2020高三数学一轮复习(人教版理)：双曲线

1、第六节双曲线 2019 考纲考题考情 |基础期t械知识必备根慕 JICHLTWKISHiUI-l - 1.双曲线的概念 平面内到两定点 Fi, F2的距离之差的绝对值等于常数(大于 零且小于IF1F2I)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫焦距。 集合 P=M|MFi|MF2|= 2a, IF1F2E2c,其中 a、c 为常 数且 a0, c0。 (1) 当 av c 时，M 点的轨迹是双曲线。 (2) 当 ac 时，M 点的轨迹是两条射线。 (3) 当 ac 时，M 点不存在。 2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 1 2 x_ y_ 1 a2 b2= 1

2、 (a0, b0) 2 27 y x 孑产1 (a0, b0) 图形 y k 耳 / / il / jr j| * / f 恥 1. 了辭甌址的定込几何阳毎和标療方 园.却迹施简帼的儿Htl( (ftW, a 或 x a a, y R 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标： Ai(- a,0), A2(a,0) 顶点坐标： AdO, a), A?(0, a) 渐近线 y= bx y=x 离心率 e= C, e (1 ,+x)，其中 c=pa2 + b2 a 性质 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长 lAAE2a；线段 B1B2叫做双

3、曲线的虚 轴，它的长 B1B2匸 2b; a叫做双曲线的 实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 常记结论 1. 双曲线定义的四点辨析 (1) 当 02a|FiF21 时，动点的轨迹不存在。 2 2 2. 方程 m_ n = i(mno)表示的曲线 (1)当 m0, n0 时，表示焦点在 x轴上的双曲线。 当 m0, n2，故|PF2|= 6。 答案 6 2 2 2. （选修 2 1P6i练习 T3改编）以椭圆乡+二=1 的焦点为顶 点，顶点为焦点的双曲线方程为 _ 。 2 2 解析 设要求的双曲线方程为 字一存=1（a0, b0），由椭圆 2 2 4+3 = 1,得焦点为（,0），顶点为（,0）

4、。所以双曲线的顶点为 （ , 0），焦点为（,0）。所以 a= 1, c= 2，所以 b2= c2 a2= 3,所以双曲线标准方程为 x - 3 = 1 o 答案 x2- y3=1 二、走近高考 + 1 = 4,所以 c= 2,故焦点坐标为(-2,0), (2,0)。 答案 B x2 4. (2018 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线匸 a 2 (3 汁=1(a0, b0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近线的距离为 呉，则 其离心率的值是 解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为 b= yc,所以 b2= c2- a2 = 4c2,得 c= 2a,所以双曲 答案 2 2 x y 5

5、. (2017 全国卷山)已知双曲线 C:孑一2= 1(a0, b0)的 3. (2018 浙江高考)双曲线 2 x_ 3 y2= 1 的焦点坐标是( ) (-2, 0), ( 2, 0) (0, - .2), (0, 2) 解析由题可知双曲线的焦点在 B . (- 2,0), (2,0) C. D. (0，- 2)， x 轴上，因为 (0,2) c2= a2 + b2= 3 |bc| = a2+ b2 线的离心率 c e= a = 2。 故选 B。 2 C 的方程为( )一条渐近线方程为 y=x,且与椭圆令+=1 有公共焦点，则 点为(3,0), ( 3,0)，可得 a2+ b2= 9。 由

6、可得 a2= 4, b2 2 2 =5。所以 C 的方程为 4 5 = 1。故选 B。 答案 B 三、走出误区 微提醒：忽视双曲线定义的条件致误； 忽视双曲线焦点 的位置致误。 6. _ 平面内到点 F1(0,4), F2(0, 4)的距离之差等于 6的点 的轨迹是 _ 。 解析 由 PF*|PF2匸 6尸疳2匸 8，得 a= 3, 又 c= 4,则 2 2 b2= c2 a2 = 7 所以所求点的轨迹是双曲线 专=1 的下支。 2 2 答案双曲线弋=1 的下支 7. 坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一 n 条渐近线的倾斜角为 3，则双曲线的离心率为 _ 。 2 2 解析 若双曲

