选修5不等式选讲

1、选彳多4- 5不等式选讲第一节本节主要包括2个知识点:1.绝对值不等式的解法；绝对值不等式2,绝对值三角不等式.突破点(一)绝对值不等式的解法基础联通抓主干知识的“源”与“流”(1)含绝对值白不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a= 0a<0|x|<ax| a<x<a?|x|>ax|x>acx< axC R|xw0R(2)|ax+ b|< c, |ax+ b|> c(c>0)型不等式的解法： |ax+ b|w c? cw ax + bw c; |ax + b| > c? ax+ b n c 或 ax+

2、 bw c.(3)|x- a|+ |x- b|>c, |x-a|+ |x- b|< c(c>0)型不等式的解法:利用绝对值不等式的几何意义求解.利用零点分段法求解.构造函数，利用函数的图象求解.考点贯通|抓高考命题的“形”与“神”考点绝对值小等式的解法典例解下列不等式：(1)|2x+1|-2|x-1|>0.x .(2)|x+ 3|- |2x-1|<x+1.解(1)法一：原不等式可化为|2x+1|>2|x-1|,两边平方得4x2+4x+1>4(x2-2x+ 1), 解得x>1,所以原不等式的解集为、x|x>1 :4L.4,x<-1,法二

3、：原不等式等彳于£2-(2x+1 " 2(x-1 >0或!一卜或触1，l(2x+1 产(X1>0 中+ 1r2(xT>0.1 一11 1解得x>1,所以原不等式的解集为1x|x>1 t4 L4,(2)当x<3时，X原不等式化为一(x+ 3)-(1-2x)<x+ 1,解得 x<10, x< 3.一1一当3Wx<2时,X原不等式化为(x+ 3) (1 2x)<2+ 1,解得 x< 3< x< .5 5当x.2时,x原不等式化为(x+ 3) + (1 2x)<2+ 1,解得 x>2，.

4、二 x>2. 2 ,、综上可知，原不等式的解集为p|x< 5或x>2吃绝对值不等式的常用解法方法技巧(1)基本性质法：对 aC R+, |x|<a? a<x<a,|x|>a? x< a 或 x>a.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号.(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转 化为与之等价的不含绝又直符号的不等式(组)求解.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.求不等式|x-1|- |x- 5|<2的解集.解：不等式|x1|x5|<2等价于x<1 ,.或p 1 0(x

5、 5 <21 w xw 5,x 1 + x 5<2T x>5, 或x 1 (x 5 12,x<1, -4<21 < x< 5, 或，2x<8或x>5,故原不等式的解集为 x|x<1 U x|1<x<4 U ?=x|x<4. 4<2,2.解不等式 x+|2x+ 3|>2.解：原不等式可化为卜<-2,-x-3>2或2,3x+3>2.解得x< 5或x>1. 3r11所以原不等式的解集是1x|xw 5或x> 3 ：3.已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)证明：一3

6、Wf(x)W3;(2)求不等式f(x)>x2- 8x+ 15的解集.解：(1)证明：f(x)=|x-2|-|x-5|- 3, x<2,= $2x7, 2<x<5, 当 2Vx<5 时，3<2x7<3,3 , x> 5.所以一3W f(x)< 3.(2)由(1)可知，当 x< 2 时，f(x"x28x+15 即为 x2-8x+ 18<0,解集为空集；当 2Vx<5 时，f(x)Rx28x+15 即为 x2-10x+ 22<0,解集为x|5->/3<x<5;当 x> 5 时，f(x&qu

7、ot;x28x+15 即为 x2-8x+ 12<0,解集为x|5< x< 6.综上，不等式 f(x)>x28x+15的解集为x|5 ，3wxW6.4 .已知函数 f(x)= |x- a|+ 3x,其中 a>0.(1)当a=1时，求不等式f(x)>3x+2的解集；(2)若不等式f(x)W0的解集为x|x<- 1,求a的值.解：(1)当 a=1 时，f(x"3x+2可化为 |x1|>2.由此可得x>3或xw1.故不等式f(x)>3x+2的解集为x|x>3或xw 1.(2)由 f(x)w0 得|xa|+3xW0.此不等式可化

