几种特殊行列式的巧算

1、几种特殊行列式的巧算摘要 ： 在高等代数课程中，n 阶行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论的重要组成部分。计算n 阶行列式的一般方法有：按行（列）展开, 化三角行列式法，降阶法等。对于这些解法，高等代数课本已做了详细介绍，本文重点探索关于三对角，爪型等具有一定特征的行列式的计算，跟几种具有特殊解法的行列式（如范德蒙行列式）计算，突出一个“巧”字，从而提高解题速度。关键词 ： “三对角”行列式 分离线性因子法 “爪型”行列式 范德蒙行列式等 .引言：n 阶行列式alla21a12a22an1an2IIIIII4 bQIIIa1na2niann是所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积aijia

2、2j2|”anjn的代数和，其中jj川jn是个n阶排列，每个项 却为2111anjn前面带有正负号.当ji上2川jn是偶排列时，项3ij1a2j2|anjn前面带有正号，当jijzllljn是奇排列时，项如1a2j"anjn前面带有负号.即aila21*ania12 I l|a22 IM>ban2 HIa1na2nann( j1j2”| jn )-( -1)a1j1a2j21M anjn.。山川jn)这里工表示对所有的n阶排行求和.(j1 j2|，jn)行列式的计算是高等代数的一个重要内容，同时也是在工程应用中具有很高价值的数 学工具，本文针对行列式的几种特殊类型，给出了每一种

3、类型特殊的计算方法，具体如下:一三对角行列式的计算 a +b ab a +b0 b形如 Dn =00000aa bm00a + b ab a +b的行列式称为“三对角”行列式.该类行列式的计算方法有：猜想法 列式.递推法，差分法.下面我们首先用猜想法来解一下这个行当a #b时a0000ba +ba 000ba +b00Dn =(a +b)Dn二-bmmm+-000a +ba000ba + b=(a b)Dn,-abDn"即有递推关系式 Dn =(a+b)DnabDm ,为了得到Dn的表达式，可先设a#b,采用以下的归纳法DiD2D3aa +b333二(a b)2 -ab = a2 b

4、2 ab =a - b4 b4二(a b)3 - 2ab(a b):a - b由此我们可以猜想下面用数学归纳法对上面的猜想进行证明.当n=1时上式显然成立.假设当阶数小于 n时公式成立.下面证明当阶数等于 n时也成立.Dn =(a b)Dn-abDn/ =(a b)n nn n1 ni n1a - b a - b a - bab二a - ba - b a - bn 1 nJ所以由数学归纳法可知Dn =-一些一a -b2a a 0a 2a a0 a 2aDn =：:2a aa 2a210030 - 10240 00.3 .nn -10注：猜想法证明行列式,=(n 1)an.0 00 00 0ma

5、2 11 2分两步进行，第一步是猜想出行列式的值，第二步是证明猜想的正由此看出用猜想法解这类型行列式并不简单.下面给出一种15妙的算法：差分法.解：由 Dn = (a +b)Dn_ abDn2,令 p = a + b,q = -ab .由特征方程x2 px q = 0得两特征根为：x1=a,x2=b.当a f b时则 D (a b)2 - ab - b(a b)bn-(a b)2 - ab - a(a b) bnJ anJ - bnJ a - ba - b当a =b时则 Dn = (n -1)(a b) -(n -2)a(a b) bn'.由此看出解三对角行列式用差分法比用猜想法更简单

6、快捷，因此我们在今后的计算中 一定要很好的掌握这种方法.二分离线性因子法因行列式的结果其实就是一个数，若其中含有字母或是未知数，也就是一个多项式，而多项式与方程则是紧密相连的。以下来介绍用方程的解的方法来计算行列式-分离线性因子法.这种方法是把行列式 Df成关于某一字母a的多项式，然后对行列式实行某些变换,g(a)只相差一个常数因子 k,由多k的值，从而得解，对于含有n个变求出f (a)的互素的线性因式，使f (a)与这些线性因式之积项式相等的定义，比较f(a)与g(a)的某一项的系数，求出量的行列式也可作类似处理.下面给出一个例子:例1计算abD = cdb c d a d c dab c

7、b a解：把Df成关于a的4次多项式，令D=f(a).因为cb=(a+b+c+d)bc1 1 1 a d c dab c b a所以(a+b+c+d) | f (a),同理(a+b-c-d ) | f (a),(a+c-b-d ) | f (a), (a+d-b-c ) | f (a).: f (a) =k (a+b+c+d) (a+b-c-d ) (a+c-b-d ) (a+d-b-c )一 4又a的系数为1,所以k=1.（未完：对于含有n个变量的行列）各行（列）元素相等行列式的计算a1 +ba2a3anana1a2 +ba3anana1a2a3 +b ananDn =a-a+- a1a2a