7、线的焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为x2 占 a b b b n x2 y2 A 1 .8 10 2 2 C x_-y_= 1 C. 5 4 1 由y_ 75 卫何 b逅 由 y= 2 x,可得a= 2。 解析 2 2 X- - 1 4 5 2 2 X- y- = 1 4 3 2 2 由椭圆为+二=1 的焦 =1,则渐近线的方程为 y= x,由题意可得b = tann= 3, b= 3 c a,可得 c= 2a,则 e= - = 2;若双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲 a2 2 线的方程为拿一器=1,则渐近线的方程为 y= x,由题意可得 c= 233a，则 e= 233O综上可得 微考点人

8、课堂 2 考点一双曲线的定义及应用 2 2 【例 1】（2019 江西联考）已知双曲线 C: X2-右=1（a0, a D b0）的离心率为 2，左，右焦点分别为 F1, F2,点 A在双曲线 C 上，若 AF1F2的周长为 10a，则 AF1F2的面积为（ ） A. 2 15a2 B. 15a2 C. 30a2 D. 15a2 解析 由双曲线的对称性，不妨设 A 在双曲线的右支上，由 c e= a= 2,得 c= 2a,所以AAF1F2 的周长为 |AF*+ IAF2I+ 尸低|= a |AFi|+ AF2I+ 4a,又AAFiF?的周长为 10a,所以 |AFi|+ IAF2I = 6a,

9、 又因为 |AFi|- |AF2|= 2a，所以 AFi|= 4a, |AF2| = 2a，在 AF1F2 中, |F1F2|= 4a，所以 cos ZF1AF2 =耐+ 吋鬥唧 VT5 1 1 2 =4。所以 sin/F1AF2= 4 ,所以 SmFF2= 2 2 F5 i 2 IAF1I |AF2| sinZF1AF2 = 2 x 4a x 2a x 寸=15a2。故选 B。 =tan= 3, a= 3b，可得 =2 或 e= 3。 答案 2 或穿 2|AFi| |AF2| (4af+( 2a)2(4a)2 1 4 2 x 4a x 2a 2 2 答案 B 双曲线定义的应用主要有两个考查方

10、向： 一是利用定义求双 曲线的标准方程；二是利用双曲线上点 P 与两焦点的距离的差的 绝对值|PFi|PF2|=2a（其中 00) 2 2 B . 4 - y=伦0) 2 2 c. 丁-5 = i(y0) 1(x0) （2）已知 Fi, F2为双曲线 C: x2-y2= 1 的左、右焦点，点 4 5 双曲线定义的应用主要有两个考查方向： 一是利用定义求双 解析（1）由题设知点 P 的轨迹方程是焦点在 x 轴上的双曲 线的右支，设其方程为 2 2 x V y b2= 1(x0, a0b0） ， 由题设知 2 考点二 双曲线的标准方程 【例 2】(1)(2019德州二中模拟)“02”是“方程 n

11、+ 1 表示双曲线”的( A .充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 已知以原点为中心，实轴在 x 轴上的双曲线的一条渐近线 3 方程为 y= ”x,焦点到渐近线的距离为 6，则此双曲线的标准方 程为( A. 2 2 土 工= 64 36= (3) 若双曲线经过点(3, 2),且渐近线方程是 y=x，则双 曲线的标准方程是 _ 。 2 2 解析(1)若方程 一+ = 1 表示双曲线，则(n+ 1)(n n+ 1 n 3 3)0,解得1n3,则 0n2 的范围小于1n3,所以 0vn2” 2 2 “方程+J = 1 表示双曲线” n+ 1 n 3 A。

12、 (2)因为双曲线的一条渐近线方程是 y=4X,所以 b= ?又因C. 的充分不必要条件。故选 9 16 36 64= 为25= 6,所以 c= 10o 因为 c2= a2+ b2,所以 a2= 64, b2= 36。 2 2 所以双曲线方程为 6436= 1。故选 Co x2 (3)设双曲线的方程是 y2 9 = X苗 0)。因为双曲线过点(3, 2)，所以X= 2 9= 1。故双曲线的标准方程为 y2 X = 1。 2 答案 (1)A (2)C (3)y2- X = 1 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲 线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数 a, b, c 的方