8、为x> a,x a+ 3x< 0x<a,或，a x+ 3x< 0,x>a,即 a x<4x<a,或 a|xw -.结合a>0,解得x< -2,a即不等式f(x)< 0的解集为1x|xw 21不等式f(x)w0的解集为x|xw 1,a - 一 2= - 1,故 a= 2.突破点(二)绝对值三角不等式基础联通抓主干知识的“源”与“流”绝对值三角不等式定理(1)定理1：如果a, b是实数，则|a+b|<|a|+|b|,当且仅当ab-0时，等号成立.(2)定理 2：如果 a, b, c是实数，那么 |a-c|< |a-b|+|b-

9、 c|,当且仅当(a b)(b cG0 时，等号成立.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”考点一证明绝对值不等式一 一一 一 _11 .1例 1已知 x, yC R,且 |x+y|w. |x-y|<4,求证：|x+5y|W1.证明|x+ 5y|=|3(x+ y)- 2(x-y)|.，由绝对值不等式的性质，得|x+ 5y|=|3(x+ y) 2(x- y)| & |3(x + y)| + |2(x y)|1 c 1,=3|x+y|+ 2|x- y|w 3X-+2X 一= 1. 64即 |x+5y|w 1.方法技巧证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化

10、为普通不等式再证明.(2)利用三角不等式|a|-|b|< |aib|< |a|+ |b进行证明.(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明.考点二绝对值不等式的恒成立问题例 2 设函数 f(x) = x+ |x- a|.(1)当a=2 017时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)= |x+1|,求不等式 g(x) 2>xf(x)恒成立时a的取值范围.解(1)由题意得，当a=2 017时，2x-2 017, x> 2 017, f(x)= "2 017, x<2 017.因为f(x)在2 017, +8)上单调递增，所以函数f(x)的值域为2 017,

11、 +8).(2)由 g(x)= |x+1|,不等式 g(x) 2>xf(x)恒成立，知 |x+1|+|x a卜2 恒成立,即(|x+1|十|xa|)min>2.而 |x+ 1| + |x- a|> |(x+ 1)- (x-a)|= |1 + a|,所以|1 + a卜2,解得a>1或a< 3.故a的取值范围为(8, - 3)U(1, +8).解：(1)证明：由1a>0,有 f(x)= x + a一1 ，+ |x-a|> x+a-(x-a1一，=+ a>2.当且仅当 a能力练通抓应用体验的“得”与“失=1时等号成立.所以f(x)>2.(2)f(

12、3)= 3 + 1 +|3-a|. a一1当 a>3 时，f(3)=a + 1 a由 f(3)<5 得 3<a<5+21.,一，1当 0V aW3 时，f(3)=6-a+-, a由 f(3)<5 彳导、一“1 .考点一设函数 f(x)= x+二 十|xa|(a>0). a(1)证明:f(x) > 2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围. V5<aw3.综上，a的取值范围是近 5+标;2.考点二(2017 保定模拟)设函数 f(x)=|x-1|+|x-a|(a R).(1)当a=4时，求不等式f(x)>5的解集；(2)若f(x)>

13、;4对x C R恒成立，求a的取值范围.一 , 一，一一、，一 x<1,八 1 解：(1)当a=4时，不等式即为|x1|十|x4|>5,等价于，或，-2x+5>53>5x>4,或12x-5>5,解得xW0或x>5,故不等式f(x)>5的解集为x|xw 0或x> 5.(2)因为 f(x) = |x- 1| + |x- a| > |(x- 1) - (x- a)| = |a- 1|,所以 f(x)min=|a-1|,故|a1|>4,解得 a< 3或 a>5.故a的取值范围为(8, 3U5, +8).3 .考点一已知函数f

14、(x)= ax2+xa的定义域为1,1.3(1)若 f(0) = f(1),解不等式 |f(x)1|<ax+4；5(2)若|a|W1,求证：|f(x)|W解：(1)f(0) = f(1),即a=a+1a,则 a=1,所以 f(x) = x2+ x + 1,所以不等式化为| x2+x|<x+3,4当1Wx<0时，不等式化为 x2-x<-x + 3,4解得乎<x<0;当0WxW1时，不等式化为一x2+x< x + 3,解得0Wx<T. 42综上，原不等式的解集为仅乎<x<2.证明：由已知xC -1,1,所以|x|W1,又|a|W1,则|f

