解：解：建立

4、坐标系建立坐标系 受力分析受力分析力是连续的力是连续的 FdrM合合dxlmg rdFM合合OFdmgdmdF lxdxlmg01 mgL 21 方向：方向： 向下向下9例例2 2 现有一圆盘在平面内以角速度现有一圆盘在平面内以角速度转动，求摩擦力产生的转动，求摩擦力产生的力矩（力矩（、m m、R R）。）。r解：解：rdrRm 22 取细圆环为质元取细圆环为质元gdmrrfdM dMMdr RdrrRmg0222 dsdm rdrRmgr 22 gmR 32 10zO 要揭示转动惯量的物理意义，要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个类似于牛顿实际上是要找到一个类似于牛顿定律的规律定律的

5、规律 - 转动定律。转动定律。二二 转动定律转动定律 刚体可看成是由许多质元刚体可看成是由许多质元组成，任取一质元组成，任取一质元P点，点，iiirdmm),( )( iiniiiiiaamamFF 内内外力外力 与与 成成 角角iFiri 合内力合内力 与与 成成 角角iF内内iri 受力受力：iFi iri PiF内内用用 左叉乘左叉乘(1)式：式：ir110 iniar0 iira 2iiirar )(iiiFFr内内 用用 左叉乘左叉乘(1)式：式：ir)()( iiniiaarm )( iiiniiararm 方向在一条直线上方向在一条直线上0 iiiFr内内zOiFi iri Pi

6、F内内对整个刚体，对整个刚体，求和求和 2)(iiiirmFr12对整个刚体，对整个刚体，求和求和 iiirmI2)( IFrMiii 合外力合外力IM 转动定律转动定律amF “牛二牛二”定律定律Im 2)(iiiirmFrzOiFi iri PiF内内13IM定轴转动定律：定轴转动定律：绕某定轴转动的刚体，所受合外力的力矩在该绕某定轴转动的刚体，所受合外力的力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积。轴上的分量等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积。IM 或或说明：说明：如何求力对轴的力矩呢？如何求力对轴的力矩呢？(2) M, I, 应是对同一轴而言的。应是对同一轴而言的

7、。(1) 定轴转动定律是瞬时对应关系；定轴转动定律是瞬时对应关系； 如图可将力分解为两个力，如图可将力分解为两个力，只求那个垂直于轴的力的力矩只求那个垂直于轴的力的力矩就可以了。就可以了。zOMFzF F r14(3) 转动定律说明了转动定律说明了I 是物体是物体转动惯性转动惯性大小的量度。大小的量度。 I I即：即：I越大的物体，转动惯性就越大，保持原有转动状态的越大的物体，转动惯性就越大，保持原有转动状态的能力就越强；反之，能力就越强；反之，I越小，越容易改变状态，保持原有状越小，越容易改变状态，保持原有状态的能力越弱，或者说转动惯性越小。态的能力越弱，或者说转动惯性越小。如一个外径和质量

8、相同的实心圆柱与如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转动得快些呢？动得快些呢？IM MMM一定时一定时15纸风车纸风车疼吗？疼吗？电风扇电风扇没事！没事！16T例例1 一质量一质量m1为的物体绕在一半径为为的物体绕在一半径为r质量为质量为m2的圆盘上，开始的圆盘上，开始时静止，求重物的加速度、绳中的张力和时静止，求重物的加速度、绳中的张力和t时刻重物下降多高？时刻重物下降多高？(绳的质量与轴上的磨擦力不计绳的质量与轴上的磨擦力不计)。m2rm1m1grm2gTTN解：解：建立转动轴的正方向，建立转动轴的正方向， 加速度的正方向。加速度的

9、正方向。T隔离物体分析力：隔离物体分析力：列方程：列方程：a+ +.(1)(2)221mrI (4)(5) ra IrT ra amTgm11 TT (3)线量和角量关系：线量和角量关系：17由由(2)(3)(5)式式:代入代入(1)式式: rmrIgm11 amrIgm11 Trm2m1m1grm2gTNTa+ +rITT Irmgrm 211 2221121rmrmgrm rmmgm)2(2211 ra )2(2211mmgm .(1)(2)221mrI (4)(5) IrT ra amTgm11 TT (3)18221ath 因为因为a等于常数且初速为零等于常数且初速为零!Trm2m1m

10、1grm2gTNTa+ +rmmgm)2(2211 rITT 21212mmgmm .(1)(2)221mrI (4)(5) IrT ra amTgm11 TT (3)212122mmgtm ra )2(2211mmgm 192T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm3解：解：,:111Tgmm,:222Tgmm2133,:TTNgmm1a2a例例2 质量分别为质量分别为m1和和m2的物体通过轻绳挂在质量为的物体通过轻绳挂在质量为m3半径为半径为r的圆盘形滑轮上。求物体的圆盘形滑轮上。求物体m1和和m2运动的加速度以及绳子张力运动的加速度以及绳子张力T1，T2 。（绳子质量不计）。（绳子质量不计）建

11、立建立轴轴和和力矩力矩的正方向的正方向m1m2以以m1, m2和和m3为研究对象，为研究对象，受力分析受力分析 20)3(21 IrTrT )5(21 raa )1(1111amTgm )4(2123rmI 321212121)(mmmgmmaa 列方程：列方程：)2(2222amgmT 线量的正方向应满足线量的正方向应满足ra 2T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm32a1a m1m221aa 和和求：求：(1)+(2), (3)带入带入213213121121212mmmgmmgmmT 321212121)(mmmgmmaa 3213221221212mmmgmmgmmT 讨论：讨论：212

