材料力学弯曲变形要点

1、弯曲变形本章主要研究： 弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计§1引言§2梁变形基本方程§3计算梁位移的积分法§4计算梁位移的奇异函数法§ 5计算梁位移的叠加法§6简单静不定梁§ 7梁的刚度条件与合理设计弯曲变形及其特点挠曲轴 卜一一I 变弯后的梁轴，称为挠曲轴 挠曲轴是一条连续、光滑曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计, 因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静 不定梁，为研究压杆稳定问题提供

2、有关基础 挠度与转角挠度 横截面形心在垂直于梁轴方向的位移 w = wGr）一挠曲轴方程转角一横截面的角位移8 = 6（x）一转角方程挠度与转角的关系（小变形）dw。=/（忽略剪力影响）6? «tan67 = (rad)6（rud）dx§2梁变形基本方程n挠曲轴微分方程 a挠曲轴近似微分方程.a挠曲轴微分方程（推广到非纯弯）焉=智1wP(x) = ±i?hT卬" M(x)+刁而一挠曲轴微分方程卬一弯矩引起的挠度Gnax 与挠曲轴近似微分方程d%=±幽El小变形时：卬“vvl誉）F曲轴近似微分方程坐标轴”向下时:d2w应用条件：*4%小变形坐标轴

3、W向上§3计算梁位移的积分法 挠曲轴微分方程的积分与 边界条件 积分法求梁位移 挠曲轴的绘制 例题挠曲轴微分方程的积分与边界条件*J给田w=F“勺0, “'00约束处位移应满足的 条件-位移边界条件梁段交接处位移应满足 的条件一位移连续条件利用位移边界条件与连续条件确定积分常数积分法求梁位移建立挠曲轴近似微分方程并积分Q? 以常数产= MtHM(x)=%r也=小dx2EIld，_ M.djc2EliX 乜(a)3 磊 xK'+D (b)利用边界条件确定积分常数 在 x=0 处，w=0 (1) 在=/处，w=0 (2)由条件.(2)与式(b),由。=0, C =6EI计

4、算转角0="焉。/-尸)/=改°)=-缪(S= dr 6EH6EI挠曲轴的绘制绘制依据满足基本方程E1满足位移边界 条件与连续条件绘制方法与步骤离M图由M图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的 凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置例3-1用积分法求梁的最大挠度，E/为常数AC段C8段dw,Fb 2 F z、2 -解：L建立挠曲轴近似微分方程并积分dr2 2EII 1E1Fb/ “小两”；一切（”2-。）' + °2小 + 46£/6£/”尸晶X-信（必"）3巾2必+42.确定积分常数位移边

5、界条件：在马=0处，%=0在工2 = /处，*2 =。=4 = 0位移连续条件：在必=处，叫=啊在 勺=4=« 处，dW/cLr=dw"dLT2G=G 4 03）3.最大挠度分析 当。力时 发生在AC'段股黔2力）梦。A驾霄OliLf（U i，、，£，,，114例3-2建立挠曲轴微分方程，写出边界条件，£7为常数位移边界条件： 在 x=0 处，H'!=0 在修口处，卬1=0解：1.建立挠曲轴近似微分方程A盛粉-副CB联警-犷2.边界条件与连续条件位移连续条件：在工尸勾二。处，叫="2在“二啊"处，£：一第例3

6、-3绘制挠曲轴的大致形状奇异函数§4计算梁位移的奇异函数法弯矩通用方程梁位移通用方程例题奇异函数当需分段定立“或£/方程时.用积分法求解需要 确定许多积分常数，利用奇异函数简化了分析计算定义<x-a)=(x-a) (x>a)(x-a>=0 (x“)<x-a>°=0 Qr“)奇异函数(或麦考利函数；(x)=<x-a)n(20)弯矩通用巨医"k s/用奇异函数建立最后梁段DE的弯矩方程:M=F47x+A/e(x-/1/-F(x-/2)-1 g?适用于各梁段.例如对于8C段(5G由于 x-/2 ：s=0x-Zj/sO x4t

7、 *=1M=FAyxMt 梁位移通用方程M = FAyx+Mtx - /'一户行*,4产+Me8，J-尸，山-张-行C1X E，L/ ?=占怜*" H)-； x -q+c二5?+9 5"小一?"一'丁 一+&+°适用于任一梁段.仅包括两个积分常数,由边界条件确定 0例题例41用奇异函数法计算4, E/为常数解：1.建立梁位移通用方程2.确定积分常数>|5Lr=0 处,w=0,/处,w=0得：C = 2& D=o3.计算转角24例42用奇异函数法计算/, E/为常数h|此的E7M,* = -yX2 + F x-a 2