15、(x)| = |a(x2 1)+ x|w |a(x2- 1)| + |x|< |x2- 1|十 |x|= 1-|x|2+|x|=- |x| ； j+jw：.4.考点一(2017开封模拟)设函数f(x)=|x-a|, a<0.证明：f(x) + f 一；异2;1 一(2)若不等式f(x)+f(2x)<2的解集非空，求a的取值氾围.解：(1)证明：函数 f(x)=|xa|, a<0 ,则 f(x) + f : = |x a| 十= |xa|+ 1+a x(xa " C+a)= |x|+|x|>2vi=2(当且仅当|x|=1时取等号).(2)f(x)+f(2x

16、)=|xa|+|2xa|, a<0.当 x< a 时，f(x)+ f(2x) = a x+ a 2x= 2a 3x,则 f(x)+ f(2x)> a;aaa;当 a<x< -时，f(x) +f(2x)= xa+a 2x=x,则-<f(x) +f(2x)<当 x>机寸,f(x)+f(2x) = x a+ 2x a= 3x 2a,则 f(x) + f(2x)> 一 a 、则f(x)+ f(2x)的值域为 一a, + 00卜1不等式f(x) + f(2x)<1的解集非空，即为2> a,解得，a> - 1,由于a<0 ,则a

17、的取值范围是(-1,0).全国卷5年真题集中演练 一一明知律1. (2016 全国乙卷)已知函数 f(x) = |x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集.x x一 4, x w 1 ,3解：由题意得f(x)=3" 2，T<x、2',.3-x+4, x>2，故y= f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的函数表达式及图象可知， 当f(x) =1时，可得x=1或x=3;当f(x)= 1时，可得x=1或x= 5.3故 f(x)>1 的解集为x|1<x<3,f(x)< - 1 的解集为 f

18、x x<3或x>5 J.所以|f(x)卜1的解集为仅x<1或1<x<3或x>5 >2. (2016全国丙卷)已知函数f(x) = |2x-a|+a.(1)当a=2时，求不等式f(x)W6的解集；(2)设函数g(x)=|2x1|.当xCR时，f(x)+ g(x)>3,求a的取值范围.解：(1)当 a=2 时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式 |2x- 2|+ 2< 6 得一1 w x< 3.因此f(x)W6的解集为x|1WxW3.(2)当 xC R 时，f(x)+g(x)=|2xa|+a+|1 2x|>3,一x又x-2 +12

19、-xa2，所以解得a>2.所以a的取值范围是2, +8).3. (2015 新课标全国卷 I )已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|, a>0.(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解：(1)当a=1时，f(x)>1 化为 |x+1|2|x1|1>0.当XW 1时，不等式化为 X- 4>0,无解;当1<x<1时，不等式化为 3x2>0,解得2Vx<1 ;3当x> 1时，不等式化为 x+2>0,解得1Wx<2.,， 2、所以f(x)&g

20、t;1的斛集为"xgvxvZ Ax 1 2a, x< 1,0 B(2a+1,0),(2)由题设可得 f(x)= ;3x+1 2a, - 1<x<a, x+1 + 2a, x>a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为C(a, a+ 1), ABC的面积为2(a+1)2. 3由题设得2(a+ 1)2>6,故a>2. 3所以a的取值范围为(2, +8).4. (2013 新课标全国卷 I )已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|, g(x) = x+3.其图象如图所示.由图象可知，当且仅当 xC(0,2)时，y<0.所以

21、原不等式的解集是 x|0< x< 2.(2)当 xC -2, 1，寸,f(x)=1 + a.不等式 f(x)Wg(x)化为 1 + aWx+3.所以x> a- 2对xC -2, 2都成立.故-4a- 2,即 awf. 23从而a的取值范围是卜1, 4 5. (2012新课标全国卷)已知函数f(x)=|x + a|+|x-2|.(1)当a= 3时，求不等式f(x)>3的解集；(2)若f(x)w|x 4|的解集包含1,2,求a的取值范围.-2x+ 5, x< 2,解：(1)当 a=3 时,f(x)=l1, 2V x<3, 2x- 5, x > 3.当 x&

22、lt; 2 时，由 f(x)>3 得一2x+5>3,解得 xW1；当 2V x<3 时，f(x)>3 无解；当 x>3 时，由 f(x)>3 得 2x5>3,解得 x>4;所以f(x) > 3的解集为x|xw 1或x> 4.(2)f(x)< |x- 4|? |x- 4|-|x- 2|>|x+ a|. 当 xC 1,2时，|x-4|-|x-2|>|x+a|? 4一 x一 (2 一 x)|x+a|? 2 - aw xw 2a.由条件得一2 aw 1 且 2 a> 2,即一3w aw 0.故满足条件的a的取值范围为3