13、 程并求出 a, b, c 的值。 2 2 2.与双曲线字一古=1 有相同渐近线时可设所求双曲线方程 2 2 x y_ 为 a2 b2= X 炉 0) o 3.双曲线的焦点到渐近线的距离是 bo 2 2 【变式训练】(1)若实数k满足 0k9，则曲线 25-亡 X2 y2 1 与曲线25k 9 = 1 的( A .离心率相等 C.实半轴长相等 (2)已知焦点在 y轴上的双曲线 C的一条渐近线与直线 I: x + ,3y=0垂直，且 C 的一个焦点到 I的距离为 3,则双曲线 C 的标准方程为( ) 2 Xr i B .虚半轴长相等 D .焦距相等 解析(1)由 0k0, b0)，因为双曲线 C

14、 的一条渐近线与直线 I: x+.3y= 0 垂直，所以双曲线 C 的一条 渐近线为 y= .3x。设双曲线的一个焦点为(0, c)，则其到直线 I 的距离为2=今=3。所以 c= 2 3。由双曲线的一条 W2+(V3)2 2 渐近线为 y=V3x,可知 b=3。因为 a2 + b2= c2,所以 a2 = 9, 2 2 b2=3。故双曲线的标准方程为 y9 3 = 1。 答案(1)D (2)A 考点三 双曲线的简单几何性质 微点小专题 方向 1:双曲线的渐近线 2 【例 3 (2018 全国卷I )已知双曲线 C:专y2= 1, O 为 坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C

15、的两条渐近线的 交点分别为 M, 2 若厶 OMN 为直角三角形，则|MN|=( ) 3 A . B . 3 C. 2 3 D. 4 解析 因为双曲线：3 y2= 1 的渐近线方程为 y= yx,所以zMOF = 30 ZMON = 60 又|OF|= 2,所以 |OM|= |OF| cos/MOF =2cos30=V3,所以 |MN|= |OM| tanzMON =3ta n60 = 3。故选 Bo 答案 B 2 2 2 2 双曲线拿一治=1(a0, b0)的渐近线是令字一*= 0,即得两 渐近线方程= 0o渐近线的斜率也是一个比值， 可类比离心率 a D 的求法解答。 方向 2:双曲线的离

16、心率 2 2 【例 4】(2018 全国卷山)设 Fi, F2是双曲线 C:予一2 = 1(a0, b0)的左，右焦点，O 是坐标原点。过 F2作 C 的一条渐 近线的垂线，垂足为 Po 若|PF1= 6|OP|，贝 y C 的离心率为( ) A. 5 B. C. 32 2 y=ax,则 F2 到 y= ax 的 a a 解析不妨设一条渐近线的方程为 距离 d= rb2c= b,在 Rt F2PO 中，|F20|= c,所以 |PO|= a, 寸 a3 4+ b2 所以 |PFi|= 6a，又|FiO| = c,所以在 FiPO 与 RtA F2PO 中，根 a2 + c2 (V6a)2 a

17、据余弦定理得 cosZPOF 1 = 2aC = COSZPOF2 =- c, 即 3a2 + c2 ( 6a)2= 0,得 3a2 = c2,所以 e=匚=3。故选 C。 a 答案 C 双曲线的离心率 e= a 是一个比值， 故只需根据条件得到关 于 a, b, c 的一个关系式，利用 b2= c a2消去 b,然后变形成 关于 e 的关系式，并且需注意 e1。 方向 3:双曲线几何性质的综合应用 2 2 【例 5】(2019 太原模拟)已知 Fi, F2是双曲线 X2 古= 1(a0, b0)的左、右焦点，过 Fi的直线 I与双曲线的左支交于 点 A,与右支交于点 B,若|AF1|= 2a

18、,/尸閘2 =牛 则 JAB；： C. 解析 如图所示，由双曲线定义可知|AF2| |AF1|= 2a。 2 又|AFi|= 2a，所以 |AF2| = 4a,因为ZFIAF2 = 所以 SFiF? 1 i 3 _ =2IAF1I IAF2I sinZFIAF2=寸 2ax 4aX- = 2 3a2。设 |BF2|= m, 由双曲线定义可知|BFi|-|BF2|= 2a,所以|BFi|= 2a + 甲|,又知 n |BFi| = 2a + |BA|,所以 |BA|= IBF2I。又知/BAF2 = 3，所以 BAF2 为等边三角形，边长为 4a,所以 SABF23|AB|23 x (4a)2