8、3an+bana1a2a3anan +b对于各行（列）元素相等行列式的计算，在高等代数课本中已经给出了化三角形这种解 法，下面给出它的解答过程：n将行列式的第i （2 <i <n）列加到第1列上，然后把b+Z ai提取出来，并把第1列的i 1-1倍加到第i （2 Wi Wn）行上可得:nb - 二：aii 1nb ，aii 1nb 一 .二 aii 1nb ' aii 1nb -二 aii 1a?a3a2 ba3a?a3 baaa2a3an J anan J anan J ananbana2a3anan +b1a20 ba30bm0 0anan0000iab00bn=bn

9、1(b - 二：a).i 1这是一种常规的做法，这里不再做更进一步的研究，下面给出另一种解法：加边法这种方法是把n阶行列式适当的添加一行一列，得到一个其值不变的并易求出的 n+1阶行列式.这种方法表面上看起来把问题复杂化了，但只要加边加的巧妙，反而会有意想不 到的效果.行列式的加边法是为了将行列式降阶作准备的， 更有利于将行列式化成上三 角的形式，其加边的元素，也可根据计算的难易程度来确定，具有随意性.1 aa?anan1a1a?anan0 a1 +ba? anan1 b 0 000 a1a? +b anan10 b 00mma+maaaa+aa0a1a?an_1 +b an-100b 00a

10、1a? an an+b100 0 b< n）行乘以Dnai 1-, 一-q加到第1行，可得到:b将行列式的第i(2-1ADnb-1-1= bn,aib).-1 -1司+ba?a3an_Lana1a? +ba3anana1aa?aa3 +b * *anana1a?a3an+ban, a1a?a3anan +b我们还可以利用矩阵行列式公式来求解这类型题:令矩阵A则可得:a?a3an 4an I-11a?a3an 4anA =bEa?a3an 4anbEna?a3anana?a3an 4ana?a3an 4an= bEn Bn£ n其中Bn11” C1 却a1a?a3amanDnbE

11、n +BC= bn4b+CB又 CB = aia2 a3n二可得：Dn =bn,(£ ai +b).i 1问题推广:当上面的行列式的主对角线上的元素为Xi, X2，Xn，n个任意数，可得一般的行列式:anananananJanmmXn1ananJ.XnXia2a3aX2a3aa2X3333aia2a3aia2a3卜面我们用加边法进行计算。1a1a20Xia20a1X2mem0a1a20a1a2an 4anan 4anananmm1aa2an-1X1 - a10 -0-10X2 a2-09-+9-a一-100-Xn4 -an-1000Xn 1a nan 1Xnn 1anXn - ann

12、1+2i 4aixi - aia1a2.ananX一 a100009x2 a2十.0a0a00一 ,xnd. 一an000.0xn annnI(xi -n ai) -n i W(xi -ai) +ainn jw j#(xj -aj )n特别地，当 xi =ai +b(i = 1,2,，n)时，Dn = bn, ai +b).i 1关于各行(列)元素相等行列式的计算， 还有递推法、归纳法和利用矩阵特征值与行列 式的关系这些方法，这里就不一一列举了.四范德蒙行列式的另一种计算首先来证明一下范德蒙行列式的标准形式：111 1a1a2a3 -an J2222a1a2a3an J-*-a-n 2n 2n

13、 2n-2a1a2a?an Jn 1nnna1a2a?an2ann 4ann _2 anan口 (aj14 jqai) -1(n _ .：)=2 时，V2(a1,a2) =1=(a2 - a)结论成立a2n-3a1,a2，anq因此假设对n-1结论成立,即丫口/为色,an,)= a。1-£i j 勿作辅助行列式11111a1a2a3-an 二x22222a1a2a?an 二xf(x)=-aa*a-n -2n-2n -2n-2n-2a1a2a3an -4xn -1n -4n 1n 二n -a1a2a3an 二x不难看出，f (x)是一个n-1次多项式，并且它是n-1个根：f(x) =k

14、(xa1 lxa2(xan)，其中k为待定常数。由于k为xn的系数，而由(1)式可知x"的系数为Vn-i(a1，a2,an),所以f(x) Vnd(ai,a2, ,anj) (x-a1)(x - a2)(x - an),又 Vn ai,a2, an = f an所以Vna1,a2,anj,annja1,a2anjan-aan -a2ann >2)=i.i 洱 - a1j in卜面着重分析一种特殊的适当加边以后可化为范德蒙行列式的行列式:11111x1x2x3Xnxn22222Xx2乂3xnxn-a+- *»» n _2n_2n _2n_2n_2x1x2x3x