23、,0.课时达标检测基础送分题一一高考就考那几点，练通就能把分捡1.已知函数 f(x)=|x+ m|-|5-x|(m R).(1)当m=3时，求不等式 f(x)>6的解集；(2)若不等式f(x)< 10对任意实数x恒成立，求 m的取值范围.解：(1)当 m=3时，f(x)>6,即|x+3|5x卜6,不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集.x>5,x+ 3一(x 5 >6,解得x>5;3Vx<5,或1解得4Vx<5;慎+ 3 + (x 5 >6, xV 一 3,或,解集是？.一 x 一 3+ (x 5 F6,故不等式f(x)>6的解集为

24、x|x>4.(2)f(x)= |x+ m|- |5- x|< |(x+ m) + (5- x)|= |m+ 5|,由题意得|m + 5|wi0,则I0wm+5W 10,解得15W mW 5,故m的取值范围为15,5.2. (2017 郑州模拟)设函数 f(x)=|x+2|-|x- 1|.(1)求不等式f(x)>1的解集；(2)若关于x的不等式f(x)+4> |1 2m|有解，求实数 m的取值范围.-3, x< -2,解：(1)函数 f(x)可化为 f(x)=42x+1, - 2<x<1,3, x>1,当xw 2时，f(x) = - 3<0,

25、不合题意；当一2Vx<1 时，令 f(x)= 2x+ 1>1 ,得 x>0,即 0Vx<1;当 x> 1 时，f(x)=3>1,即 x> 1.综上，不等式f(x)>1的解集为(0, +8).(2)关于 x 的不等式 f(x) + 4>|12m|有解等价于(f(x)+4)max>|1 2m|,由(1)可知 f(x)max=3(也可由 |f(x)|=|x+2|一|x 1|W|(x+2)(x1)|=3,得 f(x)max=3), 即 |1 2m|W7,解得一3WmW4.故实数m的取值范围为3,4.3. (2017长春卞莫拟)已知函数f(x)

26、 = |x-2|-|x+1|.(1)解不等式f(x)>1;ax x + 1(2)当x>0时，函数g(x)=(a>0)的最小值大于函数f(x),试求实数 a的取值范x围.解：(1)当x>2时，原不等式可化为 x-2-x-1>1,解集是?.当一1WxW2时，原不等式可化为 2xx1>1,即一1Wx<0;当x<1时，原不等式可化为2x+x+1>1 ,即x<1.综上，原不等式的解集是x|x<0.1(2)因为 g(x)= ax+- 1 >2ya1 )x当且仅当x= "a时等号成立，所以 g(x)min= 2>/a-

27、1 , a1 - 2x, 0<x< 2,当 x>0 时，f(x)= *所以 f(x)C 3,1),3, x>2,所以2-1>1,即a>1,故实数a的取值范围是1, +8).4.设函数 f(x)=|kx- 1|(kCR).(1)若不等式f(x)W2的解集为ix|-1<x<1求k的值；3(2)若f(1) + f(2)<5,求k的取值范围.解： 由|kx1|W2,得一2Wkx1W2,即一1wkxW3,所以一 ；wxwi, 3 3由已知，得k=1,所以k=3.1一，(2)由已知,得 |k1|+|2k1|<5.当 kw 时,-(k-1)-(2k

28、-1)<5,得 k>- 1,此时一1111<k<2；当 2<kW1 时，(k1)+(2k1)<5,得 k<5,此时万<kW1；当 k>1 时，(k-1)+(2k-1)<5,得k( 此时1<k<3.综上，k的取值范围是(T, 3)5.已知函数 f(x)=|2x-a|+|2x + 3|, g(x) = |x1|+2.(1)解不等式：|g(x)|<5；(2)若对任意的x1CR,都有x2C R,使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围.解：(1)由 |x 1|+2|<5,得一5<|x1|+2<5,

29、所以一7<|x 1|<3,解不等式得一2Vx<4, 所以原不等式的解集是 x| 2<x<4.(2)因为对任意的 xK R,都有 x2 R,使得 f(x1)=g(x2)成立，所以y|y=f(x)? y|y=g(x),又 f(x)= |2x-a|+ |2x+ 3|>|(2x-a) (2x+ 3)| = |a+3|,g(x)=|x1|+2>2,所以|a+3|>2,解得a> 1或aw5,所以实数a的取值范围是(一- 5 U - 1, 十 °°).6.设函数 f(x)=|2x-1|-|x+4|.(1)解不等式：f(x)>0;

