双曲线中的常见错误剖析

1、双曲线中的常见错误剖析双曲线作为高考的内容之一，由于不能正确理解双曲线的概念，关于双曲线的性质考 虑不全，甚至对于有关双曲线的问题漏掉条件，作图不准确等引起一些不必要的错误。导致在高考中失掉不应该失掉的分， 后悔终生。因此本文关于双曲线解题中常见的错误加以举例说明， 希望对大家有所帮助。一：对于双曲线的概念理解不正确。例如:2双曲线162y1上的点P到点(5, 0)的距离为8.5,求点P到点(一5,0)9的距离。错解；设双曲线的两个焦点分别为F,(-5,0), F2(5,0)，由双曲线的定义知IIPFJPF? =8，所以 |PR =16.5或|PR =0.5剖析：在求解此类问题时，应灵活运用双

2、曲线的定义，分析出P的存在情况，然后在求解。正解：由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,所以PF, =0.5不合题意。因为左顶点到右焦点的距离为9>8.5,所以PF1 =16.5。点评：本题的关键在于如何正确确定点的位置到底在双曲线的哪一支上。二：对于双曲线的概念和渐近线之间的关系理解不全。3例如：已知双曲线的渐近线方程为yx，且实轴长为2,求双曲线的标准方程。22 2错解：由题知a=2,b=3,所以双曲线的标准方程为 一乂 =1。49剖析：在解决此类问题时应首先确定双曲线的焦点位置，实轴，渐近线的概念后求解。正解：当焦点在x轴上时，由题知2a =2,. a =1，又因为-b

3、=-a 222,所以双曲线的标准方程为 X2 -专=1.4当焦点在y轴上时，由题知2a=2,. a=1,又因为亦空=?=b=2 ,5 b 23所以双曲线的标准方程为22 Xy1。y4点评：本题的关键在于正确确定双曲线的标准方程及渐近线的来源。三：对于双曲线本身的范围没有注意。例如：2设双曲线的方程为 x2 y1，求双曲线上的点到点人(2, 0)的最短距离。2错解：2设双曲线上的点卩(x,y)，因为双曲线的方程为 x2 - y1,所以y2_2x2-222 2 所以 PA =(x-2) y 7 -4x 4 2x -2 =3x -4x 2=3(x)-33所以当X=时，PA取得最小值6。33剖析：解决

4、此类问题在于关于双曲线的性质掌握不熟，忘记了双曲线的范围。正解：2设双曲线上的点卩(x,y),因为双曲线的方程为 x2-上1，所以y2=2x2-222 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 PA =(x -2)y =x-4x 4 2x -2 =3x 4x 2=3(x)332因为x = L 1 _ 1，所以当x=1时，PA取得最小值 1。2点评： 四：对本题的关键在于正确理解双曲线的标准方程中变量的范围。1于双曲线的渐近线的特点不能正确理解。例4:2 2已知直线y=kx-1与双曲线x -y =1有且仅有一个公共点，求 k的值。错解：r 22.丄xy=122由 <二(1k2)x2+2kx 2

5、 = 0卜=kx_1因为直线和双曲线有且仅有一个公共点，所以 = (2k)2+8(1 k2)=0n k = ±J2。剖析：解决该题利用了判别式来确定公共点的个数，它的前提条件是二次方程即1 - k2式0所以上面的解题漏掉1 -k2式0这一情况。正解：2 _ 1由x y二(1k2)x2+2kx 2 = 0因为直线和双曲线有且仅有一个公共点卜=kx_1当 1 k 2=0 时，所以丄=(2k)28(1 -k2) =0二 k 二 2当1 -k2 =0时，即k = -1，直线和双曲线的渐近线平行有且只有一解。所以k的值为k =：汐2或k = -1点评：本题的关键在于正确理解双曲线的渐近线的特点

6、，即与渐近线平行的直线与双曲线 只有一个交点，本题的错解就是漏掉了这一情况。五：对于题目的隐含条件不注意例如： 已知三角形ABC中，A, B为定点且弦长 AB=4,动点C到两定点A, B的距离差的 绝对值为8,求动点C的轨迹方程。错解：由题知以 AB所在的直线为轴，AB的垂直平分线为轴，设 C( x,y)贝U 2a = 4= a = 2， 2c = 8= c = 4，所以 b = .c a?164=2J32 2所以动点C的轨迹方程Xy =1412剖析：解决此类问题要注意题目中所隐含的条件，本题出错的主要原因是没有注意到 三角形ABC这一条件。正解：由题知以 AB所在的直线为轴，AB的垂直平分线为轴，设C (x,y )则 2a=4= a=2 , 2c = 8= c = 4，所以 b =、c2 a2 =16 4 = 2、3又因为A,B,C三点不共线，2 2所以动点C的轨迹方程1 ( y =