3.1.3可线性化的回归分析解析

1、3.1.33.1.3可线性化的回归分析可线性化的回归分析6 6月月14 14日日 星期五星期五会将非线性回归模型经过变换转化为线性回归模型，进而进行回归分析学习本节后还应初步会将简单的非线性回归问题转化为线性回归问题(重点、难点)【课标要求】【核心扫描】回归分析的内容与步骤：回归分析的内容与步骤：统计检验通过后，最后是统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量量去估计、预测因变量。 回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。另一变量的变化。 其主要内容和步骤是：其主要内容和步骤是：首先根据理论和对

2、问题的分析判断，首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变将变量分为自变量和因变量量和因变量；其次，设法其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）找出合适的数学方程式（即回归模型）描描述变量间的关系；述变量间的关系；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归对回归模型进行统计检验模型进行统计检验；当两变量y与x不具有线性相关关系时，要借助于散点图，与已学过的函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图象相比较，找到合适的函数模型，利用变量代换转化为线性函数关系，从而使问题得以解决1可线性化的回归分析(1)确定变量确定变量：确定解释变量为x，预报变量为

3、y；(2)画散点图画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；(3)变量置换变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题；(4)分析拟合效果分析拟合效果：通过计算相关指数或相关系数等来判断拟合效果；(5)写出非线性回归方程写出非线性回归方程2解决非线性回归问题的方法及步骤：在大量的实际问题中，研究的两个变量不一定都呈现线性相关关系，它们之间可能呈现指数关系或对数关系等非线性关系等在某些情况下可以借助于线性回归模型研究呈现非线性关系的两个变量之间的关系我们往往将两个非线性的变量关系转化成线性的变量关系例如，将幂函数曲线yaxb转

4、化为ucbv.其中uln y，vln x，cln a；将指数曲线yaebx转化为ucbx.其中uln y，cln a.3非线性变量关系转化为线性变量关系： 例1在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的回归方程x0.250.5124y1612521t4210.50.25y1612521 由散点图也可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下： 求回归方程，应注意首先对样本点是否线性相关进行检验，因为对于任何一组样本点，都可以根据最小二乘法求得一个线性回归方程，但这条线性回归方程是否较好地反映了样本点的分布呢，显然不一定，特别是对于

5、不呈线性相关的回归模型可以通过散点图或求相关系数r首先作出是否线性相关的检验，然后再选择恰当的回归模型进行模拟.1234bbbxx利用变量代换将下列函数模型化为线性函数模型：（）y=ax ；（ ）y=ae ；（ ）y=ae ；（ ）y=a+交b流与探讨：lnx.自主交流：自主交流：常见非线性回归方程的回归模型常见非线性回归方程的回归模型曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数yaxbcln a vln x uln y ucbv 曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数yaebxcln a uln y ucbx 自主交流：自主交流：ucbv 自主交流：自主交流：曲线方程曲线图形变换公式变换后的线

6、性函数yabln xvln x uy uabv 自主交流：自主交流： (12分)在一化学反应过程中，化学物质的反应速度 y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测数据列于表中： 例2 催化剂的量x/g 15 18 21 24 27 3033 36化学物质的反应速度y/(gmin1)6830 27 70 205 65 350审题指导 解答本题可先画出散点图，再选择适宜的回归方程求解试建立变量试建立变量y y关于关于x x的回归方程的回归方程. .【解题流程】 根据收集的数据，作散点图(如图)，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲数 的周围，其中c1和c2是

7、待定的参数令zln y，则zln yln c1c2x，即变换后的样本点应该分布在直线zabx(aln c1，bc2)的周围（2分） 规范解答 (4分)21c xy ce由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858作出z与x的散点图(如图) (6分) (8分)由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一条直线的附近，所以可用线性回归方程来拟合由z与x的数据表，可得线性回归方程：z0.8480.81x，所以y与x之间的非线性回归方程为：ye0.8480.81x. （12分） 题后反思：

