高压锅销售量模型

1、高压锅销售量模型背景和问题 高压锅是当今家庭不可或缺的用具之一，近十年来高压锅的使用得 到了极大的普及因此全国各地区的高压锅销售量与年俱增，据资料显示高压锅的销售量增长趋势与种群的增长过程相似，即在开始阶段高压锅的销售量呈指数增 长，随着国民经济发展以及国民需求的改变，高压锅的销售量受到社会各方面因素的影响，销售量不再呈指数增长，而趋向一个上限，即销售量会出现一个最大 值。为更好的了解高压锅销售量的增长趋势，制定相应的销售计划，可以对未来的高压锅市场起到一定的调节作用，因此对高压锅的销售量增长趋势进行分析是 必要的。表1中给出的是某地区高压锅的销售量（单位：万台），为给出此两模型的 拟合结果，

2、请参考如下问题：（1） Logistic 增长曲线模型是一个可线性化模型吗。如果给定L=3000，是否是一个可线性化模型，使用线性化模型给出参数a和k的估计值。（2） 利用（1）所得的a和k的估计值和L =3000作为Logistic模型的拟合 初值，对Logistic 模型作非线性回归。（3）取初值 L（0） =3000,b（0） =30,k（0） =0.4，拟合 Gompertz 模型。并与Logistic 模型的结果进行比较。表1某地区咼压锅销售量年份ty年份ty1981043.65198871238.7519821109.86198981560.0019832187.211990918

3、24.2919843312.671991102199.0019854496.581992112438.8919865707.651993122737.7119876960.25分析与假设 记高压锅的销售量为y，与高压锅销售量相关的时间为t，由市场经济的规律可知，高压锅的销售量增长趋势与种群的增长过程相似，即在开始阶 段高压锅的销售量呈指数趋势增长，随着国民经济发展以及国民需求的改变， 高压锅的销售量受到社会各方面因素的影响，销售量不再呈指数增长，而趋向一个 上限，即销售量会出现一个最大值记为 L。因此高压锅的销售量的增长趋势可以 用Logistic增长曲线模型和Gompertz增长曲线模型来拟

4、合。Logistic增长曲线模型：ytae(1)Gompertz增长曲线模型:% 二 LeeJ(2)1.1 Logistic 线性化模型Logistic增长曲线模型是计量经济学中的常用模型，可以用来拟合销售量的增长趋势，因受到社会各方面的影响高压锅的销售量增长呈现Logistic增长曲线的趋势，下对Logistic增长曲线模型进行讨论。Logistic增长曲线模型为：Logistic增长曲线模型是非线性的，对y进行数学变换，两边取倒数:1 +ae1yt(3)对（1）式两边取e的对数可以得到:2Inyt = In L -In a kt(4)为使等式等号左右两边的量纲一致，对（2）式进行化简后可以

5、到:lnyt 二 lnL2a 104kt令y=lnyt，那么可以得到:y= lnL2a 104kt(5)由（3）式可以明显看到y是关于L和t的函数，由线性的定义显然可知函数（3）是非线性的，因此Logistic增长曲线模型不是一个可线性化模型。但当 给定L =3000，（ 3）式可以转变为：y= ln30002a 104kt(6)30002a 104那么关于L的项就转变成为常数项，即模型可以线性化，其中令 那么（4）式可以写成:y 二 A kt（ 7）则当L给定时，Logistic增长曲线模型是一个可线性化模型。用matlab软件作出y与对应年份编号t的散点图（源程序见附录程序1），如图1所示

6、:643 5 LLJ102468W12年份编号图1销售量对数与对应时间编号散点图可以发现销售量对数y在时间t较小时有较好的线性关系而，在t较大时则 出现较大的起落。如果单从线性回归模型的角度出发计算，通过matlab软件利用最小二乘拟合可以很容易得到线性化模型（7）的参数A和k的估计值，再根据A与a的关2系A“n30%，算出a的估计值。结果如表2所示（源程序见附录程序（2）<10表2线性化模型（7）参数估计结果参数参数估计值参数置信区间A4.57584.1329 5.0187k0.32050.2578 0.38312 2R =0.9202F =126.8058pcO.0001s =0.1

7、474由表可得 A = 4.5758和 k= 0.3205，那么可以求得a = 9.2682。 所以线性化后的回归方程为：y =4.5758 0.3205t1.2 Logistic 非线性模型由图1可以看到销售量对数与时间的线性拟合程度并不高，为解决线性化模型中拟合欠佳的问题，考虑非线性模型（1）.以问题一解得的a =92682和k= 0.3205以及 3000为拟合初值，作 Logistic 模型的非线性回归。运用 matlab软件进行非线性回归拟合，可以得到 回归参数a和k的估计值，结果如表二所示（源程序见附录程序（3）表2非线性模型（1）参数估计结果参数参数估计值置信区间a33. 911

8、426.4299 41.928k0.45420.4263 0.4820可以得到a =30.011和k =-0.457的值，那么Logistic的非线性回归模型为： 3000% = 1 33.9114e0.4542t拟合的结果如图2所示，可以直接看到因变量销售量y的拟合值与真实值之 间的差异很小，说明Logistic的非线性回归模型可以很好的拟合销售量的增长 趋势。300025002000量售 1500 销1000500024681012年份编号图2模型（1）的拟合图01.3 Gompertz增长曲线模型由市场经济学可知，高压锅的销售量增长趋势受到社会诸多因素的影响，而Logistic曲线增长模

