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1、.赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法山东 张吉林(山东省莱州五中 邮编261423)等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一,其公式:当时, 或 当q=1时,本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想,而且用以推导等比数列前n项和公式的方法-错位相减法,更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维,从不同的角度加以推导,以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。一般地,设等比数列它的前n项和是公式的推导方法一:当时,由得 当时, 或 当q=1时,当已知, q, n 时常用公式;当已知, q, 时,常用公式.拓展延伸:若是等差数列,是等比数列,对形如的数列,可以用错
2、位相减法求和。例题 数列的前项和,则的表达式为()ABCD解析:由,可得,得,故选(D)点评:这个脱胎于课本中等比数列前项公式推导方法的求和法,是高考中命题率很高的地方,应予以高度的重视。公式的推导方法二:当时,由等比数列的定义得,根据等比的性质,有即 当时, 或 当q=1时,该推导方法围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比的性质,导出了公式,给我们以耳目一新的另类感觉。导后反思:定义是基础,深刻理解定义,灵活地运用好定义,往往能得到一些很有价值的结论和规律。例如等比数列的一个常用性质:已知数列是等比数列(),是其前n项的和,则,仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程:证明一
3、:(1)当q=1时,结论显然成立;(2)当q1时, =成等比数列.这一过程也可如下证明:证明二:=同理,= 成等比数列。对比以上两种证明过程,我们不难看出,利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到很简捷的效果。公式的推导方法三: 当时, 或 当q=1时, “方程”在代数课程里占有重要的地位,是应用十分广泛的一种数学思想,在数列一章的公式考察中常利用方程思想构造方程(或方程组),在已知量和未知量之间搭起桥梁,来求解基本量,使问题得到解决。这种推导方法正是运用了该思想,使我们的思维不拘泥于书本。. 以上三种推导方法,从不同的思维角度切入等比数列前n项和的表达式,着眼点不同,侧重点各异,从而在推导方法的运用上也各有千秋,推导方法一注重补因子后错位相减;推导方法二则侧重于前n项的和式与定义式的联系;而推导方法三则是构造了间的递推关系式,充分利用了和首项及公比之间
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