湖南铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

1、、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.1 .若复数邑的实部与虚部相等，则实数 a () A2i(A)1(B) 1(C)2(D) 2一，2 f (x)2 .已知 f(x 1) 一(L,f(1) 1 (x N*),猜想 f(x)的表达式为().f(x) 24.2.1.2A. f(x) -B. f(x) C. f(x) D. f(x) 22x 1x 12x 13 .等比数列an中，a1 0,则a %"是a'3 a6”的B(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件4 .从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A, B, C,

2、D四项不同的工作，每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有B(A) 60种(B) 72 种(C) 84 种(D) 96种5 .已知定义在R上的函数f(x)的对称轴为x 3,且当x 3时，f(x) 2x 3 .若函数f(x)在区间(k 1,k) (k Z)上有零点，则k的值为A(A) 2 或 7(B) 2 或 8(C) 1 或 7(D) 1 或 8x (0,6 .已知函数f(x) log2x 2log 2(x c),其中c 0 .若对于任意的f (x) 1 ,则c的取值围是D1(A) (0,41,1 4,)。(相Word文档7 .已知函数f (x) ax3 bx2 2

3、(a 0)有且仅有两个不同的零点x1A.当 a 0时，x1 x2 0, x1x20 B.当 a 0时，x1 x2 0, x1x2 0C.当 a 0 时，x1 x2 0x1x20 D.当 a 0时，x1x20, x1x208 .如图，体 ABCD A1B1c1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE AC于E ,且PA PE ,则点P的轨迹是A(A)线段(C)椭圆的一部分(B)圆弧 (D)抛物线的一部分第II卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.9 .设等差数列an的公差不为0 ,其前n项和是a .若S2 S3, Sk 0 ,则k 522 6310 .(x2

4、一)6的展开式中x的系数是160 x11 .设a 0.若曲线y Jx与直线x a, y 0所围成封闭图形的面积为 a2,则 a .12 .在直角坐标系xOy中，点B与点A( 1,0)关于原点。对称.点P(x°, y°)在抛物线y2 4x上，且直线 AP与BP的斜率之积等于2,则x0 1 J213 .数列an的通项公式an ncosn 1,前n项和为Sn,则S2012 _2301814 .记实数 x1,x2,L ,xn 中的最大数为 maxx1,x2,L , xn,最小数为 minx1,x2,L ,xn.设 ABC的三边边长分别为a,b, c ,且a b c ,定义 ABC的

5、倾斜度为a b cat max , , 一 min,b c ab(i )若 ABC为等腰三角形，则t 1(ii)设a 1,则t的取值围是. 1,5)2三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.15 .(本小题共14分)已知函数 f(x) mln x (m 1)x (m R).(I)当m 2时，求曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(n)讨论f(x)的单调性；(18)(共 14 分)解：(I)当f (x) - 1 x(III)若f(x)存在最大值M ,且M 0 ,求m的取值围.m 2时，f (x) 2ln x x.x 2 .x所以f (1

6、) 3.又 f(1) 1,所以曲线y f (x)在点(1,f(1)处的切线方程是y 1 3(x 1),即 3x y 2 0.(n)函数f(x)的定义域为(0,),m . (m 1)x mf (x) 一 m 1 xx当m0 0时，由x 0知f (x) m x0恒成立,此时f(x)在区间(0,)上单调递减.当m> 1时，由x 0知f (x) mx此时f (x)在区间(0,)上单调递增.当 0 m 1 时，由 f (x) 0,得 x m-，由 f (x) 0 ,得 x m- 1 m1 m此时f (x)在区间(0,工一)单调递增，在区间(上一,)单调递减. 1 m1 m(III)由(n)知函数f

7、(x)的定义域为(0,),当m00或m>1时，f(x)在区间(0,)上单调，此时函数f (x)无最大值.当0 m 1时，f(x)在区间(0,上一)单调递增，在区间(-,)单调递减, 1 m1 m所以当0 m 1时函数f(x)有最大值.最大值 M f ( m ) mln m m. 1 m1 m. .m e因为M 0 ,所以有mln m 0 ,解之得m .1 m1 ee所以m的取值围是(,1).1 e16.(本小题满分13分)，一一一* 一 ，一 冗已知函数f(x) sin x acosx的一个零点是 一.4(I)数a的值;(n)设 g(x) f(x) f( x) 273sinxcosx,求

8、 g(x)的单调递增区间.(I)解：依题息，得 f(一) 0,1分4即 sin a cos- 0,3 分4422解得a 1 .5分(n)解：由(I)得 f (x) sin x cosx .6 分g(x) f(x) f( x) 2 3 sin xcosx(sin x cosx)( sin x cosx) V3sin 2x7分(cos2 x sin2 x) 73sin 2x8分cos2x V3sin 2x9 分2sin(2 x -) .10分6,冗冗兀由 2k 冗一2x 2k 冗一，262,口 冗冗,r一八得女冗一x ku, k Z .12分36. 兀兀 .一.所以g(x)的单调递增区间为 &qu

9、ot;冗-,ku -, k Z .13分3617.（本小题满分13分）已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b 10=145.（1）求数列bn的通项公式bn;（2）设数列an的通项an=log a（1+ ；）（其中a>0且a力）记$是数列an的前n项和，试比较 bn,1Sn与一 logabn+1的大小，并证明你的结论.3(1)解：设数列bn的公差为d,由题意得(2)证明：由bn=3n2知bi 110(10 1),10bl d21451 ,一 一 , " bn=3 n 23Sn=log a(1+1) + lOg a(1+ )+ -+log a(1+ 1) 43n 2= l