8、可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合 电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式UAebt(b0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表： 试求：电压U对时间t的回归方程 (提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)【练习】 t/s0123456789 10U/V 100 75 55 40 30 20 15 10 10 55 对UAebt两边取对数得ln Uln Abt，令yln U，aln A，xt，则yabx，得y与x

9、的数据如下表：解： x012345678910y4.6 4.3 4.0 3.7 3.4 3.0 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6(1)画出散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)(2)由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程yabx)(3)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)(4)得出结果后分析是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等建立回归模型的基本步骤：课时小结：课时小结：书面作业（参考课本书面作业（参考课本P82P82）1 1、课本、课本P86P86习题习题3131第第3,43,4题题2 2、名师一号名师一号P66

10、P66课前热身和课前热身和P68P68梯度训练梯度训练阅读作业阅读作业名师一号名师一号P67P67和和P68P68课后反思：（1）本节课探讨可线性化的回归分析，重点是会将四种非线性回归模型经过变换转化为线性回归模型，进而进行回归分析；（2）由于学生对必修1中的函数模型有些遗忘，所以需要对常见函数模型进行复习回顾，可以将四种模型的图像画在黑板上，特别是将非线性回归模型转化为线性函数模型的方法与技巧需要作探讨交流，以加深学生的印象；（3）可线性化的回归分析在现实生活中有重要的实际意义，因此指导学生掌握可线性化的回归分析方法非常重要；（4）本节课以学生动手操作为主，教师引导即可，因为时间关系，未做练

11、习。例例2：一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数y与温度与温度x有关有关,现收集现收集了了7组观测数据组观测数据,试建立试建立y与与x之间的回归方程之间的回归方程 解解:1):1)作散点图作散点图; ;从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。在一条指数曲线或二次曲线的附近。解解: : 令令 则则z=z=bx+a,(abx+a,(a=lnc=lnc1 1,b=c,b=c2 2),),列出变换后数据表并画列出变换后数据表并画

12、 出出x x与与z z 的散点图的散点图 z =lnyz =lnyx x和和z z之间的关系可以用线性回归模型来拟合z = ax+b+ez = ax+b+e2 2c xc x1 1用用y = c e模y = c e模型型; ;1)x x2121232325252727292932323535z z1.9461.946 2.3982.398 3.0453.045 3.1783.1784.194.194.7454.745 5.7845.7842) 2) 用用 y=cy=c3 3x x2 2+c+c4 4 模型模型, ,令令 , ,则则y=cy=c3 3t+ct+c4 4 , ,列出列出变换后数据表

13、并画出变换后数据表并画出t t与与y y 的散点图的散点图 2 2t t = = x x散点并不集中在一条直线的附近，因此用线散点并不集中在一条直线的附近，因此用线性回归模型拟合他们的效果不是最好的。性回归模型拟合他们的效果不是最好的。t t44144152952962562572972984184110241024 12251225y y7 71111212124246666115115325325( (1 1) )0 0. .2 27 72 2x x- -3 3. .8 84 43 3( (2 2) )2 2y y= = e e, ,y y= = 0 0. .3 36 67 7x x -

14、-2 20 02 2. .5 54 4( (1 1) )( (1 1) )0 0. .2 27 72 2x x- -3 3. .8 84 43 3i ii ii i( (2 2) )( (2 2) )2 2i ii ii ie e= = y y - -y y= = y y - -e e, , ( (i i= =1 1, ,2 2. . . .7 7) )e e= = y y - -y y= = y y - -0 0. .3 36 67 7x x + +2 20 02 2. .5 54 4, ,残残差差表表编号编号1 12 23 34 45 56 67 7x x2121232325252727292932323535y y7 71111212124246666115115325325e(1)e(1) 0.520.52 -0.167-0.1671.761.76-9.149-9.1498.8898.889-14.153-14.15332.92832.928e(2)e(2) 47.747.7 19.39719.397-5.835-5.835-41.003-41.003-40.107-40.107-58.268-58.26877.96577.965非线性回归方程非线性回归方程二次回归方程二次回归方程残差公式残差公式 在此