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文档简介

1、向量的概念与运算 本周教学内容: 1. 向量的概念; 2. 向量的运算(加法、减法、数乘). 学习要求: 1. 理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念; 2. 掌握向量的加法与减法; 3. 掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件; 4. 了解平面向量的基本定理 . 教学重难点: 1. 向量的概念,相等向量的概念,向量的几何表示; 2. 对向量的加法和减法的定义的理解; 3. 实数与向量的积的定义、运算律,向量共线的充要条件 知识要点: 一、向量的概念 1. 向量的基本概念: 向量:既有大小、又有方向的量 向量的二要素:大小、方向 . 有些向量与起点有关,如位移、力等,有

2、些向量与起点无关,如速度等 叫做自由向量,数学中所谈及向量如无特别说明,均指自由向量 . 2. 向量的表示:(1)几何表示法:用有向线段的长度表示向量的大小,箭头的方向表示向量 的方向;(2)字母表示法:用有向线段的起点和终点,起点在前,终点在后,或者用英文小写字 沖于十 母,并在字母上加箭头表示,如 d :人1 -等. 注意:手写体均需要加箭头 .打印字体中向量一般用黑体来表示 . 3. 向量的相关概念: 零向量:模为零的向量叫做零向量,规定:零向量的方向是任意的 单位向量:模为一个单位长度的向量叫做单位向量 相等向量:大小相等且方向相同的向量叫做相等向量,若与起点无关的向量 模:向量的大小

3、称为模 ABJ 相等,则记为.-?,规定: 的模分别记为 零向量和零向量相等,即 - I . 相反向量:大小相等且方向相反的向量叫做相反向量, 的相反向量是零向量,即 -. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,若 由于数学中所研究向量与起点无关,于是可以将平行向量平移到同一条直线上,于是平 行向量又叫做共线向量.规定:零向量和任意向量平行 注:(1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小; 平行向量的定义中 非零”限制; 相等向量、相反向量、平行向量 (共线向量)的定义都有 规定” A、B、C、D四点是可以共线的,但 AB II CD成立时,A、B、C、D四点是不可以

4、共线的 、向量的加法与减法 加 法 定 义 : Tp. = (三角形法 则) 注:需要明确一个向量的起点是另一个向量的终点 减法定义:- a+(-b) 说明:1.加法、减法的结果依然是一个向量; 2.若乳祈共践,则a+bfa-Hfi方向与焉弥同问也+E刚+|E 若- - 儿匚一 - - 口 .! - A的相反向量记为-!.规定:零向量 平行,则记为 (4)向量中的平行与平面几何中的平行含义不完全相同,尤其要注意到不同: AB/CD 时, 若乳皈觥若申悅则a + fea同向,且|a+bHa|-|b|; 若同硕 则枝+狷洞咼fi|a+b|=|b|-|a| 3. 运算律 + + 芾 加法交换律:-:

5、(由此可得岀平行四边形法则 ) 结合律: 注:平行四边形法则作图求和时,两个向量的起点应该相同; P 片 申 常用结论 _ 一 特征是首尾相连. 4 十 减法:- - 三、实数与向量的乘积(数乘) 1. 定义I :从模、方向两个方面理解。 模: (2)方向:当 九丸吋.需与菊向;当九4时;与赢向;当日吋,需 需要明 确的记住:实数与向量的乘法结果是一个向量。 2. 运算律 九(曲)二A(a + b)二加 + Xb;(丸+y)a = la + |ia. 3. 向量共线的充要条件 若非零決线 O 存在惟一的一个实数入使得二加若T -I . -; 注:非零条件不可去掉;因为如果. .,则存在无数个实

6、数满足条件;若f I, 则不存在实数满足条件;(2)书中的解释没有明确说明实数 】的惟一性。 4. 平面向量基本定理 设是平面内不共线的两个向量, 那么对于该平面内的任意一个向量 -有且只有一对实 不共线的向量一 一叫做表示这一平面向量的一组基底 说明:, 切匕二奉F - m (2)表示一个平面的基底有无数组 例题: 例1.判断真假 单位向量都相等; 向量的模都是正实数; 共线向量一定在同一条直线上;(3)在给定的基底的前提下,平面的向量与实数对 与-一厂二|曹 的向量有 24 个, 若止一- _二二匚_F二; 若ABCD是平行四边形,则 解析:错,向量相等应该是大小和方向都相等;单位向量只是

7、规定了大小为 1,方向可以 不同; 错,向量的模是指向量的大小,零向量的模为 0,不是正实数; 错,共线向量是指可以平移到同一条直线上的向量,如平行四边形 ABCD中, AB = DC 但屁 DC 不在同一条直线上; 对;错,丄的方向不相同. 例2.如图是4X3的矩形(每个方格都是单位正方形 ),在起点与终点都在小方格的顶点处的 向量中,试问:与-二二相等的向量有几个(不含一-!: ) ?与 忑平行且模幷忑 的向量有几个?与 廊向且模梆 有几个? 错,如图, AB = m 成立,但 AB II CD不成立; 与-一厂二|曹 的向量有 24 个, 解析:与-相等的向量有5个, 与!卜同向且模为

8、拓有2个或 例 3.化简 FT 1| 解:法一- 上:- 1 讣 1 =(AC-ABH(DB-DC)=BC+CB=6. 法 二 (AC+DB)-(AB+DQ = (AO+OC+DO+OB)-(AO+OB + DO+OC) = 6. 注意:向量的加、减、数乘运算的最后结果都是向量,因此不可写作 0. 例4.如图,已知 ABC三边中点为 D、E、F,求证: AD + BE+CF = O 证明:因为D、E、F为中点, 所以:一 - I - _ 一 _ 一一丨 - 二(AB+BC + CA)+(BD+CE+AF) 十 I j 1 * 二 O+JBC+CA+AB) = O 发展:G ABC重心 GA+G

