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文档简介
1、江苏省泰州市2016届高三上学期期末考试数学试题(考试时间:120分钟 总分:160分)命题人:朱占奎 张圣官 张 俊 吴春胜审题人:吴卫东 唐咸胜注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上)1已知集合,集合,则 (第2题)2如图,在复平面内,点对应的复数为,若(为虚数单位),则 3在平面直角坐标系中,双曲线的实轴长为(第5题) 4某校共有教师200人,男学生800人,女学生600人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本,已知从男学生中抽取的人数为100人,那么 5执行如
2、图所示的伪代码,当输入的值分别为时,最后输出的的值为 6甲乙两人下棋,若甲获胜的的概率为,甲乙下成和棋的概率为,则乙不输棋的概率为 7已知直线与圆相交于两点,若,则 8若命题“存在”为假命题,则实数的取值范围是 9(第9题)如图,长方体中,为的中点,三棱锥的体积为,四棱锥的体积为,则的值为 10已知公差为的等差数列及公比为的等比数列满足,则的取值范围是 11设是上的奇函数,当时,记,则数列的前项和为 12在平面直角坐标系中,已知点分别为轴,轴上一点,且,若点,则的取值范围是 13若正实数满足,则的最大值为 14已知函数(其中为常数,),若实数满足:,则的值为 二、解答题:(本大题共6小题,共9
3、0分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15(本题满分14分)在中,角的对边分别为,向量(1)若,求证:;(2)若,,求的值16(本题满分14分)如图,在三棱锥中,点,分别为,的中点(1)求证:直线平面;(2)求证:17(本题满分14分) 一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成,米,如图所示小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后,经弹射器以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内,落点记为设弧度,小球从到所需时间为(1)试将表示为的函数,并写出定义域;(2)求时间最短时的值 18(本题满分16分) 已知数列满足,其中是数列的前项和 (1)若数列是首项为,公比为的等比数列,求数列
4、的通项公式;(2)若,求数列的通项公式;(3)在(2)的条件下,设,求证:数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积19(本题满分16分) 如图,在平面直角坐标系中, 已知圆,椭圆, 为椭圆右顶点过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点,直线与圆的另一交点为,直线与圆的另一交点为,其中设直线的斜率分别为(1)求的值;(2)记直线的斜率分别为,是否存在常数,使得?若存在,求值;若不存在,说明理由;(3)求证:直线必过点20(本题满分16分) 已知函数,(1) 若,求证:()在的单调减区间上也单调递减;()在上恰有两个零点;(2) 若,记的两个零点为,求证:数学试题(附加题)(考试时间:120分
5、钟 总分:160分)命题人:朱占奎 张圣官 张 俊 吴春胜 审题人:吴卫东 唐咸胜21.【选做题】请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答.如果多做,按所做的前两题记分.A(几何证明选讲,本题满分10分) 如图,圆是的外接圆,点是劣弧的中点,连结并延长,与以为切点的切线交于点,求证:.B(矩阵与变换,本题满分10分)已知矩阵的一个特征值为,求.C(坐标系与参数方程,本题满分10分) 在平面直角坐标系中,已知直线与椭圆的一条准线的交点位于轴上,求实数的值.D(不等式选讲,本题满分10分) 已知正实数满足,求证:.22【必做题】(本题满分10分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC = 3
6、,BC = 4,AB = 5,AA1 = 4 (1)设,异面直线AC1与CD所成角的余弦值为,求的值;(2)若点D是AB的中点,求二面角DCB1B的余弦值23. 【必做题】(本题满分10分) 已知,若存在互不相等的正整数,使得同时小于,则记为满足条件的的最大值() 求的值;() 对于给定的正整数,()当时,求的解析式;()当时,求的解析式参考答案一、填空题1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13 ; 14. 二、解答题15. 证明:(1)因为,所以,所以. 7分(2)因为,所以,即,因为,所以,又,所以,则,12分所以. 14分16. 证明(1)点,分
7、别为,的中点,又平面,平面,直线平面 6分(),又,在平面内,平面, 8分平面,为的中点,在平面内,平面, 12分平面, 14分17. 解:(1)过作于,则,所以,7分(写错定义域扣1分)(2),9分记,-0+故当时,时间最短 14分18. 解:(1)因为, , 2分所以4分(2)若,则,两式相减得,即,当时,两式相减得,即, 8分又由,得,所以数列是首项为,公差为的等差数列, 故数列的通项公式是10分(3)由(2)得 ,对于给定的,若存在,使得,只需, 即,即,则, 12分取,则, 对数列中的任意一项,都存在和使得 16分19解:(1)设,则,所以 4分(2)联立得,解得,联立得,解得, 8
8、分所以,所以,故存在常数,使得 10分(3)当直线与轴垂直时,则,所以直线必过点当直线与轴不垂直时,直线方程为:,联立,解得,所以,故直线必过点 16 分(不考虑直线与轴垂直情形扣1分)20. 证:(1)因为,所以,由得的递减区间为, 2 分当时,所以在的递减区间上也递减 4 分(2)解1:,因为,由得,令,则,因为,且,所以必有两个异号的零点,记正零点为,则时,单调递减;时,单调递增,若在上恰有两个零点,则, 7 分由得,所以,又因为对称轴为所以,所以,所以,又,设中的较大数为,则, 故在上恰有两个零点 10 分解2:,因为,由得,令,若在上恰有两个零点,则在上恰有两个零点,当时, 由得,此
9、时在上只有一个零点,不合题意;当时,由得, 7 分令,则,当时,单调递增,且由值域知值域为;当时,单调递增,且,由值域知值域为;因为,所以,而与有两个交点,所以在上恰有两个零点 10 分(3)解1:由(2)知,对于在上恰有两个零点,不妨设,又因为,所以,12 分又因为,所以,所以 16 分解2:由(2)知,因为时,单调递增,所以,12 分当时,单调递增,所以,所以 16 分附加题参考答案21.A证明:连结,因为为圆的切线,所以, 又是公共角,所以, 5分所以 , 因为点是劣弧的中点,所以,即. 10分21.B. 解:代入,得 矩阵 5分 10分21.C. 解:直线:, 椭圆:, 5分准线: 由
10、得, 10分21.D.证明:因为正实数满足, 所以,即, 5分 所以因此, 10分22. 解:()由AC = 3,BC = 4,AB = 5得分以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则(3,0,0),(0,0,4),B(0,4,0),设D(x,y,z),则由得,而,根据解得,或分(),可取平面的一个法向量为;分而平面的一个法向量为,并且与二面角DCB1B相等,所以二面角DCB1B的余弦值为分(第()题中少一解扣分;没有交代建立直角坐标系过程扣1分第()题如果结果相差符号扣分)23. 解:(1)由题意,取,满足题意,若,则必有,不满足题意,综上所述:的最大值为,即 4分()由题意,当时,设,显然,时,满足,从集合中选出的至多个, 时,从集合中选出的必不相邻,又从集合中
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