19、SmFiF2_ 2 屆2_ 1 SABF2 43厂 2 答案 B 双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、 标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此 类问题时要注意与平面几何知识的联系。 =4 3a2，所以 故选 B 【题点对应练】 2 2 1. (方向 1)已知双曲线 C:無一*= 1(m0, n0)的离心率 2 2 与椭圆羞+y=i 的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程 25 16 为（） A. 4x3y= 0 B. 3x4y= 0 C. 4x3y= 0 或 3xy= 0 D. 4x5y= 0 或 5x4y= 0 解析 由题意知，椭圆中 a= 5, b= 4

20、,所以椭圆的离心率 e =i-；2=3所以双曲线的离心率为.1+初2=3 所以 m=3, 所以双曲线的渐近线方程为 y= x= x,即 4x3y= 0。故选 A。 答案 A x2 y2 x2 2. （方向 2）已知椭圆 M : a2+ 冷 1（ab0）,双曲线 N:押一 2 *= 1。若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 _ ;双曲线 N 的离心率为 _ 。 解析设椭圆的右焦点为 F（c,0）,双曲线 N 的渐近线与椭圆 I c /3c 1 M 在第一象限内的交点为 A,由题意可知 A , 2丨由点 A在 2 3

21、2 椭圆 M 上得，4 孑+ 4b= 1，所以 b2c2 + 3a2c2= 4a2b2,因为 b2 = a2 - c2，所以（a2 c2）c2 + 3a2c2 = 4a2（a2- c2）, 所以 4a4 8a2c2 + c4 =0，所以 e椭一 8e椭+ 4= 0，所以 e椭=42 , 3，所以 e椭=,3 + 1（舍去）或 e椭=3 1，所以椭圆 M 的离心率为 3 1,因为双 曲线的渐近线过点 A2 今；所以一条渐近线方程为 丫=晶, 所以 m =屈故双曲线的离心率 e双=尸F = 2。 答案 3- 1 2 V5 x5 6 y 3. (方向 3)已知离心率为2的双曲线C：孑含=1(a0,b

22、0) 的左、右焦点分别为 Fi, F2, M 是双曲线 C 的一条渐近线上的 点，且 0M 丄 MF2, O 为坐标原点，若 20MF2= 16,则双曲线 的实轴长是( ) A . 32 B . 16 C. 8 D. 4 解析 由题意知 F2(c,0)，不妨令点 M 在渐近线 y=bx 上， a 5 c 0MF2= 16,可得 2ab= 16,即 ab= 32,又 a2+ b2= c2, ：= 2， 所以 a= 8, b= 4, c= 4 5,所以双曲线 C 的实轴长为 16。故选 Bo 由题意可知 IF2M |= = b,所以 |0M|= :c2 b2 = a。由 SA 弋 a + b2 答

23、案 B 考点四 直线与双曲线的位置关系 【例 6已知双曲线 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上， 离心率e=2，虚轴长为 2。 (1) 求双曲线 C 的标准方程； (2) 若直线 I: y= kx+ m 与曲线 C 相交于 A, B 两点(A, B 均 异于左、右顶点)，且以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶 点 D，求证：直线 I过定点。 2 2 解(1)设双曲线的标准方程为 字一古=1(a0, b0)。 由已知得号=舟,2b= 2, 又 a7 + b2= c2，所以 a= 2, b = 1, x2 所以双曲线的标准方程为 4y2= i。 (2)证明：设 A(xi, yi), B

24、(X2,目2, y= kx+ m, 得(1 4k2)x2 8kmx 4(m2 + 1)= 0, 所以= 64m2k2 + 16(1 4k2)(m2+ 1)0, 8mk 4(m + 1 ) X1 + X2 = 2, X1X2 = 2 , 7 2 所以 y1y2 = (kx1 + m)(kx2 + m) = k X1X2 + mk(x1 + X2)+ m 联立x2 2 4 y = 1, 1 4k2 1 4k2 2 2 m 4k 2。 1 - 4 k2 因为以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D(-2,0), 所以 kAD kBD =- 1 , 所以 yiy2 + X1X2 + 2(xi