30、(2)若f(x)+3|x+ 4|>|a1对一切实数 x均成立，求a的取值范围.解：(1)原不等式即为|2x-1|-|x+4|>0,当xw4时，不等式化为 12x+x+4>0,解得x<5,xW 4,._的解集是x|xw -4.|2x-1|-|x+4|>01当4<x<1时，不等式化为 1 2x x4>0,4<x<,解得x< 1,即不等式组S 2的解集是x| 4<x< 1.J2x-1|-|x+4|>0当x> 1时,不等式化为 2x- 1-x-4>0,解得x>5,>1x>一 一即不等式组S

31、 2的解集是x|x>5.|2x-1|-|x+ 4|>0综上，原不等式的解集为 x|x< 1或x>5.(2) . f(x) + 3|x+ 4|=|2x-1|+2|x+4|=|1-2x|+ |2x+ 8|> |(1 2x) + (2x+ 8)| = 9.，由题意可知|a-1|<9,解得一8<a< 10,故a的取值范围是8, 10.7.已知函数f(x)=|2xa|+a(其中a为常数).(1)若集合x|- 4& x< 3是关于x的不等式f(x)< 6的解集的子集，求实数a的取值范围；(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)wmf

32、(n)成立，求实数 m的取值范围.解：由|2xa| + aW6 得|2xa|W6a, a 6w 2x aw 6 a,即 a 3w xW 3)*o- a 3w 4,aw 1.即实数a的取值范围为(8, 1.(2)由题可知，只需 m>f(n)+f(n)min即可.令 ”n) = f(n) + f(n),在(1)的条件下 a< - 1,则 Mn)=|2n a|+|2n+a|+2a+|(2n a)(2n+a)|+2a= |2a|+2a=0,当且仅当(2n-一 11a)(2n + a)w0,即 aw n w a 时取等3.Mn)的最小值为0,故实数m的取值范围是0, +8).8.已知函数 f

33、(x)=|3x+2|.(1)解不等式 f(x)<4-|x-1|;11(2)已知 m+n=1(m, n>0),右|xa|f(x)wm+n(a>0)恒成立，求头数 a的取值氾围.解：(1)不等式 f(x)<4-|x-1|,即 |3x+2|+|x1|<4.当 x< 2时，即一3x2 x+1<4,解得一5<x<2;当一xw 1 时，即 3x+2 x+1<4, 3433解得一：w x<:；当x>1时，即3x+2+x1<4,无解. 32综上所述，原不等式的解集为4|-5<x<2：工+ 1= I1 + 当且仅当m=n

34、= 2时等号成立.令 g(x) = |x a| f(x)= |x a| |3x+ 2| =J 22x+ 2+ a, x<-,31 4x2+a, 一 $xWa, 2x 2 a, x>a. (m+ n)= 1+ 1 + n+m>4, m n m nm n，x= 2时，g(x)max = 2+ a,要使不等式恒成立, 33只需 g(x)max= /+aW4,即 0<a<10. 33所以实数a的取值范围是第二节基础联通抓主干知识的“源”与“流”1 .基本不等式定理1:如果a, bCR,那么a2+b2>2ab,当且仅当a=b时,等号成立.定理2：如果a, b>0

35、,那么支晒 当且仅当a=b时,等号成立，即两个正数的 算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.、一 ，一一一 .a+b+ c 3j定理3：如果a, b, cC R+,那么 一->3/0bc,当且仅当a=b= c时，等号成立.32 .比较法(1)作差法的依据是：a- b>0? a>b. A 一(2)作商法：若 B>0,欲证AAB,只需证>1.3 .综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的 推理、论证而得出命题成立.(2)分析法：从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条 件或一个明显

36、成立的事实 (定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”考点一比较法证明不等式例1设a, b是非负实数，求证：a2+b2>Vab(a+b).证明因为 a2+ b2- <ab(a+ b)=(a2 a/ab)+ (b2 b-ab)=aVa(Va- /b)+ bVb(Vb- va)=(m-3)(a干-byb)=尾b2)(a2 b3),bl 与 a3 - 22因为 a>0, b>0,所以不论a> b>0,还是0w aw b 都有a12所以尾一b1)(a"- b2"0,所以 a? + b? >