8、-Fa x-2a +CE/w =-xJ + y(x-d/- x-2« 2 +Cr + D在 x = 处.w = 0;在 x = 3"处,w = 0D=-11F«12EI 13Fa2 c二亡，%=卬（0）=一例4-3建立通用挠曲轴微分方程，写出位移边界条件在x-l处w=0,求二。02 2X9-2§ 5计算梁位移的叠加法总加法逐段分析求和法一I0例题曲加丞方法WA=?F分解载荷今分别计算位移J! 口 中7二日»求位移之和- Q .”鼎(T)了W =- 6' (4)q +w仙 SEI*.) , Q ， o ， ？ ，Fl 3 q4 a AI-

9、f"+wg=乐厂翡m一驾泰工自用几I载荷时存二横截面 的总位移.等于各载荷单独作用时在 该截面引起的位移的代数和或矢量和理论依据EI /(x)M(x )=Mf (x(x)(小史附，比例极限内)(小变彩)上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合El r= F(X)-> W = wr(x) (I !£EIf w = w (x)dx .故：w = w7(jr)+“x)叠加法适用条件：小变形，比例极限内 逐段分析求和法分解梁分别计算各梁段的 变形在需求位移处引 起的位格叫/ =瑞_ Fai _ Fa2! W3EfXa=3ETFa'%=2 3EI求总位移心叫+啊=瑞&q

10、uot;E)在分析某梁段的变形在 需求位移处引起的位移 时，其余梁段视为网体口例题例5 14（x尸9心（冰0«72/）,利用叠加法求”=?回 . (x)dx.x2z.f 、q9x2(3l-x) itx .M： dw么-(3/-x)=y-cosdx (t)86/76/721=孺f?(3/T)c°< dr = "d"例52叫=?解： w产4+8,WB = WBJ: + WRaFa' Faa2 SFai3E/+2E/7 6EZ%=%/+%#«例5-3图示组合梁，£7=常数，求”与4Q）S_13" M _5M 名-7-

11、48E/+24瓦 IE/（°）解:U)例5T图示刚架，求截面C的铅垂位移4恪+也包3EI G/t 3EI§6简单静不定梁 静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法 例题静不定度与多余约束4-3= 1 度 带不定静不定梁 支反力（含力偶）数超过平衡方程数的梁静不定度=未知支反力（力偶）数-有效平衡方程数1“ 、' 一5-3 = 2 <.一 广q 台暂不定多余约束 凡是多于维持平衡所必须的约束静不定度=多余约束数多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩简单静不定梁分析方法算例求梁的支反力,£/=常数1度静不定£圾=0,得场=3F16 2与=

12、。，得 F4j = UF/16 -平衡方程“，=0变形协调条件fl - 48£/ 3后/ 一物理方程SU 48EI综合考虑三方面分析方法与步町判断梁的桥不定度 用多余力代替多余约束 的作用，得受力与原静不定 梁相同的静定梁-相当系统 注意：相当系统有多种选择 计算相当系统在多余约 束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程O由补充方程确定多余力, 通过相当系统计算内力、关键-确定多余支反力由平衡方程求其余支反力位移与应力等 依据-综合考虑缶面例题例6l求支反力解：1.问题分析水平反力忽略不计,2多余未知力2.解静不定q =o, % = oM(Fab(lb) - I6E113E1 6

13、E1Fab(la) MJ MJ6EII 6EI 3EI=0 . F"b： Fa'b 艮， Fhz(lla) L. 尸+J" = 丁，M" = -p- = Ji-/的 = p例6-2悬管梁A3,用短梁。G加固，试分析加固效果解：L静不定分析2.加固效果分析（刚度）F/J 5Fr/3 13F/sM/r = 3E7_48E/=64E7Fl'卬他来加®近减少39.9%3.加固效果分析（强度）必3 =与Fa 减少50%例6-3图示杆梁结构，试求杆BC的轴力解：梁截面形心的轴向位移一般忽略不计h = 2A/阳-“&尸r 、2/<4-n

14、= 6<2Z + A/2例S-4直径为d的圆截面梁，支座8下沉8 /4=?§7梁的刚度条件与合理设计 梁的刚度条件 梁的合理刚度设计了 例题梁的刚度条件最殛移控制KEf同一许用挠度区“二|司一许用转角桥式起重机梁： 一般用途的轴：忸拉感了M嬴IIIWIF llRfW 艇截面典但移控制 昨同 例如滑动轴承处：同=0.001 rad梁的合理刚度设计横截面形状的合理选择使用较小的截面面积A,获得较大惯性矩/的截面形 状，例如工字形与箱形等薄壁截面材料的合理选择影响梁刚度的力学性能是E,为提高刚度，宜选用E 校高的材料注意：各种钢材(或各种铝合金)的E基本相同钢与合金钢：E = (200220)GPa铝 合金：E = (70-72)GPa梁跨度的合理选取ML，例如I缩短20%, 将或少48.8% 度微小改变，将导致挠度显著改变O合理安排约束与加教方式上出= 8/75% &.BWX= 62.5 %31aaun增和约束，制作成好