25、 + X2)+ 4 = 0, 2 2 2 肿-4k - 4 m + 1 I6mk ., 即 2 + 2 + 2+ 4= 0, 1-4k2 1-4 k2 1-4k2 所以 3m2- 16mk+ 20k2 = 0, 解得 m= 2k 或 m=勒。 当 m= 2k 时，I的方程为 y= k(x+ 2),直线过定点(一 2,0), 与已知矛盾; 经检验符合已知条件。 故直线I过定点- , 0, 研究直线与双曲线位置关系问题的通法： 将直线方程与双曲 线方程联立，消元得关于 x或 y 的一元二次方程。当二次项系数 等于 0 时，直线与双曲线某支相交于一点，这时直线平行于一条10k t z 10、 10

26、、 m= 3 时,的方程为 y= k 込+亍/直线过定点 厂30, 0丿 5 当 即儿乂 = X1 + 2 X2 + 2 -1, 渐近线；当二次项系数不等于 0 时，用判别式来判定。对于中 点弦问题常用“点差法”，但需要检验。 【变式训练】 2 已知双曲线 y2 省=1 与不过原点 0 且不平 行于坐标轴的直线 设直线 l 的斜率为 l 相交于 M, N 两点，线段 MN 的中点为 P, &,直线 OP 的斜率为 k2,贝 U k1k2 =( ) A. B 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 解析 设 Mg yj，N(X2，y2)，P(xo, yo)，则 y1号=1, yi y2 X

27、i + X2 Xo yo 线 i 的斜率 ki= = = 2，又直线OP的斜率 k2=X , Xi X2 2(yi + y2)2yo Xo 所以 kik2= o = 2 故选 A。 2yo Xo 2 答案 A 区教师备用题 2 2 1.(配合例 1 使用)P 是双曲线字一卷=1 上一点，双曲线的 一条渐近线的方程为 3X 2y= o, F1, F2分别是双曲线的左、右 焦点，若 |PF 11= 6,则 |PF2|=( ) A . 9 B . 2 C. 1o D. 2 或 1o 解析 因为双曲线的一条渐近线的方程为 3X 2y= o, 即卩 y =；x,又双曲线的渐近线方程为 y= x,不妨设

28、ao，所以可得2 2 = i,两式相减可得 (yi y2)(yi + y2)= Xi X2 Xl + X2 2 ,所以直 C. 3 D. 4 3 3 a = 2，所以 a= 2。于是，由双曲线的定义得|6|PF2|= 2a = 4, 解得 |PF2匸 2 或|PF2|= 10。又 |PFi|= 6a+ c= 2+13，所以点 P 可能在双曲线的右支上，也可能在左支上，故所求|PF2|= 2 或|PF2| =10 均有可能。故选 D 答案 D 2.（配合例 2 使用）已知双曲线 C 的两个焦点 Fi, F2都在 x 轴上，对称中心为原点 O,离心率为.3。若点 M 在 C 上，且 MFi丄 MF

29、2, M 到原点的距离为 3，则 C 的方程为（ ） 2 2 2 2 X A . 4 - -y = 1 8 1 B y x 1 B . 4 8 = 1 C. X2- 2 _2 =1 2 D. y2乡1 解析 由题意可知， OM 为 RtA MFF2斜边上的中线，所以 1 c |OM|= 2 鬥尸2|= c。由 M 到原点的距离为 3，得 c= 3，又 e= a =3，所以 a = 1,所以 b2= c2 a2= 3 1 = 2。故双曲线 C 的方 2 程为 X2y2 = 1。故选 Co 答案 C 作圆 x2 + y2= a2的切线 FM，切点为 M，交 y 轴于点 P,若 PM = f 6 ?MF，且双曲线的离心率 e=2，则（ ） A . 1 B. 2x2 3.（配合例 4 使用）过双曲线a2 1(a0, b0)的右焦点 F B. C. 于U 17 17 3， 3 丿 TO 迈IU蚯 ， 3 尸 3 ，十丿 解析 如图，|OF|= c, |OM|= a, OM _LPF，所以 |MF| = b, 2 C b c2 c2 IPMI b b 根据射影定理得|PF|= b，所以|PM| =