37、; qab(a + b).方法技巧作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形 成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.考点二综合法证明不等式L -ill例2 已知a, b, c>0且互不相等，abc= 1.试证明：Va +Vb+ ,一十1十二 a b c证明因为a, b, c>0,且互不相等，abc=1, 所以5+也+衣=出+量+陪1111:十一 一+一 b c a c2 + 2 +1 1一十一 b c'即 F+ 福+ &V1 + 1+ 1. a b c方法技巧综合

38、法证明时常用的不等式(1)a2>0.(2)|a|>0.(3)a2+ b2>2ab,它的变形形式有：a2+b2>2|ab|; a2+b2>-2ab; (a+b)2>4ab;a2+b2>1(a+ b)2；苧>山；.(4)工ab,它的变形形式有:a + -> 2(a>0); ： + 9> 2(ab>0); ab aa ba+ -< 2(ab<0).b a考点三分析法证明不等式例 3 (2017 沈阳模拟)设 a, b, c>0,且 ab+ bc+ ca=1.求证：(1)a+b+ c> 3;(2)般+ y&

39、amp; N*小(*+小+加证明(1)要证 a+b+c> >/3,由于 a, b, c>0,因此只需证明(a+b+ c)2>3.即证：a2+ b2+ c2+ 2(ab+ bc+ ca)> 3,而 ab+ bc+ ca= 1,故只需证明：a2+ b2+c2 + 2(ab+ bc+ ca)> 3(ab+bc+ ca).即证：a2+ b2+ c2> ab+ bc+ ca.a2 b2 b2 c2 c2 a22 .22 , 一，而这可以由 ab+bc+caw-2+丁 =a2+b2+c2(当且仅当 a=b= c时等号 成立)证得.所以原不等式成立.a : b &#

40、39;' c a + b+ cbc+J 丁晶.在(1)中已证a+b+c> <3.因此要证原不等式成立，,a+ , b+ ,c,即证 a , bc+ b , ac+ c ab< 1,即证 a . bc+ b , ac+ c . ab< ab+ bc+ ca.而 a bc= ab ac<ab+ ac2， ab+ bcbc+ acb ac<2，c ,ab< -2所以 a , bc+ b , ac+ c , ab< ab+ bc+ ca(当且仅当a=b=c=W3时等号成立).所以原不等式成立.3方法技巧分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，

41、且和重要不等式(a2+b2>2ab)、基本不等式府w 等，a>0, b>0声有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来 寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1 .考点三已知 a>b>c,且 a+b+c= 0,求证：.b2 ac<J3a.证明：要证Jb2 ac<木a,只需证b2 ac<3a2.a+ b+c= 0, c= a+b,只需证 b2+a(a+ b)<3a2,只需证2a2abb?>0,只需证(a-b)(2a+ b)>0,只需证(a b)(a c)>0

42、. a>b>c,a b>0, a c>0. ' (a b)( a c)>0 显然成立，故原不等式成立.2 .考点已知 a> b>0,求证：2a3- b3>2ab2-a2b.证明：2a3 b3 (2ab2 a2b)= 2a(a2 b2)+ b(a2- b2)=(a2- b2)(2a+ b)= (a- b)(a+ b)(2a+ b).因为 a>b>0)所以 ab>0)a+b>0,2a+b>0)从而(ab)(a+b)(2a+ b)>0,即 2a3-b3>2ab2-a2b.3 .考点二已知a, b, c,

43、 d均为正数，且 ad= bc.(1)证明：若 a+d>b+ c,则 |ad卜|b c|;(2)t 4a2+ b2Vc2+ d2 = :a4 + c4 + b4+ d4,求实数 t 的取值范围.解：(1)证明：由 a+d>b+ c,且 a, b, c, d 均为正数，得(a+ d)2>(b+ c)2,又 ad= bc, 所以(a d->(b cj,即 |a d|>|b c|.(2)因为(a2 + b2)(c2 + d2) = a2c2+ a2d2 + b2c2 + b2d2= a2c2 + 2abcd+ b2d2= (ac+ bd)2,所以 t Za? + b?d

44、? = t( ac+ bd).由于，a4 + c4 > Qac, ：b4 + d4 > y/2 bd,又已知 t 7a + b2Vc2 + d2 = a4 + c4 + 7b + d4,则 t(ac+bd)nM2(ac+bd),故 t>J2,当且仅当 a=c, b= d时取等号.全国卷5年真题集中演练 一一明规律1 1 _一 ，1. (2016全国甲卷)已知函数f(x)= x Q + x+Q , M为不等式f(x)<2的解集.(1)求 M ;(2)证明：当 a, bCM 时，|a+ b|<|1 + ab|.11-2x, x< Q,一11斛：(1)f(x)=&