10、og a (1+1)(1+ 1) - (1+ -)2 4 3n 2. 11 .而 一 logabn+1=log a 3：3n 1 ,于是，比较 S 与一 logabn+1331 1(1+1)(1+ )(1+)与3.37 的大小.4 3n 21取 n=1 ,有(1+1)= 38 V4 V3 1 1一.12 2a取 n=2 ,有(1+1)(1+ -)3/8/7 3/3 2 14推测：(1+1)(1+ 1)-(1+)>V3nn (*)4 3n 2*.-当n=1时，已验证()式成立.假设门=女也)时()式成立,即(1+1)(1+ - ) - (1 +413k_2)><13k 1 3,

11、111则当 n = k+1 时，(1 1)(1 -)(1 )(1 4 3k 23(k 1) 23k 1)3k3k(3k23 3k 1)3 (3 3k 4)33k 1_ 3_2(3k 2)3 (3k 4)(3k 1)2(3k 1)2,3k 1 (3k 2) 3 3k 43k 19k 4 c20(3k 1)3 3(k 1) 1.111* 从而(1 1)(1 -)(1 )(1 ) 3(k 1) 1 ,即当 n=k+1 时，()式成立4 3k 2 3k 1,由知，()式对任意正整数n都成立.1.于ZE,当 a>1 时，Sn> log abn+1318.(本小题满分13分)1 .，当 0 v

12、 a v 1 时，Sv log abn+13已知函数 f(x) ax In x , g(x)eax 3x ,其中 a R .(I)求f (x)的极值;(n)若存在区间 M ,使f(x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性，求 a的取 值围.18.(本小题满分13分)(I)解：f(x)的定义域为(0,),e ，1 ax 1c 八且 f (x) a - .2分x x当a 0时，f (x) 0,故f(x)在(0,)上单调递减.从而f(x)没有极大值，也没有极小值.，人，、1当a 0时，令f (x) 0,得x a(-a).1从而f(x)的极小值为f () 1 ln a ;没有极大值.5分a(n)解：g

13、(x)的定义域为R,且g (x) aeax 3.6分当a 0时，显然g (x) 0,从而g(x)在R上单调递增.一 .1由(I)得，此时f(x)在(一，)上单调递增，符合题意.8分a当a 0时，g(x)在R上单调递增，f(x)在(0,)上单调递减，不合题9分一一13当 a 0时，令 g(x) 0,得 x0-ln(-).a ag(x)和g (x)的情况如下表:x(,x。)x。(%,g (x)0g(x：当3 a 0时，x0 0,此时g(x)在(x0,)上单调递增，由于 f(x)在(0,)上单调递减，不合题意.11分当a 3时，x0 0,此时g(x)在( ，x0)上单调递减，由于f(x)在(0,)上

14、单调递减，符合题意.综上，a的取值围是(，3)U(0,).13分19.(本小题满分14分)22如图，椭圆 与 与 1(a b 0)的左焦点为F ,过点F的直线交椭圆于 A, B a b两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 60 .(I )求该椭圆的离心率;(II)设线段 AB的中点为G , AB的中垂线与 GFD的面积为S, OED (。为原点)的面积为19.(本小题满分14分)(I)解：依题意，当直线 AB经过椭圆的顶点(0,b)时，其倾斜角为设 F ( c,0),b则-tan 60 点. c将 b 73c 代入 a2 b2 c2,解得a 2c . . c 1所以椭圆的离心率为

15、 e - .a 2(n)解：由(i),椭圆的方程可设为4分22与匕1.5分4c 3c60 .1 分设 A(x1,y1), B(x2,y2) .其代入依题意，直线 AB不能与x,y轴垂直，故设直线 AB的方程为y k(x c),将3x2 4y2 12c2,整理得(4k2-2_22 23)x 8ck x 4k c12c2 0.7 .分_,2nrt8ck则 x x2,2 -，4k 3yiy2 k(x1 x2 2c)6ck4k2 3 '4ck2G(F3ck).4k 3因为所以因为所以所以GD AB,3ck可 k4ck22 xd4k 3 GFDA OED ,SiS22|GD|2|OD|2(3ck

16、2)2xDck24 k2(4ck24k2 3(3ck)2(ck2)2色的取值围是(9,S2)(20)(本小题共13分)ck2 )24k2 3(kl)24k2 3(3ck )24k2 39c2k4 9c2k2c2k414分设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作:11.分13-A AaL ,a,L ,an).其中 a(i 1,2,L ,n)称为数组A的“元” j称为d的下标.如果数组S中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称S为A的子数组.定义两个数组A (ai,a2,L冏)， B (bib,L ,bn)的关系数为 C(A, B)诩。a2b2 L anbn.1 1(I)若A (1,)，B (1,1,2,3),设S是B的含有两个兀的子数组，求 2 2C(A,S)的最大值；,B (0,a,b,c),且 a2 b2 c2 1 , S为 B 的含有个“元”的子数组，求C(A,S)的最大值.(20)(共 13 分)解：(I)依据题意，当 S ( 1,3)时，C(A,S)取得最大值为2.(II)当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等，及B中a,b,c三个“元”的对、3 0-称性，可以只计算 C(A,S) (a b)的最大值，其中a b c 1. 3由(a b)2 a2 b2 2ab 2(a2 b2) 2(a