9、型也印证了这一观点。但模型（1）拟合结果可以看出中间 有些点偏离较大。可以再建立Gompertz增长曲线模型将拟合结果与模型（1）结 果对比，从而确定哪个模型才是最优模型。模型（2）同样是一个非线性模型，可以对模型（2）进行线性化处理，对（2）式进行数学变换，两边取对数：In yt = ln L - be-kt（ 8）则（8）式可变为：ln '一 be-kt（ 9）L对（9）式再取对数有：ln（ln +）二-kt In（-b）（ 10）显然（10）式为Gompertz的线性化模型。运用matlab软件求（10）式的参数，结果如表3所示（源程序见附录程序（4）表3模型（2）参数估计结果参

10、数参数估计值b7.1180k0.2894得到k =0.2894和b =7.1180，由此得到 Gompertz模型为:yt =300067.118e.0.28941用matlab软件进行拟合，拟合的结果如图 3所示，可以直接看到因变量销 售量y的拟合值与真实值之间的差异较大（源程序见附录程序5）。3000006 8年份编号10 12425002000量售 1500销1000500图3模型（2）的拟合图用matlab软件作出Gompertz模型的图像（见图4）与Logistic 模型图像（见 图5）（源程序见附录程序（6）进行对比.观察图4和图5可以发现，Gompertz 模型中间段的数据与实际

11、销量相差较大，但是从总体的曲线的走势来说，还是与实际相符合的，所以用此模型所作的预测还是具有一定的可信度。但Logistic阻滞增长模型在这个问题中除了中间有几个点不大好之外，开始与最后都吻合的很好，尤其是最后的走向与实际销量的趋势吻合的十分完美。所以用此模型来预测高压锅的销量所得结果会较为理想。因此总体来说Logistic模型比Gompertz模型更优一些量售销图4 Logistic 高压锅销量增长模型图5 Gompertz高压锅销量增长模型附录：程序(1):x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12;y=log(43.65) log(109.86) log(187.21)

12、 log(312.67) log(496.58) log(707.65) log(960.25) log(1238.75) log(1560.00) log(1824.29) log(2199.00) log(2438.89) log(2737.71);plot(x,y, 'r*')程序(2):x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12'log(496.58)log(1824.29)y=log(43.65)log(109.86)log(187.21)log(312.67)log(707.65)log(960.25)log(1238.75)log(156

13、0.00)log(2199.00) log(2438.89) log(2737.71)'F=on es(size(x) x;b,bi nt,r,ri nt,stats = regress(y,F);b,bi nt,r,ri nt,stats,rcoplot(r,ri nt)a= (3000A2/(exp(b(1) /10000k=b(2)b =4.57580.3205bint =4.13295.01870.25780.3831r =-0.7996-0.19710.01550.20790.35000.38370.36850.30270.21280.0488-0.0848-0.3018-0

14、.5067 rint =-1.3095-0.9706-0.7944-0.6078-0.4553-0.28970.57650.82541.02361.1553-0.42211.1896-0.44351.1805-0.51971.1251-0.61541.0410-0.77890.8765-0.89270.7230-1.05880.4552-1.17400.1607stats =0.9202 126.80580.00000.1474a =9.2682k =0.3205程序(3):t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12;y=43.65 109.86 187.21 312.67

15、497.58 707.65 960.25 1238.75 1560.001824.29 2199.00 2438.89 2737.71;beta0=9.2682 0.3205;beta,R,J=n li nfit(t,y,'xiaolia ng' ,beta0);betaci=n lparci(beta,R,J);beta,betaciyy=3000./(1+beta(1).*exp(-beta(2).*t);plot(t,y, 'o' ,t,yy, '+' ),pausenli ntool(t,y, 'xiaolia ng' ,

16、beta)fun cti on yhat=xiaolia ng(beta,t)yhat=3000./(1+beta(1).*exp(-beta (2).*t);beta =33.91140.4542betaci =26.4299 41.39280.42630.4820程序(4):t=0:12;y1=43.65109.86 187.21 312.67 496.58 707.56 960.25 1238.75 1560.001824.29 2199.00 2438.89 2737.71;y2=y1./3000;w=log(log(y2);p,s=polyfit(t,w,1);k=-p(1),a=p

17、 (2),b=-exp(a)k =0.2894 + O.OOOOi a =1.9626 + 3.1416ib =7.118O + O.OOOOi程序(5)t=O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1O 11 12;y=43.65 1O9.86 187.21 312.67 497.58 7O7.65 96O.25 1238.75 156O.OO1824.29 2199.OO 2438.89 2737.71;betaO=3O O.4;beta,R,J=n li nfit(t,y,'xiaolia ng' ,betaO);betaci=n lparci(beta,R,J);beta

18、,betaciyy=3000.*exp(-beta(1).*exp(-beta (2).*t);plot(t,y, 'o' ,t,yy, '+' ),pausenli ntool(t,y,'xiaolia ng',beta)function yhat=xiaolia ng(beta,t)yhat=3000.*exp(-beta(1).*exp(beta(2).*t);程序(6)程序(6.1 ):t=0:12;y1=43.65109.86 187.21 312.67 496.58 707.56 960.25 1238.75 1560.001824.29 2199.00 2438.89 2737.71;y2=3000./(