45、lt; 1, 2<x<2，12x, x>2-当 xw2 时，由 f(x)<2 得一2x<2,解得 x> - 1,所以一1<xW：；1 1，一当2<x<2时，f(x)<2恒成立；1. 1当x>鼻时，由f(x)<2得2x<2,解得x<1,所以W*.所以 f(x)<2 的解集 M = x|-1<x<1.(2)证明：由(1)知，当 a, bCM 时，1<a<1, - 1<b<1 ,从而(a+b)2(1 + ab)2= a2+b2 a2b2 1 = (a2- 1)(1 b2)&l

46、t;0.因此 |a+ b|<|1 + ab|.2. (2015新课标全国卷n )设a, b, c, d均为正数，且 a+b=c+d,证明：(1)若ab>cd,贝U而>,+ 血；(2pja + Vb>Vc+ 珀是 |a- b|<|c- d| 的充要条件.证明：(1)因为(ya+4b)2=a+b+2牺，(,c+ ,d)2= c+ d+2 cd,由题设 a+b=c+ d, ab>cd,得(，a+ b)2>( ,c+ d)2.因此.a+ b> c+ , d.(2)必要性：若 |a- b|<|c-d|,则(a-b)2<(c- d)2,即(a+

47、b)2-4ab<(c+ d)2 4cd.因为 a+b= c+d,所以 ab>cd.由(1),得 F + gb>&+4d.充分性：若 Va+Vb>Vc+而，则(小!+洞2>(#+洞2,即 a+ b+2 ab>c+d+2 cd.因为 a+b= c+d,所以 ab>cd.于是(a- b)2= (a+ b)2-4ab<(c+ d)2-4cd= (c- d)2.因此 |a-b|<|c-d|.综上，a+ b> . c+. <是|ab|v |cd|的充要条件.1 13. (2014 新课标全国卷 I )右 a>0, b>0

48、,且一十；= Vab. a b求a3+b3的最小值；(2)是否存在a, b,使得2a+3b= 6?并说明理由.得ab>2,当且仅当a=b=黄时等号成立.故 a3+b3>2ab3>42,当且仅当a=b=6时等号成立.所以a3+b3的最小值为4庐.(2)由(1)知，2a + 3b > 2/6Tab > 473.由于45>6,从而不存在 a, b,使得2a+3b= 6.4. (2013新课标全国卷n )设a, b, c均为正数，且 a+b+c= 1.证明:1(1) ab+ bc+ ac< 2;3 b2+ J. b c a证明：(1)由 a2+b2>2a

49、b, b2 + c2>2bc, c2+ a2>2ca, 得 a2+ b2+ c2>ab+ bc+ ca, 一 . .1 一 .一当且仅当a=b= c=1时取等号.由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+ 2ca= 1.所以 3(ab+ bc+ ca)< 1,即 ab+ bc+ ca< 1.32 .22一 ,a .4 b - c -(2)因为 b+b>2a,+ c>2b, a+a>2c,2.22上，a b c故二十一十一十(a+ b+ c)丁 2(a+ b+c), b c ab2 c2、-1->a+ b+ c, c

50、 a，一 .，1 ，一，一当且仅当a=b= c= 1时取等号.3所以 a2'+，+c2>i. b c a课时达标检测 基础送分题 一一高考就考那几点，练通就能把分捡1 .已知函数f(x)=|x+3|+|x-1|,其最小值为 t求t的值；1 4 9(2)右正头数a, b满足a+b=t,求证：a+6>4.解：(1)因为 |x+ 3|+|x-1|=|x+3|+|1-x|>|x+3+1-x| = 4,所以 f(x)min= 4,即 t= 4.- ab1414 a , b 1 b a 5*4 a b 4.(2)证明：由(1)得 a+b=4,故4+4=1, a+b= q+b，q+

51、4/=z+1+篇+g>4+ 2、/4*3= 5+1 =9，当且仅当b= 2a,即a=4, b="8时取等号，故；4a b 44332 .设不等式一2<|x1|x+2|<0 的解集为 M, a, bC M.11.1证明：&a+6b <4;(2)比较|1 4ab|与2|ab|的大小，并说明理由.3, x< -2,解：(1)证明：记 f(x)=|x-1|-|x+2|= i-2x-1, - 2<x<1, -3, x R 1.由一2< 一2x1<0 解得一1<x<1， 22则 m= L12 j111111111所以3a+