12、121)(mmgmmaa 2121212mmgmmTT 当当m3=0时时2T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm32a1a m1m2)1(1111amTgm )2(2222amgmT 21TT 和和求：求：22作业：作业：练习五练习五233-4 3-4 力矩的功力矩的功 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理力的时间、空间积累效应又如何呢？力的时间、空间积累效应又如何呢？24 OFr sd一一 力矩的功力矩的功 cosdddsFsFA FdssdFAcos sinsinFrdFdsA090 MddFr sin力矩的功：力矩的功： MdA其中：其中：是刚体在力矩的作用下转过的角度。是刚体在力矩的作用下

13、转过的角度。 rdds dF在转动平面内在转动平面内25 设一细杆的质量为设一细杆的质量为m，长为，长为L，一端支以枢轴而能自由旋，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：当杆到达铅直位置转，设此杆自水平静止释放。求：当杆到达铅直位置时重力时重力矩所作的功矩所作的功二二 重力矩的功重力矩的功 ZNdmgL以杆为研究对象以杆为研究对象 受力分析受力分析dmMN=0 rgxdxdMsin Lm/ dmgLMdAsin2120cos21 mgL mgL21 LgxdxM0sin sin21mgL 26 mgLEEEAppp21)(12 刚体的重力势能刚体的重力势能)cos2( LLmgm

14、gZECp ZC为质心距为质心距0势能面的距离势能面的距离 mgLmgLA21 重力矩做功重力矩做功重力做功重力做功机械能守恒机械能守恒0点点= 等价等价CZ27三三 刚体转动动能定理刚体转动动能定理力矩的功定义式力矩的功定义式 MddA dI ddtdI dI 考虑一个过程，设在考虑一个过程，设在力矩作用下，刚体的力矩作用下，刚体的角速度角速度21 MddA O1 XM1 2 OX2 M21 角位置角位置28 21 MddAA21222121 II 21 dI2122212121 IIMd 定轴转动刚体的动能定理：定轴转动刚体的动能定理：定轴转动刚体的动能定理：定轴转动刚体的动能定理：外力矩

15、外力矩对转动刚体所作对转动刚体所作的功，等于刚体的功，等于刚体转动动能转动动能的增量。的增量。29说明：说明：定轴转动刚体的动能定理中，定轴转动刚体的动能定理中，外力矩外力矩对转动刚对转动刚 体所作的功，等于刚体转动动能的增量。体所作的功，等于刚体转动动能的增量。所以：所以：所有内力所有内力做的做的总功为零总功为零。 所有所有内力矩内力矩做的做的总功为零总功为零。2122212121 IIMd 定轴转动刚体的动能定理：定轴转动刚体的动能定理：30例例1 设一细杆的质量为设一细杆的质量为m，长为，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。设此杆自水平静止释

16、放。求：求：当杆过当杆过铅直铅直位置位置时的角加速度、时的角加速度、角速度以及此时角速度以及此时A和和C点的线速度量值。点的线速度量值。(1) 以杆为研究对象以杆为研究对象 受力受力分析分析mg和和N，N不产生对轴的力矩不产生对轴的力矩建立坐标系建立坐标系 NmgZYX OL解法一：解法一：AC31建立建立XYZ坐标系（并以坐标系（并以Z轴为转动量的正方向）轴为转动量的正方向） sin2LmgM IM 231mLI Lg 2/32/00 则则则则Fr 沿沿Z轴正向，故取正值轴正向，故取正值231sin2mLLmg sin23Lg 方向：方向： ZNmgYX OLACr322） =？dtdddd

17、td sin23Lg dLgdsin23 dLgdsin232/00 sin23Lg dd ZNmgYX OLAC33 dLgsin232/0 0d2/02cos2321 Lg Lg3 gLLgLLvc32132121 gLLgLLvA33 ZNmgYX OLAC (2) =？Lg23 sin23Lg 34解解2：考虑杆从水平静止转到铅直方向的过程，重考虑杆从水平静止转到铅直方向的过程，重力做功，角速度从力做功，角速度从 0 ，转动动能定理。转动动能定理。依依转动动能定理转动动能定理2022121 IIA 力力矩矩220LmgLmg ）（)(pEA 力力矩矩Lg3 231mLI 12ppEE

18、ZNmgYX OLAC 35例例2 劲度系数为劲度系数为k的轻弹簧，一端固定另一端通过一定滑轮系的轻弹簧，一端固定另一端通过一定滑轮系一质量为一质量为m的物体，滑轮半径为的物体，滑轮半径为R，转动惯量为，转动惯量为I，绳与滑轮，绳与滑轮无相对滑动，求物体从弹簧原长时开始无相对滑动，求物体从弹簧原长时开始(静止静止)下落到下落到h距离时距离时的速度？的速度？m解：解：机械能守恒机械能守恒222RImkhmghv 222212121 Imvkhmgh hRv 036例例3 一一静止刚体静止刚体受到一等于受到一等于M0(N.m)的不变力矩的作用的不变力矩的作用,同时又同时又引起一阻力矩引起一阻力矩M1,M1与刚体转动的角速度成正比与刚体转动的角速度成正比,即即|M1|= a (Nm), (a为常数为常数)。