9、B+GC = O. + 斗 例5.如图,在 AOB中,丄一 :. _ , BE: EA=1 : 2, F是OA中点,线段 0E与 BF交于点G,试用基底表示:(1) it; (2) _;(3)】J . 一. . . 1. 1 . 一. 9- 1 一. 1+ 2 - 解 (!) - - h Hk -I- 2. C 提示: 1L 一 - -1 - - k 1 - - 3. A提示:显然kO,所以1 k 4. D 提示:A , B , C 共线则匕一1 一 - _ I 一- : - _ 所以-一 I - -匚,贝0 m=1-k , n=k. 5. 丄 i-r.- : r . -W -. 十- 6.

10、二 二 8. 1提示:2x-y=5 , 4=x-2y,得x=2 , y=-1.向量的概念与运算 本周教学内容: 1. 向量的概念; 相反向量:大小相等且方向相反的向量叫做相反向量, I的相反向量记为 -!.规定:零向量 2. 向量的运算(加法、减法、数乘). 学习要求: 1. 理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念; 2. 掌握向量的加法与减法; 3. 掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件; 4. 了解平面向量的基本定理 . 教学重难点: 1. 向量的概念,相等向量的概念,向量的几何表示; 2. 对向量的加法和减法的定义的理解; 3. 实数与向量的积的定义、运算律,向

11、量共线的充要条件 知识要点: 一、向量的概念 1. 向量的基本概念: 向量:既有大小、又有方向的量 向量的二要素:大小、方向 . 有些向量与起点有关,如位移、力等,有些向量与起点无关,如速度等 .与起点无关的向量 叫做自由向量,数学中所谈及向量如无特别说明,均指自由向量 2. 向量的表示:(1)几何表示法:用有向线段的长度表示向量的大小,箭头的方向表示向量 的方向;(2)字母表示法:用有向线段的起点和终点,起点在前,终点在后,或者用英文小写字 母,并在字母上加箭头表示,如 二卜 等. 注意:手写体均需要加箭头 .打印字体中向量一般用黑体来表示 . 3. 向量的相关概念: 模:向量的大小称为模

12、零向量:模为零的向量叫做零向量,规定:零向量的方向是任意的 单位向量:模为一个单位长度的向量叫做单位向量 相等向量:大小相等且方向相同的向量叫做相等向量,若 丁 + 零向量和零向量相等,即 一 I. 一、相等,则记为-,规定: 的模分别记为 的相反向量是零向量,即 -口 0 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,若 J平行,则记为 一:.由于数学中所研究向量与起点无关,于是可以将平行向量平移到同一条直线上,于是平 行向量又叫做共线向量.规定:零向量和任意向量平行 注:(1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小; (2) 平行向量的定义中 非零”限制; (3) 相等向量

13、、相反向量、平行向量 (共线向量)的定义都有 规定” (4) 向量中的平行与平面几何中的平行含义不完全相同,尤其要注意到不同: 九三CZ1时, A、B、C、D四点是可以共线的,但 AB II CD成立时,A、B、C、D四点是不可以共线的。 二、向量的加法与减法 加 法 定 义 : 丁八|-乔订 三角形法 则) 注:需要明确一个向量的起点是另一个向量的终点 减法定义:- -b-a+(-b) 说明:1.加法、减法的结果依然是一个向量; 2.若直祈共线,则a+bfa-HKl方冋与雪弥同问,|a+b|a|+|b 若- - L ?7 - -I 口. 若:皈向,若訥环贝iJa + fea同向,且|a+bH

14、a|-|b|; S|aj 记创=(X1, yi) , OB =(x 2, y2) 1 则 OAOB =(x 1+X2, yi+y2) OB-OA=( (X 2-x i, y2-y i) llr 4 他+屈=0B 实数与向量 的乘积 A讨 = Xa 毗R T 记。=(x, y) 则iy) 两个向量的 数量积 4 记迄二(知刃3=(勺”) 则 b =xiX2+yiy2 2. 运算律亦 加法: - 一.(交换律);A - (结合律) 实数与向量的乘积: f + 峠 + f f ! f f . - - J ; .J.-.1.; d,”r 两个向量的数量积: TTTT 彳 TT T TT TTTT :

15、. ;(!-.): =一. ()=(_. * 即若A(x,y),则丄=(x,y);当向量起点不在原点时,向量 丄坐标为终点坐标 减去起点坐标,即 若 A(xi,yi), B(X2,y2),则人=(x 2-x 1,y2-y 1) (2)两个向量平行的充要条件 符号语言: allba = 或 xiy2-X2yi=0. (3)两个向量垂直的充要条件 今 T 符号语言:嘤 1 i dt- i = 0 坐标语言:设非零向量 ll.!,则一 (4)两个向量数量积的重要性质: - :11 (垂直的判断); 四、规律方法指导 1. 向量的线性运算 (1) 在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算,将数和形 有机结坐标语言为:设非零向量 :则 _./; (xi, yi)= (X2, y2), (求角度). b -I 即 合,并能 利用向量运算完成简单的几何证明; (2) 向量的加法表示两个向量可以合成,利用它可以解决有关平面几何中的问题,减法 的三角形法则应 记住:连接两端(两向量的终点),指向被减(箭头指向被减数)记清法则是灵活运用 的前提 2. 共线向量与三点共线问题蠢 向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的线上或两直线

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