15、nxnnnn一nnx1x2x3x”xnDn分析：该行列式跟范德蒙行列式十分相似，其哥指数是从上到下依次递增，但少了一个x尸,若加上x：的行，则哥指是从1到n+1,再加上相应的一列，则所求行列式能够化为范德蒙行列式计算.解：考察n +1阶范德蒙行列式f(x)=x22x 2IHIH情u(x K)(x x2)(x-xn) 11(xi -为)1 _j :臼n 1x 1nx 1n 1x 2nx 2n 1x nnx nn 4xnx显然D就是行列式f (x)中元素xn的余子式Mn.n41,即Dn =Mn,n(An,n 中为代数余子式)又由f (x)的表达式(及根与系数的关系)知， f (x)中xn，的系数为

16、-(x & III xn) "(x -xj).1：i _o即，An,n 1 =-(，. x2 III xn) 口(为-乂上)1：i_nDn =(% “2 I。xn)【( -xj)1 二j :i 9卜面再看一类型可化为范德蒙行列式来计算的特殊的行列式:11III1221n2x 1 x 2 III x nIIIIIIIIIIIIxn1xn2IIIxnn解：考虑n +1级范德蒙行列式1 出 1 1g(x)=x12x1x2IIIxn x2I1,22x 2 III x n x=(xx1)(x x2)(x xn) 口(Xxj)< 1<<<n 1 n nn x 2

17、川 x n x nnnx 2 HI x n x显然Dn就是行列式g(x)中元素的余子式 M2,n书，即Dn =M2,n1=(-1严A2,n-由f(x)的表达式知，x的系数为-仪2乂3 |收 32 1收 1|1 22川 x) | (xi - xj )1J :i 削即A2,n + f (x)x-(x2x3 |xn + 22 I I 乂 + 川 + 为乂? | I | 乂口)+ 口(为 一乂上)1打Dn =(-1)2乂3 |心 中2山4 | 中2中、)1【(xi - xj)1 J :i _n五爪型”行列式的计算a011111al0 00其中 ai =0(i =1,2, n)._ 10a200Dn +

18、 = ：:*.:100an01000 an(化三角法)n 1ao111i坦ai0a100Dn4=00 a2 00nn /- 10 =口 aj(a0 -Z ):j二y ai000an0000六 其它行列式的计算（修改中）九 a ab 口 Pb P aDn =：:b p pb p p解法1 (降阶法)aaPPPP990(PPa将第2行以后的各行都减去最后一行，然后将第2列以后和各列都加到最后一列得:儿aa0a -P000a -PDn =:：:000-bPP-aaa0aP0i00a-P-000bPP-:-000:-000:-333000PPPaa0P-a0P-a99a -PP-aPaa(n -1)a

19、0o0oaaa - PoP a+(n2)P000000am二-：0-，二(n-2)1(-1)n 1ba a a a -P 00 -二 0 0 aa +0000a (n-1)a0000aa000. 0 I-0-t.(： - -)n： (n-2) - (-1)n 1(-1)1 (nJ)(n-1)ab(： - -)n-(：-)n a (n -2)-(n -1)ab.解法2 (化三角法) P 当ct ¥0时先用乘第一行后加到其余各行，继续用 aah -.-ab一x 乘各列后都加到第1列 a（二-）得：Dn(n -1)(ab -,4 )PaC£ - P0(n-1)(ab-'-

20、)(一)n -1二（：-）n/la （n-2）'.!-' （n-1）abl.解法3 （利用拉普拉斯定理）从第3行起以后每一行都加上第 2行的-1倍可得到:AaaaabaPPP0P -CLa - P00Dn =0P -a0a - P00P _a00a _(n -1)a1a1：10" . F, '*ma+100100a - P0九 (n -1)a:b 久十(n 2)P00PP00ma式.'00”000a-P00a+ss00( p000 久-P=(-)n.-： (n 一2).；, (n -1)ab.行列式的计算方法是多种多样的 ，在计算时往往要根据彳T列式自

21、身的特点，选择适当的方法进行计算，而且不仅仅局限于某一种方法，有时是多种方法的综合应用.参考文献1李师正.高等代数解题方法与技巧M, 高等教育出版社，20042许甫华，张贤科.高等代数解题方法M.清华大学出版社，20013向世斌.荆门职业技术学报第 18卷第3期J.荆门职业技术学院出版社，20054李桂荣，孙杰.德州师专学报第13卷第2期Comprehensive exposition the computing method of determinantAbstract This article embarks from the characteristic of the "n&q

22、uot; step determinant, according to the distributed situation of the determinant element. It studies the method of opposite angle" determinant, “ thfingernail determinant, each line(row) element and equal determinant ,other dements are the same besides principal diagonal determinant and so on . At the same time, it