52、6b4间+6同<2+6'=4.(2)由(1)得 a2< b2<；.因为 |1 一 4ab12 4|a b=(1 8ab+16a2b?) 4(a? 2ab+ bj = (4a? 1)(4 b?1)>0.所以 |1 -4ab|2>4|a-b|2,故 |1-4ab|>2|a-b|. *3 .(2017广州*II拟)已知定义在 R上的函数f(x)=|x-m|+ |x|,m N，存在实数x使f(x)<2 成立.(1)求实数m的值；(2)若“，专 1, f(a)+f(3)=4,求证：4+：> 3.解：(1)因为 |x m|+ |x|>|(x-m

53、)-x|= |m|.要使不等式|xm|十|x|<2有解,则|m|<2,解得一2<m<2.因为mC N*,所以m = 1.(2)因为 a, 1, f(x)=2x-1(x>1),所以 f( a) + f( 9=2a 1 + 2 3- 1 = 4,即 a+ 3= 3,4 1 14 1所以一+下=三一十7("+ 3) a 3 3 1a 6 /同15+2后1t3.(当且仅当"=(，即"=2, 3= 1时等号成立),a p故 4+ ->3.a 34 . (1)已知 a, b 都是正数，且 aw b,求证：a3+b3>a2b+ab2;a

54、2b2 + b2c2+c2a2(2)已知a, b, c都是正数，求证： ->abc.a b+ c证明：(1)(a3+ b3)- (a2b+ ab2)= (a+ b)(a- b)2.因为a, b都是正数，所以a+ b>0.又因为awb,所以(a- b)2>0.于是(a + b)(a b)2>0,即(a3+b3)(a2b+ ab2)>0,所以 a3+b3>a2b+ ab2.(2)因为 b2+c2>2bc, a2>0,所以 a2(b2+c2)>2a2bc.同理，b2(a2+ c2) > 2ab2c. c2(a2+b2)A2abc2.c2a2

55、>abc(a相加得 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)>2a2bc+ 2ab2c+ 2abc2,从而 a2b2+ b2c2+ + b+ c).由a, b, c都是正数，得a+b+c>0,a2b2 + b2c2+c2a2因此> abc(当且仅当a=b= c时取等号).a+ b+ c5 .已知 x, yCR,且 |x|<1, |y|<1.求证：”+入>厂2-.1 x 1 y 1 xy证明:2 v 1 - x 当且仅当a=b= c= 1时等号成立. +1 - y21121 _ x2 + 1 _ y2y±£ L 乞风 1. |xy|

56、,2、2：；-，1 |xy| 1 xy，原不等式成立.6. (2017长沙卞II拟)设 & 丫均为实数.证明:|cos(a+ 3)|w |cos o|+ |sin 6,|sin(a+ 3)|w |cos o|+ |cos 6;若 a+ 3+尸 0,证明：|cos o|+ |cos H+ |cos |> 1.证明:(1)|cos(a+ 3)|= |cos acossin osin 产 |cos ocos 日+ |sin osin 产 |cos o|+ |sin 露|sin( a+ 3)|= |sin acos 3+ cos osin gw |sin o(cos .十 |cos as

57、in gw |cos(x|+ |cos g.(2)由(1)知,|cosa+ (叶圳W|cos C+|sin( 3+ »|w |cos a|+ |cos (十|cos d，而 a+ 叶产 0,故 |cos a|+ |cos 日十|cos 仔 cos 0= 1.7. (2017 重庆模拟)设 a, b, cCR 且 a+b+c=1.c2 1求证：(1)2ab+bc+ ca+ y< 2;a2+c2丁b2+a2 c2+b2+> 2.a2+c2b2+a2c2+b2b 十 c + a身却陪却第1S=ag+*b/少所以ca +2a+2b+ 2c=2,证明：(1)因为 1= (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2caR 4ab+2bc+2ca+c2,当且仅当a=b时等号成立，2所以 2ab+ bc+ ca+ 2= 2(4ab+ 2bc+ 2ca+ c2)< ±.a2+c2 2ac b2+a2 2ab c2 + b2 2bc(2)因为 b b c